2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题09三角恒等变换与解三角形文

1、盘n2=tan专题 09 三角恒等变换与解三角形 文【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1. 和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题既有选择题、填 空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力.2. 预测 2017 年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视.3. 边和角的计算；4. 三角形形状的判断；5. 面积的计算；6. 有关的范围问题.【命题热点突破一】三角恒等变换例 1、(1)(2016 高考全国乙卷)已知0是第四象限角，且 sinJ +_nf=害,则 tanJ寸=_,4【答案

2、】：3【解析儿基本法：将寺专化城&+汨由题意知曲歼扌=聖B是第四象限角，所決cos-B+沪,所以亡辭+申=寸1-話用3+宇tan j!=tan日+扌_刖=-Q 心4_COV+1L4sin+0 |3nn速解法：由题意知0+ 为第一象限角，设0+4=a,二tane = tan424【答案】：-43【解析】如图，不妨设在 RtAC沖，/A=a，由 sina=匚可得，5BC=3,AB=5,AC=4,n4B= a ,： tan B= 3,4-tanB= (2)若 tana 0，则()A. sina 0B. cosa 0C. sin 2a 0 D.cos 2a 0【答案】：C【解析】：基本法：由t

3、an得农星第一或第三象限甬若粒是第三象限甬，则A, B错由血2a= 25m fiocosaJU sin 2a0j C正确3盘取舸打ccs2a2cos2fit1=2 I2- 1D错-故选 U速解法：丁画。=栄即抽处m/.sin 2a=2sinacos a0,故选C.【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱 导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等.【变式探究】(1)已知 sin52

4、L+a=-，那么 cos 2a亠丰二“rfSinT sin .5 sin Jsin(1 )由题意知2(- + ) =- +-、cos J cosiicos J cos 5 cos JCQSB化简得2 sinACQSB+sin 5COSJ) = sin J-sinB ,即2sin(-r4 + B) = sin J + sinB.Xif因为A + B+C = 71 j所以sin(j4+.5)= sin( 7CC)= sin C.从而sinl + sin 5 =2 si n C.由正弦定理得ab=2c.II由（I ）知学,r/金亠占rcT-b (-ab半目仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为【

5、感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”， 即“统一角、统一函数、统一结构”， 这是使问题获得解决的突破口.求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小解题时要注意利用三角形内角和定理，即A+ B+ On .3fb a.11= _ + 丿 1王一丿g 盘 b42(2 )由 sin+ sinin于，则 sin45，于是所以cosC =5【答案】23n【解析】cos B2a b- + + = 0,cos Cc c ccos B + 2a

6、cos C + bcos C = 0,由正弦定理得 sin Ccos B + 2sin Acos C + sin Bcos C = 0, sin ( B+ C) + 2sin Acos C = sin A + 2sin Acos C = 0,12Tsin A 工 0, cos C = 2, C= 3n.23【变式探究】在厶 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c,且 csin B = bcos C = 3.(1)求 b；21若厶 ABC 的面积为，求 c.【解析】解:（1）由正弦定理得sin Csm B=sin Bcos C,又sin BOf所以sin C=cos C

7、?所決C=45=.因为bcosC=3j所b=3遙.1 21 =4102n n 2n nCOSsin8 81.【2016 高考新课标 3 理数】在AABC中，B=n,BC边上的高等于(A)6!25(B)4825(C) 1(D)1625【答案】A【解析】由tan：=3，得sin4216 cos ：亠2sin 24 25253 ,COSJi5126425，上或sin2cos：55故选 A.，所以(A)丄10(B)10(C) 一10(D)3 1010【答案】C【解析】设边上的高为 ,贝iJ-5C = 3.dD；所AC 二&辺匚+DC = 屁 D；AB=D*由余弦定理， cosA =+ HC亠R

8、C*ZiZJ亠 + 生_9=40“J10 ,MgAD“帀，故选口2AB-AC2.【2016 咼考新课标452理数】ABC的内角A,B,C的对边分别为小6若05 Sew宀1，21【答案】2113【解析】因为COSA=4,COSC -,且AC为三角形的内角，所以sinA =35135sin B =sinn (A C) =sin(A C) =sin ACOSCCOSASin C二63，又 因为一65si nA,a sin B 21 b =si nA 133.【2016 高考天津理数】在厶ABC中，若 AB=.13,BC=3, C =120,则AC=()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43.【2

9、016 年高考四川理数】2 :【解析】由二倍角公式得COS2 -sin2二二、2COS842-BC ,则COSA=(311【答案】A【解析】由余弦定理得13 =9 AC2- 3AC= AC =1,选 A.4.【2016 高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sin A = 2si nBsi nC，则tan Ata nBta nC的最小值是 _ .【答案】8.【解析】si nA=s in （B+C）=2si nBsi nC= ta nB+ta nC=2ta nBta nC，又tan A=tan B+ tanC，因tan B tan C-1tan Ata nBta nC =ta nA tanB ta

10、nC = ta nA 2ta nB tanC22ta nA tanB tanC= an Atan Bta nC亠8,即最小值为 8.1.【2016 年高考四川理数】（本小题满分 12 分）在厶ABC中，角A B C所对的边分别是a,b,c,且OsCOs -snC.a b c（I）证明：sin Asin B二sinC； 2 2 26（ll ）若b c-abc，求tan B.5【答案】（i）证明详见解析；（n）4.【解析】12|脱正弦定理,可设总=岛=爲 2。）.贝U aksin A?bksin B, c=ksin C.mi cos J cos 5或口6+代入+二中有a b ccos弓cosBsi

