高考数学难点突破18__不等式的证明策略

1、状元源http:/zyyloo.com/免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式 证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式 的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场()已知。>(),/?>(),且 a+h=.求证:s+丄)()2竺a b 4案例探究例门证明不等式】+厉+厉+矿命题意图：木题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题冃，考查学生观察能力、 构造能力以及逻辑分析能力，属级题冃知识依

2、托：本题是一个与自然数乃有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及 不等式证明屮的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错课：1这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：木题证法一采用数学归纳法从77乂到n=k+的过渡采用了放缩法；证法 二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心, 发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；(2)假设心如1)时,不等式成立,即1+$ +杏+.+ *<2,贝叽+芈+ 土 +刀亘 a/2 v3+ 2乂 伙+ 1) +1 k+(k + 1)

3、+ 1 vt+t vt+7当n=k+l时,不等式成立.综合、(2)得:* 1 1 1 当圧n吋，都有1+士 +斗+ + ¥ a/2 v3另从r到r+1时的证明还有卜-列证法: 2仗 + 1)-1 -2jk伙+ 1) =k-2伙仗+ 1) + 仗 + 1) =(vt-vm)2 >o,2jr 伙+ 1) + 1 <2伙+ 1),*.* j比 + 1 > 0, 2.yk h/< 2k +1.vefi又如:v 2vttt _ 2ql > /2qk + j£ + l+jk + l. 2vt + j=<2jk + l.vf+t证法二 对任意run：都

4、冇：1 _ 2 2 vrvt+vt vr+vrn= 2(vt-vtt),因此1+1 1 17t7t+石< 2 + 2(v2 -1) + 2(v3 - v2) hh 2(v" jn 1) = 2ylh.证法三:设心)=2丽一(1那么对任意kwn *都有:伙+ 1)_2心伙 + 1) 1vt+1伙 + l)_2jk伙 + )+灯=巫举00 4k + vth朋+i)>/伙)因此，对任意 nwn“ 都有f(n)>f(n)>->f()=i>0,' 1hf= h；= + f= < 2.yln.yll v3 4n例2求使v7 + 77 wax +

5、y (x>0, y>0)恒成立的。的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学牛逻辑分析能力，属于 级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题目,所求a的最值蕴含于怛成立的不等式屮, 因此盂利用不等式的冇关性质把a呈现出来，等价转化的思、想是解决题h的突破口，然后再 利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定q的収值范围，此时我们习惯是将x、y与 cos 0、sin 來对应进行换元，即令vx =cos ，yy =sin (0< < ),这样也得a2sin +cos0,但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了 x、

6、y的范围；(2)这样换元相当于本 题又增加了 “x、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a f(x)，则如冃皿；若。有(尤)，贝u qmaxhwmin，利用这一基本事实，町以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题还冇三角换元法求最值用的恰当好 处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2-jxy w /(x+y),即 2 -yjxy w (/ 1 )(x+y),当且仅当兀二y时，中有等号成立. 比较、得a的最小值满足a2-1 = 1,/.a2=2, a=y

7、j2 （因 a>0）,的最小值是解法二x + y +x+ yx + yvx>（）, y>0, .xy2yxy （当 x=y 时"二”成立）,逅w1,晅的最大值是1. x + yx + y从血叫知，w的最大值为jl + 1 = v2 ,又由已知，得:.a的最小值为解法三：>(),原不等式可化为耳+lwa,设 j=tan，0 e(0,壬).tan + 1 wa jtan，& +1 ；即 tan + l wasco &/.izsin &+cos =a/2 sin（ + ）,4xvsin（ +兰）的最大值为1（此时0 = -44由式可知a的最小

8、值为v2 .锦囊妙计1. 不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基木的 方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主耍方向是因式分解、配 方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则 考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提， 充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2. 不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式 法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应川换元法时，要注意代换 的等价性.放缩

9、性是不等式证明屮最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要 证的结论中考查.冇些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含冇“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各 种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题!.()知x、y是正变数，a、b是正常数，且+ =1, x+y的最小值为va>0, b>0, a+b=f :.abs 不可能成立v =a+b2yfab , : abw ,从而得证.4证法二：(均值代换法)mx1;1以 ci +f i,

