2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式优化练习新人教A版选

1、 三排序不等式 课时作业 A 组基础巩固 r r . 2 2 2 1 .若 A= Xl+ X2+ Xn, B= X1X2+ X2X3+ Xn-lXn+ XnXl 其中 XlX2, 与B的大小关系为( ) A. AB B. AB D. Aw B 解析：依序列 Xn的各项都是正数，不妨设 O X1X2 + X2X3+ 2 Xn X1X2+ X2X3+ + XnXl. 答案：C 2. 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件、5 件和 2 件, 为 3 元、2 元和 1 元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为 ( ) A. 20,23 B. 19,25 C. 21,23 D. 19,24 A

2、解析：最多为 5X 3 + 4X 2 + 2X 1= 25, 最少为 5X 1 + 4X 2+ 2X 3= 19,应选 B. 答案：B a + b+ c 3. 锐角三角形中，设 P= , Q= acos C+ bcos B+ ccos A,则 A. P Q B. P= Q C. Pw Q D.不能确定 解析：不妨设a b c,贝 U AB C, cos O cos B cos A, acos C+ bcos B+ ccos A 为顺序和， 由排序不等式定理，它不小于一切乱序和， 所以一定不小于P, Q P. 答案：C 4. (1 +1) 1 + 41 + 21 + 61的取值范围是( ) A.

3、 (21 ,+) Xn都是正数，则A ,Xn , X1为序列Xn 2 2 XnX1 ,即 X1+ X2+ + 现在选择商店中单价 P、Q的关系为( B. (61 ,+) D. (3 n- 2 ,+) C. A B 2 C. (4 ,+) 解析：令 A= (1 +1) 1 + 4 1 + -23 解析：设 a1= 1（件），a2= 2（件），a3= 3（件），b= 10（兀），b2= 13（兀），b3 = 20（兀），则由 排序原理反序和最小知至少要花 a1b3+ a2b2+ aab1 = 1X20+ 2X 13+ 3X 10= 76（元）. 答案：76 元 &在 Rt ABC中，/ C

4、为直角，A, B所对的边分别为 a, b, 2 5 8 3n 1 =TX 4X 7XX 3n 2, 3 6 9 3n B= 2 X 5X 8 XX 鬲二 i, 4710 3n+1 C= 3x 6X 6右 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由于 123, 456, 789 3n 1 3n 3n+1 _ _ _ 0 3n 2 3n 1 3n 所以 ABC0.所以 A3A B C. 由题意知 3n 2 = 61,所以n = 21. 又因为 A- B- C= 3n+ 1 = 64.所以 A4. 答案：C 5.已知 ai = 2, a2= 7, a3= 8, a4= 9, as= 12, bi= 3

5、, b2= 4, b3= 6, b4= 10, bs= 11,将 b (i = 1,2,3,4,5) 重新排列记为 C1, C2, cs, C4, C5,贝U a1d + a2C2+ a5C5的最大值是( ) A. 324 B. 314 C. 304 D. 212 解析：两组数据的顺序和为 a1b1+ a2b2+-+ a5b5 = 2x 3+ 7x 4+ 8x 6+ 9x 10+ 12x 11 = 304. 而a1 C1+畋2+ a5C5为这两组数的乱序和， 由排序不等式可知， a1C1 + a2C2+-+ a5C51 Vi F 值是 _ ，最小值是 _ . 解析：由反序和W乱序和W顺序和知，

6、顺序和最大，反序和最小，故最大值为 32,最小值 为 28. 答案：32 28 7.儿子过生日要老爸买价格不同的礼品 1 件、2 件及 3 件，现在选择商店中单价为 13 元、 20 元和 10 元的礼品，至少要花 钱. 4 则aA+ bB与卞卄b）的大小关系为 - 5 解析：不妨设ab0, 则A B0,由排序不等式 aA+ bB aB+ bA厂 n aA+ bB= aA+ bB ? 2(如 bE)a(A+ B* + b(A+ B) = T(a+ b) aA+ bB-4( a + b). n 答案：aA+ bB辽（a+b） 证明：设a b c0, 由不等式的性质，知 a5 b5 c5. 根据排

