学习电动力学的数学准备

1、学习电动力学的数学准备2012-05-31 11:57:04|分类：默认分类|举报|字号订阅知识前提1. 普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数一应很熟悉2. 矢量分析，场论基础一作为本课程的第0章3. 数理方法（程），特殊函数一提到时应该能理解第0章数学准备第一节矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这 两方面的有关内容进行总结归纳主要是为了应用，而不追求数学上的严格.一、矢量代数1 两个矢量的点乘、叉乘丫： a =（知禺耳）b =（对上2鸟） 则乙卩的点乘（也称标量积）ah-+&2® + a 毎- ba - a b

2、cos a為手的叉乘（也称矢量积）勺 二冠（勺鸟一色坊）+玄（也知一么肉）+务（0為一勺$）恥5的大小邮t , 为驾s的夹角方向：既垂直丁®又垂直丁®与"满足右于螺旋关系。叉乘的不可交换性打几42 三个矢量的混合积c (axb) = cy(a xb +巾牝30x血)3=6(a0 -阮)+勺(钠 讪)+巧(a心一6®)几何解释:以乳4*为棱的平行六而体的体积性质:(1)轮换不变性，在点乘号，叉乘号位置不变的情况卜，把矢量按顺序轮换, 其混合积不变.a(bxc = b-(cx = c(axb)(2)若只把两个矢量对调，混合积反号。a (6x?)«-

3、a (?x6)(axc)«-? (xa)(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号，混合积不变一但必须先做叉乘(用括号 保证这个顺序)。(j x c) = (wxf) 亍3 三个矢量的叉乘则'71 = c2 (&02 a禹)勺(a曲 一 a肉)=©(巾玄+巾血)址(巾乂2 +巾勺)=q©鸟 +c2b2 +<7曲)一务(<7曲 +勺勺 +勺勺)=ax(c -6)-(?-3)同理5)z =a3(c-b')-b3(c-a)二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取 正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘

4、以另一矢量所得的项取负号。 两者取和。（”远正近负，再取和”）二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速 度）在空间的分布和变化规律。这是需要引入场的概念。如果在全部空间或部分 空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了 该物理量的一个场。1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标£空间坐标敢心”刃二齐+0+忘，rjfk构成右手系。标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场空间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量2物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号标量场k初矢量场p = f(x)4.

5、 场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为 不稳定场。三、场分析及其微分特征量（矢量微分）整体上来看 分析场的奇异性，敛散性 局域上来看函数某点附近的性质，微分特征量。1 梯度在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。但是这 只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整休性的了解。而研究标 量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中 各个点的邻威内沿每个方向的变化情况。为此，引入方向导数，梯度的概念。(1) 方向导数方向导数给出了函数0(初在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，

6、函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多 少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。函数姻在r点/方向上的方向导数为(场的空间坐标为“)_ dx 3$ dy 3© &=£石十东色十苍石，方向上的单位矢量'竺+了空+f竺dl dl dldx=cos a dldz=cos dl7在立点j方向上的方向余弦。其余三个数黑，莎%忘也可视为某-矢量的坐标(2) 梯度在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：如厂斛+辭+职这样上式可以表示为从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数姻上升最快的方向，大 小为其改变率数值。（3）梯度的性质（1）梯度与坐标系的选取

7、无关，只取决于场的分布；（2）方向导数是梯度在该方向上的投影；（3）梯度的方向为指向如增加最快的方向。2 散度：通量通量的定义，设冇矢量场戸，沿某冇向曲血犬的某侧面的曲面积分訂戸禽5叫做矢量场戸向积分所沿一侧穿过曲面壬的通量。说明：1 积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分；2通量可以叠加；二帖臺3.若为闭合面， ，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿岀曲面为正，穿入曲而为负，相切为零。根据通量的匸负可以得知s内有产生通量的止源（源）或负源（汇、壑、闾）。 但仅此还不能了解源在s内的分布情况以及源的强弱程度等问题。为了描述上述 问题，我们引入散度的概念。（2）散度-.（f ds散

