(完整word版)九年级数学下册知识点总结

1、17、当角度在 0。90。间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值、第一章 直角三角形边的关系九年级下册知识点1、正切：定义：在 RtAABC 中，锐角/ A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作 tanA, 即 tanA=/ A 的对边/ A 的邻边。tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号2”;2tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比；3tanA 不表示“tan 乘以“A”4tanA 的值越大，梯子越陡，2A 越大；2A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。（P1-6,11、P3-6、P4-

2、12）2、正弦：定义：在 RtAABC 中，锐角2即sinA=2A 的对边/斜边；A 的对边与斜边的比叫做2A 的正弦，记作 si nA ,3、余弦：定义：在 RtAABC 中，锐角2即cosA=2A 的邻边/斜边；A 的邻边与斜边的比叫做2A 的余弦，记作 cosA,4、余切：定义：在RtAABC 中，锐角2A 的邻边与对边的比叫做2即 cotA=2A 的邻边/2A 的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数， 可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函 数）用等式表达：若2A

3、为锐角，则si nA = cos（90 -2A）等等。6、 记住特殊角的三角函数值表 0,30,45,60,90（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）4少90smer0VI虚7仝2ICOScr1fTMJ772 T10nnaai巧彳;疗仆cutdi73J0A 的余切，记作 cotA ,题 6:计算:cot 45 cos60cos30tan602余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。0Wsin a1f：0Wcosal同角的三角函数间的关系：t O1a-oCa=1,tana=sina/eqs cota=cosa/sjn sia2a+C0$a=1&在 ABC 中，

4、2C 为直角，2A、2B、2C 所对的边分别为 a b、c,则有：（1） 三边之间的关系：a2+b2=c2；（2）两锐角的关系：2A+2B=90 ；（3） 边与角之间的关系：sin 等；（4）面积公式；（5）直角三角形 ABC 内接圆OO 的半径为（a+b-c）/2 ；（6） 直角三角形 ABC 外接圆OO 的半径为 c/2。（ P18-13、P16-例 5、P19-15）题 7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为1 cm 和 2 cm，若用同色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于（）。A . 2 cmB. 3 cmC. 2 cm 或 3 cmD . 2

5、cm 或5cm题&长为 12 cm 的铁丝，围成边长为连续整数的直角三角形，则斜边上的中线为_cm。3题 9：如图 2，河对岸有铁塔 AB .在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30，向塔前进 14 米到达 D，在 D 处测得 A 的仰角为 45，求铁塔 AB 的高。Z 口&R图 2题 10:已知：四边形 ABCD中，/ B =ZADC = 90, AB= 2、CD = 1、第二章二次函数1、定义：一般地，如果yax2bx c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数(1) 抛物线(2) 函数y1当a2当aax2的性质：ax2的顶

6、点是坐标原点，对称轴是y轴；ax2的图像与a的符号关系：0时抛物线开口向上顶点为其最低点；0时 抛物线开口向下顶点为其最高点。y轴的抛物线的解析式形式为(包括重合)a x h2(3 )顶点是坐标原点，对称轴是bx c的图像是对称轴平行于bxc用配方法可化成：4ac b2。4a3、二次函数4、二次函数其中h2y ax yax2?，k2a2ax (a 0)。(P21-12)y轴的抛物线。k的形式，5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2:y ax2k:y6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、1a的符号决定抛物线的开口方向：当 物线的开口大小、形状相同。2平行于y轴(或重合)的直线记

7、作y axa x h顶点。a 0时，开口向上；当22h k:y ax bx c。a 0时，开口向下；a相等，抛7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。&求抛物线的顶点、对称轴的方法x h.特别地，y轴记作直线x 0。( P23-9,10)如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、2(1)公式法：y ax bx c2b2a，顶点是(4a,j4aC)，对称2a 4a轴是直线x一。( P26-9)2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为(h,k),对称轴是直线x h。k的形式，得到顶点为45(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对

8、称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。题 11:抛物线 y= x2+ 6x+ 4 的顶点坐标是()A . (3, -5)B. (-3, -5)C. (3 , 5)D. (-3 , 5)9、 抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用(P29-例 2,1,10)2(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样。(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线。bbx，故：b 0时，对称轴为y轴；- 0(即a、b同号)时

9、，对称轴在y轴2aa左侧；b0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧。a(3)c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置。当x 0时，y C,.抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0,c):1c 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴。b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 一0。a10、 几种特殊的二次函数的 图像特征 如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时开口向上当a 0时开口向下x 0(y轴)(0,0)y ax kx 0(y轴)(0,k).2y ax hx h(h,0)y a x h2

