2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题08三角函数的图像与性质理

1、三角函数的图像与性质【考向解读】1. 三角函数 y = Asin (3x+Q)(A0 ,30)的图象变换，周期及单调性是 2016 年高考热点.2. 备考时应掌握 y= sin x , y = cos x , y = tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数 y = Asin (3x +Q)(A0 ,30)的值域、单调性、周期性等.3. 以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性4. 考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点【答案】D且cos 2 -：= cos2：二sin2：,故选 D.:14丿12边与单位圆交点的纵坐标

2、为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值.数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函 数定义.【变式探究】 当 x =亍时，函数 f(x) = Asin(x +Q)(A0)取得最小值，则函数 y = f 节x 是()A .奇函数且图像关于点 i 专,0 对称B. 偶函数且图像关于点(n, 0)对称nC.奇函数且图像关于直线 x=对称D.偶函数且图像关于点专，0 对称【答案】C【命题热点突破三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例 1、【2016 高考新课标 2 理数】若3山-)，贝 Usin2 -(5(C) 一 -5(D)25-心I 解析】co

3、s 2-:-125【感悟提升】 在单位圆中定义的三角函数， 当角的顶点在坐标原点, 角的始边在x 轴正半轴上时，角的终如果不662n(A)向左平行移动个单位长度3n(C)向左平行移动一个单位长度n(B)向右平行移动个单位长度3n(D)向右平行移动一个单位长度【解析】当 x =_4 时，函数 f (x)= Asin (x+0)(A0)取得最小值，即 寸+0=卡+ 2kn, k乙乙即3n3n3n3n3n0=;-+ 2kn ,kZ,所以 f(x) =Asin(x) (A0),所以 y=f(x) =Asin(x)444443n=Asin x，所以函数 y = f (4n x)为奇函数，且其图像关于直线

4、x =对称【命题热点突破二】函数 y = Asin(3x +0)的图像与解析式例 2、设函数 f(x) = sin3x + sin g x -2, x R.1(1)若3= 2,求 f(x)的最大值及相应的 x 的取值集合；若 x =寻是 f(x)的一个零点，且 0310,求3的值和 f(x)的最小正周期.8jf【解析】 (1) f (x) =sinox+ ox , = sin cos ax.X.必/当协二勺寸jf(X)=砖_喝=俵逬_|,而一1兰血一扌栏所f (x)的最大值为迈，此时呂一扌仝+曲，kZ，即区= +4也kZ故相 应的乳的取值集合为加kZ 依题意知，時=也血-扌=山即申：二 E 上

5、乙整理得 a 二张+2又所08k+210即一jkl又k 所以：7所以2，所以f x) =V2sin 2x-S f 0 ,30)的形式，利用有界性处理；(2)形如 y= asin x + bsin x+ c 的函数可利用换元法转化为二次函cos x + a数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如 y =的函数，一般看成直线的斜率，利用数形sin x + b结合求解._一 一n【变式探究】【2016 年高考四川理数】为了得到函数y=sin(2x )的图象，只需把函数y二sin 2x的图象3上所有的点()3【答案】DJJT【解析】由题意，为了得到函数y=sin(2x ) =sin2(x)，只

6、需把函数y=sin2x的图像上所有点36向右移二个单位，故选 D.6【命题热点突破三】三角函数的性质例 3、某同学用“五点法”画函数 f(x) = Asin(3x + $ )30, | $ |0)个单位长度，得到y= g(x)的图像，若 y= g(x)图像的一个对称中心为，0 ,求0的最小值.n【解析】(1)根据表中已知数据，解得 A= 5,3=2, $=-.数据补全如下表:3x+ $0nTn3n_2-2nxnn7n5n1312612nAsin(3x+ $ )05050且函数解析式为 f (x) = 5sin i2x 才.zxf、由 JOf (x)所以岸(x) =5sm；2x+20-|.因为y

7、=smx的團像的对称中心为(far, 0), kZ所以令N +芻中=也kZ,解得戸亠+卡盯kZ.o械中心对称，所以令辛+吉-片診kEz,解得匸苧-kz由 坯可知，当k=i时，e取得最小值半【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果 xf(x)的解析式;由于函数的團像关于点f診4的系数不是 1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向.函数 f(x) = sin(2x+0) |o|n的图像向左平移n个单位长度后所得图像关于原点对称， 2 / 6【答案】An一fn、【解析】函数 f (x)= sin (2x + $ )的图像向左平移 百个单

8、位长度后得到y = sin |2x +_6-sin j2x +3+o的图像，又其关于原点对称，故才+0= kn, k Z,解得0= kn-才,k Z,又【命题热点突破四】三角函数图像与性质的综合应用例 4、(2016高考全国甲卷)函数y=Asin(wx+0)的部分图象如图所示，贝U()解析：根据團象上点的坐标及函数最值点，确定小曲与口的値.故 0,因此歼又图象的一个最高点坐标为百2.S所以43且囲+卩=出+細% 故产加款劲结合选项可知尸k$2x”答案:A【变式探则函数 f(x)A.1C.2D.0,才上的最小值为()1B . - 2nnn| $ | -.LI I-?:- 3-7-2B.y= 2s