7、序不等式，知 2 2 2 1 1 1 又由不等式的性质，知 a b c , c3b3A a. 由排序不等式，得 a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 1 3+ 3+ 3 3+ 3+ 3= +厂+一. cababcabc 由不等式的传递性，知 5 . 5 5 8 . 8 8 111a b c a + b + c + 厂+ 1 3 3+ 3 3+ 3 3= 3 3 3 a b c b c c a a b a b c 原不等式成立. 10.设 0a1Wa2Wv an,0bw应三三 bn, o, C2,，o为 b1, b2, 求证：f a/ . aA a, a? . ad A a? a2n 证明

8、：T 0a1 a2 an,： In aS In a2 In an. 又/ 00, a+ b+ c0, 2 2 | 2 2 | 2-2 口 be + c a + a 2.已知 a, b, c R+,贝U a2(a2 bc) + b2(b2 ac) + c2(c2-ab)的正负情况是( ) A.大于零 B.大于等于零 解析：不妨设abc0，所以a3b3c3,根据排序原理, 3 3 3 3 3 3 得 a a+ b x b+ ex c a b+ b c + c a. 又知 abacbc, a2b2c2, 所以 a3b+ b3c+ c3aa2bc+ b2ca+ c2ab. - a4 + b4 + c4

9、 a2bc+ b2ca+ c2ab. 即 a (a bc) + b ( b ac) + c (c ab) 答案：B 2 2 2 2 解析：ai + 2a2 + 3a3+ 4a4 的最大值为 1 + 2 + 3 + 4 = 30. 最小值为 1X 4+ 2X 3+ 3X 2+ 4X 1= 20. ai+ 2a2+ 3a3 + 4a4 的取值范围是20,30 丈因为f （龙）=In 为増函數* j- n b. Taa2- B 组 能力提升 B. P Q D. P Q 1 1 1 贝 U 0-w=w-, 0bcbc0, ML J 7 答案：20,30 1 1 1 4已知：a+ b+ c = 1, a

10、、b、c为正数，则 + CTa+aTb的最小值是 _ 解析：不妨设abc, 1 1 1 /. . b+ c c+ a a+ b a b c b c a /. + + + +- b+ c c+ a a+ b b+c c + a a+ b a b c c a b + + + + - b+ c c+ a a+ b b+c c+ a a+ b a b c 3 + + A b+ c c+ a a+ b 2 1119 + + A b+ c c+ a a+ b 2 答案：2 5.设 a1, a2, a3, a4 Q且 a1+ a2 + a3 + a4= 6, 2 2 2 2 、a1 a2 a3 a4 求+

11、+ 的最小值. a2 a3 a4 a1 1 1 1 1 2 2 2 2 a1A a2A a3A a40，则萨才萨01, a1A a2A a3A a4, 为1 a1+ 丄 al+ 丄 a3+ 丄 a4= a + a2+ a3 + a4 = 6. a1 a2 a3 a4 2 2 2 2 3 a*1 a2 a3 a4 由排序不等式知当 a1 = a2= a3= a4= 时，一+ + +有最小值, 2 a2 a3 a4 a1 最小值为 6. (1) c(a+ b- c) A b(c+ a- b) Aa( b+ c- a)； 2 2 2 (2) a (b+ c a) + b (c+ a- b) + c

12、(a+ b- c) c,求证: -”和“ a2, 8 因为 bc, b+ c a0, 于是 c( a + b- c) b( c+ a- b) 0, 即 c( a+ b c)b( c+ a b). 同理可证 b(c + a b) a( b+ c a). 综合，证毕. 由题设及知， a bc，a( b+ c a) b( c+ a b) c(a+ b c), 于是由排序不等式：反序和w乱序和，得 2 2 2 a ( b+ c a) + b (c + a b) + c (a+ b c) w ab(b+ c a) + bc(c+ a b) + ca(a+ b c) =3abc+ ab( b a) + bc(c b) + ca(a c). 再一次由反序和w乱序和，得