2017-2018学年高中数学考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(含2017年

1、考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、填空题1._（2017 全国乙卷理科 T 佝如图，圆形纸片的圆心为 0,半径为 5cm,该纸片上的等边三角 形 ABC 的中心为O.D,E,F 为圆 0 上的点, DBCAECA,AFAB分别是以 BC,CA,AB为底边的等 腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC,AECA,AFAB,使得 D,E,F 重合, 得到三棱锥当厶 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位:cm3）的最大值为 _ .325x4-10 x5,5令 f（X）=25X4-10X5,X . 0,5l,f（X）=100X3-50X4,令

2、fx0, 即X4-2X30,X2,则 fXWf2=80,则VW. 3 x . 80=4J5所以体积最大值为 4.15cm3.【命题意图】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积 当体积中的变量最高次是函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导方式进行解决 【解析】连接 0B,连接 0D,交 BC 于点 G,由题意得，0D 丄 BC,OGI BC,6本题解决的关键是设2 次时可以利用二次设 OG=x 则 BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高 h=.：DG2_OG2=25、10Xx2-x2=- 25-10 x,SAABC=2 3x 1=3f3

3、x2,2贝 V=SAABC3h=、爲 x2.25 -10 x2答案:415cm2.(2017 天津高考文科 T10)已知 a R,设函数 f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1)线为 I,则 I 在 y 轴上的截距为 _ .【命题意图】考查用导数求曲线切线的方法.14【解析】f(1)=a,切点为(1,a)f(x)=a-,则切线的 斜率为 f(1)=a-1,切线xCjy-a=(a-1)(x-1), 令 x=0 得出 y=1,l 在 y 轴的截距为 1.答案：1二、解答题3.(2017 全国乙卷理科 T21)已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论 f(x)的单调性.若

4、f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查含有参数问题的函数单调性问题及利用函数的零点确定参数的取 值范围【解析】(1)由于 fx=ae2x+a - 2ex-x,故 fx=2ae2x+a-2ex-1=aex-1 2ex1,1a 0 时,aex-10.从而 fx0 时，令 fx=0,从而 aex-仁 0,得 x=-lna.x5-Ina)-ln a(-lna,+g)f-0+(x)处的切方程为3f(X)单 调减极 小值单调 增综上，当 a0 时,f(x)在(-g ,-lna)上单调递减，在(-1 na,+g)上单调递增4由知，当 a 0 时,f(x)min=f(-lna)=1-

5、+lna.a111令 ga=1- +inaa 0,则 ga=二 +0.从而 ga在0, :上单调增，而 g1=0.aaa故当 0a1 时,ga1 时 ga0.1若 a1,则 f(x)min=1-+lna=ga0,故 fx0 恒成立，从而 fx无零点，不满足条件.a1若 a=1,则 f(x)min=1-+lna=0,故 fx=0 仅有一个实根 x=-lna=0,不满足条件.a1若 0a1,则 f(x)min=1- +lna0.aaa “ 2门f：；1=2 + +1-0.e2e e故 fx在-1,-1 na上有一个实根，而又 m )ln1=-lna.a且fln(i3=1i3a a -2i-ina-

6、|nI-10.故 f(x在-lna,ln上有一个实根.Ila丿丿又 fx在-：，-1 na上单调减,在-Ina,单调增,故 fx在 R 上至多两个实根.ln=ea e a-2 -In3a_13a_15又f(x在-1, -1na及-Ina,ln -上均至少有一个实数根，故f(x)在 R 上恰有两I la丿丿个实根.综上,a 的取值范围为0,1.64.(2017 全国乙卷文科 T21)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论 f(x)的单调性.若 f(x) 0,求 a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数解决函数的单调性及利用函数的单调性求参数的取值范 围问题，主要考查考生

7、解决问题的综合能力.【解析】 函数 f(x)的定义域为(-8，+ 8 ),2x x 2xxf(x)=2e-ae -a =(2e +a)(e -a),1若 a=0,则 f(x)=e2x,在(-8，+8)单调递增.2若 a0,则由 f(x)=0 得 x=lna.当 x (-8,ina)时,f(x)0,所以 f(x)在(-8,ina)单调递减，在(lna,+8)单调递增.3若 a0,I I 2丿丿(a故 f(x)在| -oo,ln-一丨单调递减，II 2丿丿_ 2 .(ax、ln 1+I I 2丿)单调递增.小若 a=0,则 f(x)=e2x,所以 f(x)0.2若 a0,则由(1)得，当 x=ln