9、in5【变式探究】已知函数f(x) = 2cos2x + 2 /sin xcos x + a，当x.|0,今时，f(x)的最小值为 2.(1)求 a 的值，并求 f(x)的单调递增区间；1n的图像上的点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单nmin= f (2)=一 1 + a + 1= 2，得a= 2,=2sin 2x+ -6 +3.冗冗得 kn xWk n +w，kZ,36函数 f(x)的单调递增区间为kn3, kn +n6 , k Z.(2)由题意得 g (x)= 2sin j4x 一青 + 3,丄/口fn、1由 g ( x)= 4，得 sin j4x $ =刁刁解

10、得 4x n= 2kn+ 卡或 4xn= 2kn+, k Z,6 6 6 6即 x= + 12 或 x =号 +4, k Z,又x o,y,x=n或n，故所有根之和为令+n=n.【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为再结合题目要求，利用函数y = Asin(wx +)的图像与性质解决问题.【命题热点突破五】三角函数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合例 5、 已知向量 a = (sin x , 2cos x) , b = (23cos x , cos x)，函数 f(x) = ab.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；在AABC 中，若角 A 满足

11、 f A疳=1 ,且厶 ABC 的面积为 8,求厶 ABC 周长的最小值.【解析】(1)vf ( x) = 2 , 3sin xcos x 2cos2x = 3sin 2x cos 2x 1 = 2sini 2x 6 1,先将函数 f(x)位长度, 得到函数【解解：(1)g(x)的图像，求方程 g(x) = 4 在区间 0,n上所有根之和.6 i+ a+1.vx|0,f (x)= cos 2x + 1 + 3sin 2x + a= 2sin 2x + f ( x)7t7t7t令 2kn 2x+2bc = 8, a = b2+ c2 2bc = 4 - 2,当且仅当 b= c= 4 时等号成立.

12、故厶 ABC 周长的最小值为 8+ 42.【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式解题时要注意各种限制条件 的应用，如指定的角的范围、三角形内角的范围等在使用基本不等式时注意等号成立的条件.【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，角a的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线I : y = 2 2x(x 0).若点 P, Q 分别是角a始边、终边上的动点，且|PQ| = 6,求三角形 POQ 面积最大时点 P, Q 的坐标.【解析】(1)由射线1的方程为y=2低(xo),(2)设P (a； 0),Q(b, 2伍b0),在中，丁PQF= (a-b):+Sb:=36,/.36=

13、a2+9b2-2ab6ab-2ab=4ab?当且仅当a=3b,即 尸3耳b=W时取得等号，二 g,-Sc?oQ=V2ab9、仕故面积最大时点P, Q的坐标分别为(3负0).血2讥).(1)求 cos743(A)(B)(C)(D)-3 1010101010【答案】C【高考真题解读】1.【2016 高考新课标 3 理数】在ABC中，B= -,BC边上的高等于-BC ,则cosA=(【解析】设BC边上的高为AD，贝V BC =3AD，所以AC二 一AD2DC2二5AD，AB = 2AD.由余弦定理，知cosAAB2AC-BC22AB AC2AD2_5AD2二9AD22 * 2AD、5AD32.【20

14、16 高考新课标 2 理数】若cos( )，则sin2-()457117(A)(B)(C)( D)-255525【答案】D【解I (ncos 24-a-17_25| (nF n I且cos 2cos2：二sin2：,故选 D.14丿123.【2016 高考新课标3 理数】若tan :=32，贝y cos：亠2sin二()46448(C) 1(D)16(A)(B)252525【答案】A-4sin at所以;. 16 , . 12 cos Cf + 2sin2djf =+ 4x =64= 77,故选乩2n. 2ncos sin=8 8【解析】S tan a得sina= :cosr =ifisi4.

15、【2016 年高考四川理数】【答8【解析】由题意，为了得到函数y二sin(2x ) =sin2(x)，只需把函数y=sin2x的图像上所有点36向右移二个单位，故选 D.66.【2016 高考新课标 2 理数】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称12【解析】 由题意， 将函数=2sm2r的圉像向左平移召个单位得y = 2sin2(x+)= 2sin(2x+4),则12 12 6+ kkZf即x=- + tkZ ,故选乩2 6 27.【2016 年高考北京理数】将函数y=sin(2x )图象上的点p(,t)向左平移s(s 0)个单位长度34得到点P，若P位于函数

16、y二sin2x的图象上，则()1兀寸3兀A. ?,s的最小值为-B.!3，s的最小值为云【解析】 由二倍角公式得2兀 2cossin8二二、2cos8425.【2016 年高考四川理数】为了得到函数n.y=sin(2x_n的图象，只需把函数y =sin2x的图象上所有的点()n(A)向左平行移动一个单位长度3n(C)向左平行移动个单位长度6【答案】D(B)向右平行移动一个单位长度3(D)向右平行移动个单位长度6轴为()k兀 兀(A)x(k Z)26k兀 兀(C)x(k Z)2 12k二 二(B)x(k Z)2 6k二 二(D)x(k Z)平移后函数的对称轴为2H+二疋698.【2016 高考新