11、nC-+- -sin Asin E=sin Acos B+cos Asin B=sin (A+B).在厶陂 中，由A+B-K?=7l有sin(A+B)=sin(n -C)=sin C,所以i sin Asin B=sin C,(II)由已Hb b%：rbm很据余弦定理，有沪+八/3cos A=-二,Ibc5由(I), sin Asin 5=sin Acos E+cos Asin B?所以一win B= cos B+ sin B（本题满分 14 分）在厶ABC中，内角A B, C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(I )证明：A=2B;2a（II ）若厶 ABC 的面积S=，求

12、角A的大小.4n n【答案】（I ）证明见解析；（II ）或一24HinJW曲2.【2016 高考浙江理数】所以sin A=13【解析】14(1 )由正弦定理得sin 5 -sinC = 2sin Jcos ,Sft 2sin -1 cos 5 = $1115 +sin (.4 + 5) = sin5 +sinAcosB+cos4sin5 ,于是sin E二sin lyl-号】.又B ft/0 A B 7tfB =TC(A = A Bj因此川二兀(舍去)或A = 2Bf所1,A = 2B,(II )由S二纟-得absin C =；故有sin 5 sin C = sin 2 = sinBcosB

13、；424=因为sin 50 ,所sin C =coB .又叭所Wc = -.当B+C = B寸，A- 77*当C-B-时，A-.4综上，月=工或川=巴243.【2016 高考山东理数】(本小题满分 12 分)(n)求 cosC的最小值.1【答案】(I)见解析；(n)-2【解析】sin A sinB、sin Asin B2厂cosA cosB cosAcosB cosAcosB化简得2 sinAcosB sin BcosA二sin A sinB, 即2sin A B =sin A sin B.因为A B叽所以sin A B = sin：/-C = sinC.在厶ABC中，角A B,C的对边分别为

14、(I)证明：a+b=2c;tan Aa，b,c,已知2(tanA tanB)=cosBtanBcosA(I)由题意知15从而sin A sin B=2sin C.由正弦定理得a 2c.当且仅当a二b时，等号成立1故cosC的最小值为丄.21.【2015 高考四川，理 12】sin15 sin75二【答案】2sinl5;+sin芒二bin 1亍 贵=心sin(15;+45;)= S1U151+sin乃rin(4 + 站(4亍+30) = 245 cos30=法二2讪”小I空+空二应2. 2015 高考浙江，理 11】函数f(x)二Sifx Pnxcosx的最小正周期是仙=+沁 +仁晅sin(2x

15、-J【解析】22243二7二 k二，k刁88k匸Z? 22 i兀f (x) = sin x sin . x (n)由(i)知c42所以cosC二b2-c2a b、22ab2 2a b(W 3 b a 11-=(+ )启2ab【解析】 法一,，单调递减区间【答案】二,-k；7k：8 832，故最小正周期为 二，单调递减区间为163. 2015 高考天津，理 15】(本小题满分 13 分)已知函数6,X，R(I)求f(X)最小正周期；17【解析】由已知，有f()卜2-2丄2(II)因为f(x)在区间36上是减函数，在区间6 4上是增函数，-f(_)=_l f(王)=亟-p p46244，所以f(x

16、)在区间34上的最大值为4，最小值为-2.f(x)=sin-x gin x-V3cos2x4.【2015 高考重庆，理 18】 已知函数2(1) 求f x的最小正周期和最大值；二纠(2) 讨论fX在3上的单调性2八3r: 5 -52二_- -【答案】(1)最小正周期为P，最大值为2-；( 2)f(x)在6 12上单调递增；f(x)在12 3上单调递减.(II)求f(X)在区间-黔上的最【答案】(I)二；(II)f (X)maxf (X)minl-cos2.rT所以的最小正周期=7118【解析】192-羽atf的最小正周期为菟,最大值为2x e-.02x-当 &彳时，有3,从而02x-x

17、 当32时即612时,-2x-x当23时，即12孑时,fw单调递减严5亍更刼综上可知，/在了垃上单舷増；（对在巨丁16【答案】15/()= sin-x；sinx-费cos*x -cos xsinx一 (1 + cos2x)5.【2015 高考上海，理 14】在锐角三角形-C 中,1tan2,D为边二C上的点,D与*CD的面积分别为2和4过D作D；：,m 于上，DF AC于F，则D DF二上单调递【解析】 由题意得:1sin A：-r ,cos A-,1AB -AC sin5 2A =24= AB AC =12 5，又201132AB DE =2, AC DF =4 二 AB DE AC DF

18、=32= DE DF =2212、5,因为 DEAF 四点共圆，因此TT DE DF cos(兀 _A)=虫辛工(一)=D；：DF12、55156.【2015 高考广东，理 11】设ABC的内角A,B ,C的对边分别为a,b ,c，若a、3,sinB212xnf (x) =4cos -cos( -x) -2sin x-|ln(x +1) |7.【2015 高考湖北，理 12】函数22的零点个数为【答案】2/(x) = 4 a)s:- cos(-x)- 2 sin x-1 tn(x亠1|【解折】因为22=2(1 +cossin x-2 sinx-ln(x+l) | = sin 2x-|ln(x + l)所以函数f的霧点个数为的数八鈕衣与 K 血(“1) I图象的交点的个数,国数=sin浓与卜图象如图，由图知，两国数图象有2个交点，所以国数(血有2个 点13】在ABC中,B=120，AB=J，A的角平分线A住方，则AC=_【答案】6NADB=45， 从而NBAD =15 = NDAC， 所以C =180*120 30*=30，C =n,【答案】1.1 sinB =【解析】因为5兀2且B0-，所以6或B飞，又C6，所以.3sin三又a二3，由正弦定理得sin A sin B即