实验七矩阵特征值问题计算报告

1、实验七矩阵特征值问题计算'冋题提出利用幕法或反幕法，求方阵a =(竹7)”刘的按模最大或按模最小特征值及其对应的 特征向量。设矩阵a的特征分布为：|人| n |人| |人| nn |4-i|之肉|且axj =九丹试求下列矩阵之一-1 2 1 _(1)2-41求入，及斗1 1 -6取泸)=(1丄1)7',£ = 10一54-2-257 3-11 147 232 653 53结果人-6.42106,x, - (-0.046152,-0.374908,l)r71(2) a =31-1475124取 0) = (1,0,1,0,0,1/,£ = 105结果：人=21

2、.30525“6 =162139/严(0.872405401,0.9973,0.5644,0.4972丄0)了2 -1-1 2 -1(3) a =-1 2 -1求人及x-1 2-1 2取八)=(1，1丄wkt4 结果 2 = 3.73212 11 -33 14 53 4156 -2-2 -1取d°)=(i,i,ir£=102这是一个收敛很慢的例子，迭代1200次才达到1 °”结果入 « -8.02857835 x严（1,2.501460-0.757730-2.564212）7（5）-1 2 1 _4= 2-411 1 -6有一个近似特征值一642,试用幕

3、法求对应的特征向量，并改进特征值（原点平移法）。取艸=（1,1,1）“kt4结果久=-6.42107 兀=（-0.0461465-0.37918,1）7二、要求1、掌握幕法或反幕法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵b=a-pi取不同的p值，试求其效果;3、试取不同的初始向量v（）,观察对结果的影响；4、对矩阵特征值的其它分布,如人=&且|人| = |入|日希|如何计算。三、目的和意义1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义，如求矩阵谱半径p（a）= max|a-b<i<n稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值；2、进一步掌握幕法

4、、反幕法及原点平移加速法的程序设计技巧；3、问题中的题（5）,反应了利用原点平移的反幕法可求矩阵的任何特征值及其特征 向量。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1. 进入c或matlab 发环境；2. 根据实验内容和要求编写程序;3. 调试程序；4. 运行程序；5. 撰写报告，讨论分析实验结果.解：幕法function lamdba,v=power_menthod(a,x,epsilon,maxl)k=0;y=a*x;while(k<maxl)y=y/max(abs(y);y=a*x;m=max(abs(y);x=y/m;k=k+l；if abs(y-m)<epsilonbreak;

5、endendlambda=mv=x方程组1结果»a=-12 1;2-4 1;11-6;» x=l 11'» epsilon=0.00005;» maxl=20;» power_menthod(a,x,epsilon,maxl)lambda =6.4183v =-0.0484-0.37061.0000方程组2结果» a=4 2 73 1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4;» x=10 100 1'» epsi

6、lon=0.00005;» maxl=20;» power_menthod(a,x,epsilon,maxi)lambda =21.3053v =0.87240.54010.99740.56440.49721.0000反幕法function lambda,v=inv_shift(a,x,epsilon,maxl) for i=l:maxly=x/max(abs(x)x=ayendv=y;lambda=/max(abs(x);function lambda,v=inv_shiftl(a,x,epsilonmaxl)for i=l:maxly=x/max(abs(x);x=lu

7、l(a,y,3)endv=y;lambda=l/max(abs(x);方程组1结果»a=-l 2 l;2-4 1;1 1 -6;» x=l 11'» epsilon=0.00005;» maxl=20;» lambda/v=inv_shift(a/x/epsilon,maxl)lambda =0.2880v =1.00000.52290.2422方程组2结果» a=4 2 738;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4;»x=10 1

8、00 11;»epsilon=0.00005;» maxl=20;» lambdazv=inv_shift(a,x,epsilonzmaxllambda =1.6214v =-0.4824-0.07021.0000-0.60050.5211-0.4588六、实验结果分析1.幕法幕法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法，特 别是用于大型稀疏矩阵。设实矩阵a=aijnxn有一个完全的特征向量组，其特征值为入1 ,入2，,入n,相应的特征向量为 x ,x2，,x".已知a的主特征值是实根，且满足条件|a1|>|x2|&g

9、t;|x3|>.|xn|/(2.1)幕法的基本思想是任取一个非零的初始向量vo,rtl矩阵a构造一向量序列v2=v1=2v0,称为迭代向量。2. vo =oti xi +a2 x2 + +otn xn (aho ), (2.3)于是k11 a 2a 2k22 +1 a ll+a2a2由假设|<1从而lim古-all人1这说明序列vk /xxk越来越接近a的对应于入的特征向量，或者说当k充分大吋叫a勺几（巧，（25）kr£1二力 a s州处广州s州巧2州故(y ir+i) i二几(2.6)即两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值。2、反幕法反幕法用来计算矩阵按模最小的特征值及英特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特 征值的特征向量。设a e r-n为非奇异矩阵，a的特征值依次记为|x1|>|a2|>|x3|xnl相应的特征向量为x