17、课标 3 理数】函数y =si nx_、,3cosx的图像可由函数y=si nx-、3cosx的图像至少向右平移_ 个单位长度得到.【答案】3【解析】因为y二sinx3cosx=2sin(x ),y二sin x - ?3cosx = 2sin(x)=332sin(xVP所以函数ynx3cosx的图像可由函数sin3cosx的图像至少向右平个单位长度得到.32f (x)二sin x bsin x c，贝U f (x)的最小正周期(【答案】B1 COS2JCT”COS2JCT.- -osin x+c = - sinx-c1= V时，/( =-+c + p此日寸周期是 G 当20时，周期为2疋而匚不

18、影响周期*故选乩(x) = (、.3sinx+cosx)(、.3cosx- sinx)的最小正周期是(【答案】B9.【2016 高考浙江理数】设函数A.与b有关，且与c有关.与b有关，但与c无关C. 与b无关，且与c无关.与b无关，但与c有关【解析】/(x) = sin x+5sin10.【2016 高考山东理数】函数(A)(B) n(C)(D)2n【解f x =2sin(兀)(兀).(兀)x 2cos I x 2sin I 2x ,故最小正周期6.6.32兀T,故选 B.211.L2016 年高考四川理数】为了得到函数点()n心心匚)的图象，只需把函数y = sin2x的图n(A)向左平行移

19、动一个单位长度3n(C)向左平行移动个单位长度6n(B)向右平行移动一个单位长度3n(D)向右平行移动一个单位长度610JI31【解析】由题意，为了得到函数y =sin(2x) = sin2(x)，只需把函数36y =si n 2x的图像上所有点11向右移丄个单位，故选 D.6TT12. 2016 高考新课标 2 理数】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称12轴为()k兀 兀，、k兀兀(Ax(k Z)(B)x(k Z)2626k兀 兀，、k兀兀(C)x(k Z)(D)x(k Z)2122 12答案】B解析】由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移二个单位得

20、y = 2sin2(x，=) = 2sin(2x丄)，则12 12 6k平移后函数的对称轴为2x十一=+ k兀，kz，即x= + k乏Z，故选B.6 2 6 2 13. 2016 年高考北京理数】将函数y=sin(2x)图象上的点P(,t)向左平移s(s. 0)个单位长度得到点P，若P位于函数y=sin2x的图象上，则(),1nV3兀C.t,s的最小值为一 D.t,s的最小值为 一2323答案】A【解析】由题意得，t =sin(2)=,当 s 最小时，P所对应的点为(一,1)，此时Smin-43212 24126故选 A.14. 2016 高考新课标 3 理数】函数y =si nx-、3cos

21、x的图像可由函数y =si nx-. 3cosx的图像至少向 右平移_个单位长度得到.2JT答案】 一3【解析】y = sinx+5/3cosx = 2sin(x+) , y = sinx-A/3cosx = 2 sinCx-)=332 sin(x+)-当所以Si数y = sinY-CDS X的團号习由国数v = siikx+-5 8 x的團像至少向右平 移吕个单A. t =s的最小值为一 B.t3,6231s的最小值为一612位长度得到1315.【2016 高考新课标 3 理数】在ABC中，B =n1-,BC边上的高等于-BC,则cosA=(43(A)症(C)10101010(D)-辽10【

22、答案】C【解析】设BC边上的高为AD，贝yBC =3AD， 所以AC二.AD2DC2二、5AD,AB=2AD由余弦定理，知cosA二廻AC2- BC22AD25AD2-9AD22AB AC22AD、5AD10,故选 C.316.【2016 高考新课标 2 理数】若cos( )，则sin2：=451(C)57(A)251(B)-5(D)25【答案】D【解析】cos 21-42i2I2-1二25-心YI且cos 2 -：= cos14丿兀兀2-2：= sin2：故选 D.17.【2016 高考新课标3 理数】若2贝U cos：2sin2：=( (肆肆25(B)4825(C) 1(D)1625【答案

23、】【解析】由tan-33，得sin ,cos 452cos t 2sin 2-412254或sin-5642564，故选 A.3,cos -5-，所以51.【2015 咼考新课标1，理2】sin 20cos10 cos160sin10o=()(A)(B)2(C)2(D)2【答案】【解析】原式=sin 20ocos10+cos20sin10o=sin30o=2，故选D.14(I)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程;(n)已知关于x的方程f(x)+g(x)二m在0,2 p)内有两个不同的解a,b(1)求实数 m 的取值范围;2 m2cos( a - b) =- - 1.(2)证明：5p

24、【答案】( (I) )f(x)=2sin x,x = kp+?(k?Z).； ( (n) )()( (& &角角) )【解析】解法一：(1)将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的1tan (a + P)=-R2. 2015 江苏高考，8】已知tan : - -2,7，则tan -的值为【答案】3【解析】n1+2tan 1 “anC：_：)Jan(：tan：1 7=3.3.【2015 高考福建，理 19】已知函数f(x)的图像是由函数g(x) = cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，p再将所得到的图像向右