8、a 时,f(x)取得最小值，最小值为 f(lna)=-a2-a lna 0,即 0 0.JAV3若 a 0,即 0a -2 e 时 f(x) 0.在75.(2017 全国甲卷理科 T21)(12 分)已知函数 f(x)=ax -ax-xInx,且 f(x) 0.(1)求 a.证明:f(x)存在唯一的极大值点xo,且 e-2f(x0) 0 等价于 g(x) 0,因为 g(1)=0,g(x)1 0,故 g(1)=0,而 g(x)=a-,Xg(1)=a-1, 得 a=1.1若 a=1,则 g(x)=1-.当 0 x1 时,g(x)1 时,g(x)0,g(x) 单调递x增.所以 x=1 是 g(x)的

9、极小值点，故 g(x) g(1)=0.综上,a=1.21(2)由(1)知 f(x)=x -x-xlnxf(x)=2x-2-lnx,设 h(x)=2x-2-lnx,h(x)=2-,9x所以 h(x)在0,-上单调递减I 2丿，XC 上单调递增又 h(e-2)0,h1- |0;当 x (X0,1)时,h(x)0.因为 f(x)=h(x),所以 x=X0是 f(x)的唯一极大值点，f 1 )1由 f(x0)=0 得 Inx0=2(X0-1),故 f(x0)=X0(1-X0),由 X0 0 I 得 f(x0)f(e-1)=e-2,所以 e-2f(x。) 0 时,f(x) ax+1,求 a 的取值范围.

10、【命题意图】导数的计算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的转化、化归思想和求解运算能力【解析】(1)f(x)=(1-2x-x2)ex,另 f(x)=0得 x=-1 当 x (-g,-1-2)时,f(x)0;当 x (-1+2，+g)时，f(x)0;所以 f(x)在(-g,-1-2),(-1 +2，+g)上单调递减；在(-1-.2,-1+ 0 时,h(x)0,h(x)单调递减，故 h(x)wh(0)=1-a,即 g(x) 0 时恒成立，需要 1-aw0,当10即 a 1,此时 g(x)wg(0)=0,故 a 1,综上所述,a 的取值范围是1,+ g)43

11、27.(2017 天津高考理科 T20)设 a 乙已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x +3x -3x -6x+a 在区 间(1,2)内有一个零点 xo,g(x)为 f(x)的导函数.(1) 求 g(x)的单调区间.(2) 设 m 1,xo)U(xo,2,函数 h(x)=g(x)(m-xo)-f(m), 求证:h(m)h(xo)0, 故当 x1,xo)时,H1(x)0,H 心)单调递增.因此，当 x1,xo)U(xo,2时,H1(x)H1(xo)=-f(xo)=o,可得 H(m)0,即 h(m)0.令函数 H2(x)=g(xo)(x-xo)-f(x),贝 U H2(x)=g(xo)-g(x

12、).由(1)知,g(x)在1,2上单调递增，故当 x 1,xo)时,H2(x)0,H2(x)单调递增；当 x (xo,2时,H2(x)0,H2(x)单调递减.因此，当 x 1,xo)U(xo,2时,H2(x)H2(xo)=o,可得 H2(m)0,即 h(xo)o.所以,h(m)h(xo)o.x(-g,-1)I 4丿(1 +=c丿g(x)+1g(x)/E所以,g(x)的单调递增区间是(-g,-1),单调递减区间是-1, J.I 4丿当 x 变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表：11对于任意的正整数p,q,且 1,x0)U(xo,2,q令 m=,函数 h(x)=g(x)(m-xo)-f(m)

13、.q由 知,当 m 1,x0)时,h(x)在区间(m,xo)内有零点；当 m (xo,2时,h(x)在区间(xo,m)内有零点.由(1)知 g(x)在1,2上单调递增，故0g(1)g(xi)0,故 f(x)在1,2上单调递增所以 f(x)在区间1,2上除 xo外没有其他的零点，而p工 xo,故 f 卫 工 0.q 1.8.(2017天津高考理科T19)设 a,b R,|a| 1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求 f(x)的单调区间.已知函数 y=g(x)和 y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线，1求证:f(x)在 X=X0处的