10、 b= b2 2*.*a-b 1» a>0, b>0,lfiv , iiv 2 2z 1门1、 a_+l /r + 1 (a + -)(/? + -) =x aba b(斗 + 斤)2 +1 (t + f2)i25即(a + )(b + -)> ab4证法五：（三角代换法）t a>0, /?>0, a+h= 1,故令 «=sin2 ci, /?=cos2,。丘(0，一) +1 (* + 'l +'+)(+ +2 +f +1)1 1 z 1 w 12+ zi+ '22+fl 2+ 2(g + /+ 1)(1 + 2 +f

11、+ 1) (7 + z22)2 l2_ 44-jl24253 241 t 2225>16=25 "144显然当且仅当=0,即出时,等号成立.证法三：（比较法）*a+b=l,。>(), /?>(), .a+b2yab , : abw 丄4宀1 决+1254局 2+33"+ 8(1-仙(8-")、八=> 0(lw/ l 25 (g + -)(/? +ab4a(1 v, 1、25(d + -)(/? + -)> a b 4证法四：(综合法)4cib4ab/a+b= 1, d>0, b>0,:a+b22yl，ab .425 (l-

12、)2+l> 16 丄n4 ab=>(1一")2+1>25tab1io1o1(d + )(/? + ) = (sinr a + -)(cosa + -) a bsinpcos tz_ sin4 a + cos4 a - 2sin2 ezcos2 a+ 2 _ (4-sin2«)2 + 164sin2 2a4sin2 2a/ sin2 la < 1,/. 4 - sin2 2or>4-l = 3.24-2sm2 2a + 16'25(4_sin2 2a)225i 1> n>； > 4sin2 2a4sin*- 2a 4i

13、ios即得3+丄) +丄)>.ab4歼灭难点训练一、1.解析：令=cos2 0, =sin2 0,则 x=asec2 0 , y=bcsc2 , /.x+y=t7sec2 +/?csc2 兀y0 =6/+/?+«tan2 0 na+b+2 vtan2 0 /?cot2 0 = a + b + 2yab .答案：a-b+2 4ah2. 解析：由 owlddl<lbclo(dd)2<(bc)2<=>(d+b)24adv(b+c)24/?c */ a+d=b+c, /. 4ad< 4bc,故 ad>bc.答案：ad>bc3. 解析：把、q看成

14、变量，则m<p<nf m<q<n.答案：in<p<q<n二、4.证法一：a2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c2 1)3 3=3«2+3/?2+3c2(a+b+c)2 3=3a2+3b2-3c2ctlrc1lablac2bc 3=(a b)2+(bc)2+(c)2 no a2+b2+c233证法二：*.* (a+b+c)1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2-b2-a2-c2+b2+c23(a2+b2+c2') 2 (a+b+c)2= 1 ：a2+b2+c2 三、 yi. . . i 6? 4- b

15、+i a + b + c . ? .2、a+b + c证法二：、> j ：.a+b-+cv 3v 33/+/,+<? 3证法四：设«=-+ o ,方=丄+ 0,。=丄+ y.333*.* a+b+c= 1,。/ =0/. tz2+/r+c2=(-+ a )2+( - + 0尸+( -+ r)2333=- + ( a + /3+ r)+ 2+2+ r23317门22、1=-4- x+0-+ 厂$ 33j+b'+cg 3(2)证法一:如 + 2 = j(3d + 2) x 1 < 3f/ + 2 + 2同理巧匸巨v越三，莎匚i <虫三2 2j3g + 2

16、+ j3b + 2 + j3c + 2 < 3(" + " + c + 9 = 62.原不等式成立.证法 _, j3a + 2 + q3b + 2 +3c + 2 < j (3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2)13v3* j3a + 2 + j3b + 2 +3c + 2 w 3y3 < 6原不等式成立5.证法一：由 x+y+z=l, x2+y2+z1=丄，得 x2+y2+( 1 xy)2=,整理成关于 y 的一元二 2次方程得:2y2-2( 1 x)y+2.x2-2x+ - =0, vyer,故力 $0 4(lx)24x2(2?2x