8、度（divergence）的定义呵詡八鹦匕 散度表示在场屮一点处通量对体积的变化率，乂称为通量休密度。也就是在该点 处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处源的强度（散发通量或吸收源，其绝对值旳'通量的能力）。其符号的止负表示在该点处有散发通量之止源或有吸收通量之负 就相应的农示在该点处散发通量或吸收通量的强度。对于流 体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度，（单位时间单 位体积内所产生的流体质量）。（3）散度的性质（1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。痂.升些+埜+些（2）在直角坐标系下有dx 9y dz3. 旋度（1）环量的定义：设有矢量场戶，则沿场中某

9、一闭合的有向曲线/的曲线积分称为此矢量场按积分所取方向沿曲线/的环量。我们已知磁场中有由上式可以知道，磁场刃的环量，为通过磁场中以?为边界的一块面积勺的总的 电流强度。显然，仅此还不能了解磁场中任一点“处通向任一方向方的电流密度（即 在点必处沿亓的方向，通过与亍垂h的单位而积的电流强度）。为了研究这一类问 题，我们引入环量面密度的概念。（2）坏量面密度。设“为矢量场卫中的一点，在必点处取定一个方向穴，再过"任作一微小曲面闪为其在“点处的法矢，对此曲面，我们同时又以农其面积，其周界山之正向 取作与方构成右手螺旋关系。则矢量场沿“之止向的环量人与面积之比，当曲ar面少在保持"点

10、于其上的条件下，沿着自身缩向m点时，若&的极限存在，贝ij称 氏为矢量场p在点m处沿方向亓的环量而密度（就是环量对而积的变化率），记 作久，即,例如，在磁场强度斤所构成的磁场屮的一点“处，沿方向方的环量面密度,dl脱涪叫电流密度）乂如在流速场审中的一点"处，沿方向穴的环量面密度为=hmir£=lim=f bi 曲 bi £ ds即为在点“处与方成右手螺旋方向的环流对而积的变化率，称为环流密度（或环流 强度）。单位时间单位面积流走的电荷电量。从上面我们可以看出，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方 向导数与方向有关一样。然而在标量场中，梯度矢量

11、，在给定点处，它的方向表 出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任意方向 的投影，就给出该方向上的方向导数。这种情况，给我们一种启示，能否找到这 样一种矢量，它与环量面密度的关系，止如梯度与方向导数z间的关系一样。这 个矢量我们称之为旋度.下面，我们给出旋度的定义，（3）旋度若在矢量场戸屮的-点“处存在这样的个矢量衣，矢量场戶在点“处沿从方向的 环量面密度为最人，这个最人的数值，正好就是冈，则称矢量为矢量场戸在点“ 处的旋度（rotation, curl）,记作rot,即rotf -r简言z,旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。（4）旋度的性质（1）旋度与坐标系

12、的选取无关，只取决于场的分布；（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即有 2吵=弘o- .fl从=才 rotf = li m 例子1：在磁场 中，旋度r旳是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向, 其模即为最大屯流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的 电流密度。在电学上称r肝为电流密度矢量。例子2：在流速场。中，旋度"母是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向,其模即为最大环流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的 环流密度。（3）在直角坐标系屮rotf = vx/ =例题：设一刚体绕过原点。的某个轴2转动，其角速度为二如+

13、型丿则 刚休上的每一点处都具有线速度亍，从而构成一个线速度场。由运动学知道，矢 径为4/+方+汰的点m的线速度为v = xf=+（驾兀一卒）亍+（少一0）匚求线速度的旋度。解：市速度场的雅可比（jacobi）矩阵dv =0-a这说明，在刚体转动的线速度场屮，任一点百的旋度，除去一个常数因子外：恰 恰等于刚体转动的角速度（旋度因此得名）。注，对于一个矢量/仗丿二乳+血+耳，雅可比矩阵可以表示为乳-&%&西&英¥%¥西¥敢-av-av西&一一世、其中对角元譽，创,譽之和为应，其余六个正好是旋度的公式中所需要的。按 照逆s顺序排列，每两个