10、kx h(h,k)y ax2bx cbx2ab 4ac b2(,)2a4a11、用待定系数法 求二次函数的解析式(P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16 )(1 )一般式：y ax2bx c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。2(2 )顶点式：y ax hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2。_ 2 2 2 2题 12：已知关于x的一元二次方程x-2(m-1)x+ (m-1) = 0,有两个实数根X1、X2,且X1+X2= 4.求m的值。

11、题 14：在平面直角坐标系中，B( .3 + 1 , 0),点 A 在第一象限内，且/ AOB = 60,/ ABO = 45。(1) 求点 A 的坐标；(2) 求过 A、O、B 三点的抛物线解析式；(3) 动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位的速度沿 OA 运动到点 A 止，若 POB 的面积为 S,写出 S 与时间 t(秒)的函数关系；是否存在t，使 POB 的外心在 x 轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出 t 的值。题 13：先化简，再求值:x25x 623x23x1 1612、直线与抛物线的交点（P47-5、P48-10,14）（1）y轴与抛物线y ax2bx c得交

12、点为（0,c）。（2） 与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点（h,ah2bh c）。（3 ）抛物线与x轴的交点。二次函数y ax2bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标捲、x2，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根。抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：1有两个交点0抛物线与x轴相交；2有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；3没有交点0抛物线与x轴相离。（4） 平行于x轴的直线与抛物线的交点：同（3） 一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点。当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为k，则横坐标是ax2

13、bx c k的两个实数根。（5） 一次函数y kx n k 0的图像I与二次函数y ax2bx c a 0的图像G的交点，C y kx n由方程组 Y2的解的数目来确定：y ax bx c1方程组有两组不同的解时I与G有两个交点；2方程组只有一组解时I与G只有一个交点；3方程组无解时I与G没有交点。（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c与x轴两交点为A x1?0， B x2,0，2ax bx c 0的两个根，故:第三章圆1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径， 圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

14、对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；2圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2、 点与圆的位置关系及其数量特征 ：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则：由于x1、x2是方程x1x2AB %4x1x22b4caa、b24ac2X271点在圆上d=r ;点在圆内dr ;点在圆外 dr。（ P56-5，6、P58-16） 证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、

15、P65-15）4、与圆相关的概念：1弦和直径。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径 ：经过圆心的弦叫做直径。2圆弧、半圆、优弧、劣弧。 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，半圆 ：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 (为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)3弓形 ：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。4同心圆 ：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。5等圆 ：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。6等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。7弦心

16、距 ：从圆心到弦的距离叫做弦心距。5、垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明： 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心； 垂直于弦；3平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。6、定理 ：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。7、 1的弧的概念 ：把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的角都是 1的圆心角，

17、相应的整个 圆也被等分成 360 份，每一份同样的弧叫 1弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。8、 圆周角 的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。圆周角定理 ： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； (P66-5 ， 7、 P68-16)9、 确定圆的条件 ：1理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线

18、段的垂直平分线上。2经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。10、 (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。 ( P69-4,5 、 P70-15)(2)三角形的 外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 (3)三角形的外心的性质：三角 形外心到三顶点的距离相等。11、直线和圆的位置关系 ： ( P72-3,5)(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。(2)相切 ：

19、直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。(4)直线与圆的位置关系的 数量特征：设O0 的半径为 r，圆心 0 到直线的距离为 d,则1dr直线 L 和O0 相交。2d=r直线 L 和O0 相切。3dr直线 L 和O0 相离。812、切线的总判定定理 ：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的 切线。 切线的 性质定理 ：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,

20、就可推出第三个。9垂直于切线；过切点；过圆心。 (P73-13、P74-3、P75-14)13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。(P77-2、P78-14)题 15:如图，PA 是OO 的切线，割线 PBC 与OO 相交于点 B、C,FA= 6、PB =4 贝UBC =的值为_14、两圆的位置关系：(P79-6、P81-13 )(1) 外离：两个

21、圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。(2) 外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。(3) 相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。(4) 内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。(5) 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。(6) 两圆位置关系的 性质与判定：(1)两圆外离dR+r ;两圆外切d=R+r

22、;两圆相 交R- rd r); (4)两圆内切 d=R-r(Rr) ; (5)两圆内含 dr)。(7) 相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。(8) 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。题 16：已知 A 是OO 上的一点，OA 与OO 相交于点 C、D,OO 的弦 AB 交 CD 于点 E, AE = 2、EB = 6.求：OA 的半径长(证 EADDAB )图 615、 圆周长公式：圆周长 C=2TTR(R 表示圆的半径)。圆的面积公式：S=nR2(R 表示圆的半径)。 弧长公式：2nnR/36QR 表示圆的半径，n 表示弧所对的圆心角的度数)。(P82-6) 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。(P82-9、P84-1、P85-8)扇形的面积公式：扇形的面积=nnR/360(R 表示圆的半径，n 表示弧所对的圆心角的度数)。 弓形定义：由