17、+丄)$022同理町得y, ze 0,-证法二：设 x=+xf , y= +y'33于是2=(丄+w )2+(|+y')2+(*+/)22+zf ?+彳(x，+y，+才)j2+才2三丄+疋2+m3e-r231,2=_ fx+v3= +x' 2+y3故",证法三：设兀、79 .,得0*弓朋0, -1十则* f +/ =0,213 , 2=+ x32. 22y, * 0,3y、z三数小若有负数，不妨设x<0,则x2>0,丄=/+)?+孑鼻 2宀耳“+丄>丄，矛盾 2 2 2三数中若有最大者大于2，不妨设x> -.则丄=? 2+孑$3 322

18、 (1 -x) a z 所以佟l仝即卅3 21=x +=x x+ 2 2 2 23 /2 x 11十二一x(x)+> ；才盾.2 3220,3乙八、丁m口b + c 7 c + d 2 d + b 7 “、6.(1)证明:对 +y +l 一2(小+ yz + e2bc+ y2 _2兀)+ (匕b + z2 -2yz) + (+x2 -2zx)b b * cc= (-2 a7+(=(令.仝一abc(2)证明：所证不等式等介于-y)2+(jjy7 c+a a+h-'歹+)2 >0a _z1 > 2(xy + zx)2 2 2" + z z + x x+y、2qy

19、 厂(+ )2(xy + w + zx)% y z9ro xyz yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) > 2(xy + yz + zx)2 o(x + y + z)(ys + yz2 +z? x + zx2 +x2y-xy2) >2(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4(x2yz + xy2z + xyz2)<=> ynl in1(2)rti二项式定理有：(1 +m)"= 1+c m+c : m2+ +c ； mn,(1+b= 1+c 仙+c 細?+c ；：/?",z + yz3 + zh + +x3y +

20、xy3 > 2x2yz + 2xy2z + 2xyz2<=> yz(y-z)2 +zx(z-x)2 -xy(x-y)2 +x2(y-z)2 +y2(z-x)2 + 2(x-y)2 上式显然成立，.原不等式得证.7. 证明：对于 1 <fw加，月.a；” =m(zn /+1),曲巴，同理竝=兰 mnl nn-i + n由于in<n,对于整数k=l, 2,，li,有一 > 一- n m.az az由知加a：>a/a；”(1v07),而 c；” = ；ili:.nicn>c,<m<n)a/n°c =n°c =l mc j

21、, =nc ；n =tn n» m2c n >n2c , ，於c：>化；, 肿c伫 >0,，rc;：>o,1+c t 加+c 細'+c ；： m > 1+c n n+c：”/+c ；： rln, 即(1+?)“>( 1+m"成立.&证法一:因q>0, b>0, /+戾=2,所以(d+b) 一 2"=4''+戾+3/?+3川,一8=3«2/?+3«/?26=3 _ab(a+b)2 =3 ab(a+b) (/+/,) =3(a+b)(a b)20. 即(a+bfw2,又

22、 o+b>0,所以 a+bw2,因为 2乔k wa+bw2,m = a + b n = ab所以abwl.证法二：设d、b为方程x2mx+n=0的两根，则 因为 «>(),方>(),所以 /?>(), hx),且 a=m2-4n) 因为 2=6t3+/23=(tz+/?)(tz2ah+b2)=(a+b) l(fl+/?)23tz/? =m(m23n)2 cn=所以23 3m将代入得/h2-4( - )0,3即 一“ +8 $（）,所以一加3+82（）,即 mw2,所以 a+bw2,3 3m得乂 /n24n,所以 4所以abwl.因 a>0, b>(

23、), /+庆=2,所以3m 由22加 即 证法三： 2=a3+b3=(a+b)(a1+b2ah) m (a+b)(2abcib)=ab(a+b) 于是有 6m3ab(ci+b),从而 83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a'y+b3= (a+b) 所以 a+bw2,(下略) 证法四：因为心巴(口)32 2_ (a + /?)4t72 4- 4b2 -4ab-a2 -b2 - lab _ 3(a + b)(a -b)2 >8所以对任意非负实数a、b,有亡兰3（凹尸2 2因为 d>o, b>0, /+沪=2,所以 1=/ +" 2（£±a）3,2 2=9，宁wl,即a+穴2,（以下略）证法五：假设d+b>