14、作为一组求和，其屮后面的偏导数前面加负号，并且按 照g的顺序排列。四、几个重要定理1.牛顿一莱布尼兹定理么v疝（由方向导数的公式dl从孑到5取积分得到2奥斯特罗格拉得斯基公式（或称高斯（gauss）公式，奥高公式）:闭曲面s为v的表面，虑等于亦乘以外法线方向单位矢量。（在矢量场中任取体积7,包围这个体积的闭合面为用垂直于坐标轴的三组 平行面把休积$分割成许多无限小的六面体（分割足够细，可以看成六面体），一 一 血臣赢diyf = vf = im由散度的尢义耳 可知，通过每个六面体表面的通量是,在$所围的体积八卩，小六面体的表面可以分成两种: 一种是内部的面，它们每个同吋是相邻两个小六面体的表面

15、，但是对于这两六面 体，此面的法线方向应当是相反的，所以此面的通量对一个六面体来说是正的对 另一个就是负的，因而在求和时，所有内部的面上通量都互相抵消，另一种是外 部的面，它们是面s的一部分，而且只是六面体的一个表面，所以求和时只剩下这部分通量的和，由此可见，上式的右边就是通过而s的通量即，最后得到3斯托克斯(stokes)公式：f-dt = (vx/).dsls闭曲线z为s的边界。s方向与£成右于螺旋关系。(在矢量场区中，任取个非闭合面它的圆周界长度为丿，把$任意分割为无数多的面积元如，也的边界为'，绕行的方向与的绕行方向相同，根据旋度的定乩=瓦rotf = 义式 对于每个

16、面积元矢量;i的线积分为好心声s3)严=ds= (rotf ds将此结果求和jh n ,沿小而积元的边界取线 积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，而且积分的方向相反，在求 和时这两部分互相抵消，结果只剩下外边与/重合部分的积分值，因而得到-df = (vxf)ds = (vxf)ds于是最后得到乞)4. 标量场木质上可以由该场的梯度确定，矢量场木质上由该场的散度、旋度确定。五、微分算符 (nabla, hamilton,代尔)的性质(1) 算符性(约定被作用量放在算符的右侧)(2) 矢量性(3) 一阶微分性(4)直角坐标系下,v =血+dx dyd-2 二次微商(1)vx =证明：d

17、 d<ff3 30 *dy dzdz dy )=0逆定理：反之，在单连通区域，如果某一矢量/的旋度为零(vx/=o),则矢量 f可表示为某个标量的梯度 5,'称为矢量场7的标量势。补：单连通区域的判定办法：对于区域内任意选取闭合回路，都能使之在区域内 连续收缩，若能收缩为区域内的一点，则该区域为单连通区域(1) 无孔的三维空间一单连通(2) 三维空间抽出2轴非单连通(3) 三维空间挖岀一个球一单连通(4) 三维空间挖出一个球壳一非连通，球内球外均为单连通，整体为非连通区 域。(5) (2)中去掉包含z轴的半个空间一单连通(6) 除去包含闭合电路为边界所张成的面后的空间一单连通&q

18、uot;5卜0证明：v(v")=誰-對+籍-韌+誰-刼"记忆：v (vv)-/(vxv)=°逆定理：如果某一矢量n的散度为零（），则矢量才可表为另一矢量的旋度=vxo 7称为矢量场7的矢量势/ 护 g2 %=（77）卩=心=2=（ +吕 + 扣卩（3）ox uy uz(4)vx(vx/) = v(vj)-v27ilf明.山 cx(axb) = (c b)a-(c a)b = a(c b)-(c a)bvx(vx7) = vv /)-(v.v)/ = v(vj)-v73乘积场的微商，算了具有矢量性和微分性(1-18)v-(<zy)= 7-(v<b) +

