椭圆的第二定义(含解析)

1、课题：椭圆的第二定义【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（ 1） .基本量 :a、b、 c、 e几何意义：a-半长轴、 b-半短轴、 c-半焦距， e-离心率；相互关系：c 2a2b 2 , eca（ 2） .基本点：顶点、焦点、中心（ 3） .基本线 :对称轴二椭圆的第二定义的推导2c (a问题：点 M (x，y) 与定点 F ( c，0) 的距离和它到定直线l : xa 的距离的比是常数c0) ，求点 M 的轨迹ca解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PM |MFc，由此得( x c)2y2daa 2

2、c acx将上式两边平方，并化简得(a 2c2 ) x2a 2 y2a 2 (a 2c2 ) 设 a2c22x2y21(ab 0)b，就可化成b2a2这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为 2a，短轴长为2b 的椭圆由此可知， 当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ec (0 e1) 时，这个点的a轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率222对于椭圆 xy1(a b0) ，相应于焦点 F (c，0) 的准线方程是xa 根据椭圆的对称性， 相应于焦点 F ( c，0)a2b 2c2的准线方程是xa，所以椭圆有

3、两条准线c可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义【注意】 : 椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如 : 点的坐标线的方程 ),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质 (如 : 距离 角 ),要注意区别。中心到准线的距离： d= a 2焦点到准线的距离： d= a 2-c两准线间的距离： d=2 a 2ccc三第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（ 1） x 2y 2110036（ 2） 2x 2y 28x2y 210,则 :点 P 到左焦点的距离为 ()2、椭圆1 上一点 P 到右准线的距离为10036A.14B.12C.10D

4、.83、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则 :离心率 e=_；24、离心率e=,且两准线间的距离为4 的椭圆的标准方程为_ ；25、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2 倍,则 : 中心到准线的距离为_ ；56、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为的椭圆标准方程.3x2y214,求 P 点到左准线的距离 .7、椭圆方程为1,其上有一点 P,它到右焦点的距离为10064x2y21P(1， 1)，F是椭圆的右焦点， 在椭圆上有一点M ，使MP2 MF的值最小， 求 M 的8、已知椭圆3内有一点4坐标（如图）分析：若设 M (x， y) ，求出 MP 2 MF，再计算最小值是很繁的 由于 MF是 椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法解：设 M 在右准线 l 上的射影为 M 1 由椭圆方程可知a 2， b3， c 1，e1 2根据椭圆的第二定义，有MF112 MFMPMM1 MM 1，即 MEMM1 MP22显然，当 P， M， M 1