14、导数等于 0;2若关于 x 的不等式 g(x) e 在区间x0-1,x0+1上恒成立，求 b 的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调区间以及以函数为背景利用导数解决某些恒成立问题，主要考查导数的综合应用.考查综合应用能力及运算求解能力.【解析】(1)由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得2所以 h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为所以1g2q4.所以，- x01A?.xi,则 h(xi)=g(x1)J12f(x)=3x-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a),令 f(x)=0,解得 x=a,或 x=4-a,由 |a| 1,得 a0,可得 f

15、(x) 1.又因为 f(xo)=1,f(xo)=O,故 xo为 f(x)的极大值点，由(1)知 xo=a.另一方面，由于|a|w1,故 a+1 0 恒成立，所以 m(x)单调递增，又m(0)=0,所以 0 是 h(x)的一个零点.所以ef x。fxo二e解得f.x邛j f xo= 0141aw0 时,ex-a0 恒成立，此时 h(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；20a1 时，令 ex-a=0 得 x=lna 0 恒成立，此时 h(x)在 R 上单调递增；4a1 时,令 ex-a=0 得 x=lna0,此时 h(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,lna)上单调递减，在

16、15(In a,+ g)上单调递增综上,aw0 时,有极小值 h(0)=-1-2a;0a1 时，有极小值 h(lna)=-acos(lna)-asin(lna)+2alna-2a-aln131210. (2017 山东高考文科 T20)已知函数 f(x)= _ x - _ ax ,a R,32(1)当 a=2 时，求曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程 极值.【命题意图】本题考查应用导数求曲线的切线，应用导数研究函数的单调性与极值问题，意在考查考生运算求解能力、分析问题解决问题的能力【解析】(1)由题意 f(x)=x2-ax,所以当 a=2 时,f(3)=0,f(x)=x-2x,所

17、以 f(3)=3,因此曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是 y=3(x-3), 即 3x-y-9=0.(2)因为 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx, 所以 g(x)=f(x)+cosx_(x_a)sinx-cosx =x(x-a)-(x-a)si nx =(x-a)(x-si nx),令 h(x)=x-sinx, 贝 U h(x)=1-cosx 0,所以 h(x)在 R 上单调递增，因为 h(0)=0, 所以当 x0 时,h(x)0;当 x0 时,h(x)0.1当 a0 时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当 x (-g,a)时,x-a0,g(x)单调递增；

18、当 x (a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.13所以当 x=a 时 g(x)取到极大值,极大值是 g(a)=- a -s in a,6当 x=0 时 g(x)取到极小值，极小值是 g(0)=-a.2当 a=0 时,g(x)=x(x-sinx),当 x (-g，+g)时,g(x)0,所以 g(x)在(-g，+g)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.3当 a0 时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当 x (-g,0)时,x-a0,g(x)单调递增；当 x (0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当 x=0 时 g(x)取到极大值

19、,极大值是 g(0)=-a;13当 x=a 时 g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=- a -sina;6综上所述：当 a0 时,函数 g(x)在(-g ,0)和(a,+ g)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值13又有极小值，极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=- a -sina.611. (2017 江苏高考 T 20)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,b R)有极值,且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域.2(2) 证明:b 3a.若 f(x)

20、,f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7,求 a 的取值范围2【命题意图】利用导数研究函数单调性、极值及零点，并与不等式巧妙结合，考查函数的综合 应用问题.32【解析】(1)由 f(x)=x +ax +bx+1,得 f(x)=3x2faY2+2ax+b=3 i xI 3丿+b-a23.2 2当x=-时,f(x)有极小值 b-.33因为f(x)的极值点是 f(x)的零点.(a a3a3ab口丄2a23所以 f=-+-+仁 0,又 a0,故 b= - 一 +.3丿2793yv9aa 13因为 f(x)有极值，故 f(x)=0有实根，从而 b- =(27-a ) 3.3 9aa=3 时,f(x)0(x丰-1),故 f(x)在 R 上是增函数，f(x)没有极值；x(-g,X1)” /rVjJrf久 *IJ 9X1(x1,x2)X2(X2,+g)f(x)+00+