19、/(| 9)vx（7） = -7xv<p+x7（l20） v（7xg）= g （vx/）/（y“） （1.21） vx（/xg）=（g v）/+7（v g）-（7 v）g-g（v /）（| 22） vc? g）-/x（vxg）+（7 v）g+gx（vx/）+（g v）7 （l23） 只要把看成具有矢量运算和微分运算双重性质的量，从这两种运算的特点考虑, 即可得到上面这些式子。（1.18户作为一个矢量，与标量知和乘，结果应是矢量，由于可乂是微分算了，因 而它对如的乘积的作用n迪4应得卻处回d 0（l.19）v作为微分算子，既要作用到。上，又要作用到/上，再考虑到9的矢量性质, 必须把点乘放

20、在正确的位置上，不能有/（硏0）而应得/7）两项。（1.20）与上式道理相同，作为微分算子既耍作用到°上，又要作用在/上，但叉乘 号必须放到正确位置上，因而得/“+吧"。（1.21）叩“）根据的微分性质，应分別作用到几总上，可形式上写为v（7x = 7, （7xf）+vr（7xg）而且还有矢量性质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分 别直接作用到7和然上。由第二项匕仃住）不能写成厲对）可 因j要作用在武上。考虑到 故得 7(7xs) = g (vx/)-7(7xg)（| 22）%少。町叩词+齐叩“）（微分性）由珂皿口"厂何叩因而由矢量性得v/x7xg)=(g.v/

21、)/-g(v/j) =(g-v)7-g(v./)（er刃7 = 0巧7,因耳只作用在/上同理,vrx(7xg)=/(vr g)-(vr 7)g=7(? g)-(7 v)g最后得 vx（/xg）=（g.v）7+7（v g）-（7 v）g-g（v7）(|23)v(/-g)=v/(7-g)+乞&）（由微分性）|f|j | j | (ax6)xc=(f o)6-(c b)a彳曰（5佰.可=伍£）疾一（wx）xf 故 vz(/ «)-(« vz)7-(vzx7)xf«(g v)7+gx(vx/) （括号里面的量一个一定在括号外，有一个一定在括号里面。其脚标

22、的量一定在 括号内，不是脚标的量一定在括号外。勺表示对"乍用，因此/一定在括号里面， 因此有化厂刀，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。）同理 vg（/ g>vf（g./） = （7 v）g+/x（vxg）于是7 g）=7x（vxg）+（7.v）g+gx（vx7）+（g v）7六、特别提醒以上应用的微分运算要严格按照要求，规范书写。作业：书后习题1、2、3、4、5、6第二节几-函数简介本节是为了格林函数做基础的，可视具体学时适当删减。一、电荷密度的5函数表示1、数学上的§函数定义质点二0处的5函数定义为：藐）=0 "0 ;j <5（稲 7=1_ af

23、积分区域v为包含x = 0点的任意区域。口j见，在z点，知必为无穷大，否则不可能使包围点的小区域内的积分为1。性质 选择性片心*® , /为原点z附近的连续函数。$为包含亍在 内的任意区域。偶函数d（x）= +d（x）<?（«） = s（x）/a更般的6函数应定义在十附近:6（x-dv = hv当xf ev吋fx）3x-dv = f性质选择性卩沟为呗:附近的连续函数，为包含尸点在内的任意区域。2、电荷密度：通常电荷密度是与空间位置有关的有限连续函数。如果不是有限连续的，例如点 电荷（点电荷是体积很小，电荷密度很大的带电小球的极限），或分布在一表面 上或一曲线上的电荷，

