由一道课本习题引发的探究

1、    由一道课本习题引发的探究    张昌盛摘  要：教学活动中，常常遇到各种困惑与不解，这正是教师提高认识的切入点.作为教师，一定要有探究意识与探究精神，抓住适合探究的节点开展探究活动才能真正培养学生的探究意识.关键词：教学活动;探究问题提出平面向量不仅是解决几何问题的有力工具，而且提升了我们对“数、量和运算”的认识. 向量是连接几何与代数的桥梁，运用它可以快速便捷地处理数学问题. 但是，在处理一些平面几何问题时，向量法反而显得麻烦、啰嗦，体现不出向量的优势. 比如苏教版必修4第67页习题2.2第11题，它的求解就让学生十分困惑向量法是否真

2、的简单.题目：如图1，平行四边形abcd中，e是cd中点，ae交bd于m点，试用向量的方法证明：m是bd的一个三等分点.图1解法1（向量法）：设  =  =（  -  ），则  =  +  =（1-）  +  . 因为e是cd的中点，所以  =  +    由a，m，e三点共线，所以有  =  =  +    .由平面向量的基本定理得，1-=，=  ，解得=  ，即m是bd的一个三等分点.解法2（

3、几何法）：因abcd平行四边形，所以de平行于ab，于是有dmebma. 又因为e是dc中点，从而有  =  =  ，即m是bd的一个三等分点.评析：解法2不是用向量求解的，固然不符合题目要求，但它却比向量法简单. 面对学生的疑惑，难道教师只能说解法2没有按照题目要求求解？任何一个方法都不是绝对的好方法，要针对不同的情况恰当地选择解题方. 如果这样，学生对向量的探索欲望就会大打折扣，甚至会留下向量法不如普通几何法简单的数学印象.问题探究平面向量基本定理的前提条件是两个平面向量e1，e2不共线，结论有两点：一是存在实数1，2，使得对于平面内任意向量p，都有p=1e1

4、+2e2;二是1和2唯一，这里的唯一性也就是说：若p=1e1+2e2=1e1+2e2，则必有1=1，2=2. 事实上（1-1）e1=（2-2）e2，而e1，e2不共线，所有必有1=1，2=2. 若记1e1=a，1e1=b，2e2=c，2e2=d，即有下面的推论.推论：若向量a，b共线，向量c，d共线，向量a，c不共线，且a+c=b+d，则有a=b且c=d.利用该推论来证明上述问题就非常简捷：+  =  =2  =2（  +  ）=2  +2  ，由推论得  =2  ，  =2  ，所以

5、m是bd的一个三等分点.推论应用在涉及运用“向量共线”这一思路解决问题时，运用该推论不失为一个很好的方法，下面提供3个例题供读者参考.例1 如图2所示，在平行四边形abcd中，aebd于e点，cfbd于f点，求证：ae=cf.图2证明：平行四边形abcd中有  =  ，所以  +  =  +  . 又    ，    ，所以有  =  ，从而ae=cf.例2 （2004年全国数学联赛）设点o在abc的内部，且有  +2  +3  =0，则abc的

6、面积与aoc的面积之比为_.图3解：如图3，连接oc，过o点作odac交ab于d点，oeab交ac于e点，ohac交ac于h点，过d点作dgac交ac于g点，则oh=dg;过b点作bkac交ac于k点.由  +2  +3  =0得  +2  +2  +3  +3  =0，从而有  =    +    . 又  =  +  ，所以有  =    ，于是有oh=dg=  sinbac，bh= 

7、0;sinbac，所以有bh=3oh. 又因为ac是abc与aoc的共同底，所以abc的面积与aoc的面积之比为31.评析：上述问题的求解思路是将两个相等的向量（或同一个向量）分别用两组基底来线性表示，而两组基底中的基向量分别对应平行，故可以利用推论解决问题.例3 如图4，在abc中，bo为ac上的中线，  =2  ，若    ，且  =    +  ，则的值为_.图4解：因为  =    +  ，所以  =  -  =    

8、;+（-1）  .又  =  +  =  +    =  +  （  -  ）=    +  ·    =    +    又因为    ，故可设  =  ，于是有    +（-1）  =    +    .所以有  =  ，-1=  ，从而得=  .评析：在使用该问题中的已知条件    时要设一个辅助量，即设  =  . 只要用两组分别对应共线的基底表示出等号两边的向量，然后就可以转化为例1、例2中的情况类似求解. 可见利用向量解题，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，这正是向量解题的优势所在.思考感悟在和学生一起学习数学的过程中会遇到各种各样的问题，面对学生学习中的困惑或教师教学中的困惑，教师一定要有探究意识与探究精神，一个不探究的教师很难教出充满探究精神的学生. 培养学生的探究精神，是课标提出的要求，如何落实