24、可用§函数表示，因此我们可以用来表示 一个点电荷的电荷密度为如也5q（天）=乞农（-宅） 一组点电荷的电荷密度为， 一个在原点处的电偶极子的电荷密度为a） = -（/ v>5（x）（畑函数的导数是奇函数，以电偶极子p =的小心为坐标原点，两个点电荷坷分亠= ± = ±（心臣 + 玄 + az區）/2别处丁 2?"，于是当，该体系的电荷密度为q(亍)=_ )_ 今+ )=今詡竺弘+竺+叫 dxf聊a= qt-vfs(x)= -(v)5(x)其中 在曲线坐标系屮用§函数表示电荷密度。例如，在球坐标系屮均与分布在半径为虑的球壳上的电荷为j则电荷

25、密度为 在柱坐标系111均匀分布于半径为b的圆柱面上每单位长度的电荷为q ,则电荷密 度为qo） =刍5（厂-心）27tbjjc(r)rdrdddz = 2二、一个有用的公式1p_ =-v飞=-4加5（壬f（其中小ja-b+a-yy+u-b °由此得由库仑定律：57方二丄厶二厶4羽（天一丘）二纟d（一 f） 4唱k 4码%这个式子在i。处是没有意义的，那么这个式子代表什么。原来一个封闭面的面 ds= -（v-）-ds积分厂 厂是有意义的。右方等于4开，（如果积分面所包含的体积包含原点）;或等于零，（如果积分面所包含的体积不包含原点）。将上式改写为如果体积包括原点，右方等儿"

26、如果体积不包含原点，右方等丁零。因此可以用-j（v3 av=j 4辭-和？由于其中所选的体积任意则有=-4刘（壬-亍）这个式子的意义仅是原来的ds一4开或0（视面所包含的体积是否包含原点）这个式了是有实际用途的。证明：叫i宁十（5 （此种证明并不严皿）v-3=0在心0即"处，厂 ，但在处其值是无穷大的，即它是一个刀函数。取以0点为屮心，半径厂t°的小球面，由高斯定理，及球面元矢量ds = r2sm0d0dr 仃jvf"二血§廳二v开曲关于函数的定义，有4加5（天一亍川7 = 4兀p（当十在内），由于所选体积任意，因此y ： = 丄=4加仗一f）尸尸。严谨

27、证明：在球坐标系中，叫t欽帥"，。-v2-在"°点，厂奇界,上式不成立。因此 是这样一个函数，它丫 1一。处的值为零,只有在点上可能不为零。我们采用极限的方法来求此积分r缶(/+/屮丿dr(八+/)2作积分变数变换"2、可见上式极限存在j 护 j7 = -12汀j：-丹笃=-4开|丫=4开'3+m3+沪其屮利用代换，积分区间为g齐因此证明了叫"(5。三、函数一些其他性质引入§函数的导数忌)，“(x)d(x-心)必=df(x)/dx =八心)定义了炯。s函数显然满足了畑十)由此得<5'(x)= -(5*(-x)s函

28、数与'函数，满足下面的式子j (”) 3(xt-x) = f(x)6(xt-x)xtf(x) 0 )=?wl (其屮兀为*)的根)，此外乂有63) = <5(x)/|a| ,<5(/ 一 屮)=q(x - a) + 沢兀 + a) /2 ” |x|<5(?) = <5(x)上面式子的证明，只消讨论双方乘上一任意函数/(x)而积分的结果。第三节张量代数与张量分析标量场0,可以用个数描述，3°矢量场心,可以用三个数描述,孚二阶张量可以写为(w-u.3),宁从上面公式可以看出，张量是具有九个分量的物理量。张量f的九个分量写为当这九个分量在坐标系转动下按照h变化吋，由它们组成的物理量就称为张 量。若”,称为对称张量，对称张量只冇六个独立分量。若几称为反对称张量, 反对称张量只有三个独立分量。1 并矢两个矢量之和&并列放在一起，它们z间不做任何运算，称为并矢。斯m的并矢 记为霜。它是二阶张量的一个特例，它有九个分量若直角坐标系的单位基矢为勺旳0,则并矢貓可以写为写成矩阵形式为衲g2