站在知识系统的高度设计教学

1、    站在知识系统的高度设计教学    李金兴摘  要：新授课总是将章节内容分解为若干小块，而章节复习课则应该体现章节内容所组成的有机整体. 因此，章节复习的教学设计应该站在知识系统的高度，选择合适视角切入，重温知识的形成和发展过程;同时帮助学生不断完善知识结构，引领学生作进一步自主探究.关键词：知识系统;教学设计任何知识都不是片断、孤立存在着的，它既有生活实践为基础，同时也与其他知识相关联，结构化的知识是基础知识存在的主要形态. “直线”是解析几何的第一个研究对象，是解析几何最重要的基础知识之一. 通过对直线及其方程的研究，能让学生领悟解析

2、几何的研究方法、认识图形直观“就其粗而不能精其微”的特点，从而自觉运用数形结合的思想方法解决问题.本文就直线及其方程章节的复习课的设计和教学过程，谈一谈如何立足知识系统的高度来设计课堂教学内容，凸现基础知识的结构，提高复习课的知识整合效应.概括梳理，以合适的视角作为教学设计的切入点教学设计需要考虑教学系统中诸多因素，教师在充分了解学情、合理运用教法和媒体之外，教学内容的设计成为最能体现教师智慧的环节.直线及其方程章节涵盖如下许多知识点：直线的方程表示、点在直线上的坐标表示、两条直线位置关系的代数表示、直线方程系数的几何含义、同一条直线的不同方程形式所凸显的几何性质、同一条直线的不同方程形式之间

3、的互化、点到直线距离的代数表示、直线系的代数表示、通过代数方程运算研究直线和直线间的关系等.合适的视角能将知识串联起来、整合起来，使基础知识结构化，达到“拎起来成一串，撒下去铺一片”的效果. 为此，笔者确定直线方程蕴涵的几何性质为课题，以此凸显“用方程表示和研究直线几何性质”的解析几何基本思想，围绕课题设计系列问题及变式思考，将整个章节的知识点串联整合起来，并制定学生的学习目标如下：1. 理解直线和它的方程之间的对应关系，能将某直线的方程化为各种不同形式，并以此分析该直线的几何特性;2. 理解直线系方程的含义，能由方程分析直线系特有的规律;3. 理解两条直线平行、垂直、相交等的代数表示，能由方

4、程组判断直线间的位置关系;4. 体验解析法的基本思想用坐标和方程表示几何图形，以代数运算研究几何关系.追本溯源，以重温知识的形成和发展过程作为教学设计的立足点“直线的方程”是本章节的核心概念，在习题课的教学设计中必须回归课本，重温其形成和发展的过程. 为此，笔者设计如下两例（例1和例2），让学生在重温概念的同时进一步理解：直线和它的方程之间的对应关系，点在直线上的坐标表示，已知直线上两点就能确定直线，两条直线的相对位置与直线方程组解之间的对应关系等知识点. 而在实际教学过程中，学生的不同解法恰恰让知识运用过程在对比中彰显生机.例1 直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交于点a（

5、1，2），那么由点（k1，b1）和（k2，b2）确定的直线方程为_.学生1：因为k1+b1=2，k2+b2=2，两式相减，得k2-k1=-（b2-b1），所以过点（k1，b1）和（k2，b2）的直线的斜率k=  =-1，所以其点斜式方程为y-b1=-（x-k1），即y=-x+（k1+b1），而k1+b1=2，所以直线方程为x+y-2=0.学生2：因为k1+b1=2，k2+b2=2，所以点（k1，b1）和（k2，b2）都在直线x+y-2=0上，而经过两点只有一条直线，所以由点（k1，b1）和（k2，b2）确定的直线方程为x+y-2=0.反思：学生1的解法以确定直线方程的系数为出发点，而

6、学生2的解法则从确定直线方程的几何本质入手，更显简洁. 通过对比，让学生更清晰地体会方程蕴涵的“点在线上”的几何性质.例2 实数a，b取何值时，关于x，y的方程组ax+by=1，x-2y=  无实数解？学生3：直线ax+by=1和x-2y=  互相平行，所以  =    ，即b=-2a且a2.学生4：答案还不全面，如果a=b=0，则方程ax+by=1不能表示直线，所以b= -2a且a2，a0.学生5：不对，从方程角度看，a=b=0时方程ax+by=1无解，所以方程组ax+by=1，x-2y=  也无实数解，所以答案应该是b=-2a且a

7、2.反思：通过三位学生逐步递进式的回答，让全班学生体会到方程组无解与直线平行之间的细微差异，进一步加深对“直线的方程”和“方程的直线”等概念的理解.横纵联系，以完善知识系统结构作为教学设计的发散点为完善章节知识系统结构，还需要在操作运用和背景分析中体现其“张力”. 为此，笔者设计例3、例4、例5，让学生在分析直线方程蕴涵的几何性质的过程中，充分体验数形结合的思想方法，尽可能多地联系各种其他背景知识（函数、三角、向量等）.（一）直线方程的不同形式凸显不同性质例3  已知直线l：x+（y-2）+2=0经过第一象限的某点，求实数的取值范围.学生6：显然0（否则直线l方程为x=-2，不经过第

8、一象限），故直线方程可化为y-2=-  （x+2），所以由直线的点斜式方程知l过定点（-2，2），所以结合图1观察，得倾斜角的取值范围为0，    ，;而斜率k=-  的取值范围为（-1，0）（0，+），所以（-，0）（1，+）.学生7：直线方程还可化为y=-  x+2-  ，由图2易知-  >0或-  0，2-  >0，所以  （-，0）（0，1），所以（-，0）（1，+）.图2反思：直线方程的不同形式凸显了直线相关的不同几何量. 点斜式凸显了直线过某定点（动直线绕定点旋转），斜截

9、式则凸显出直线的斜率和与y轴交点的位置.该题还能采用截距式方程来处理，将方程化为x+y=2（-1）或  +  =1（1），由图形直观知，若l经过第一象限的某点，只需2（-1）>0或  >0，所以>1或<0. 需要注意的是，用某种形式的方程不能表示的直线要专门讨论.（二）直线系方程蕴涵动直线的变化规律例4  求原点到直线（1+）x-（1-）·y-2=0距离的取值范围.学生8：方程可化为（x-y）+（x+y-2）=0，由方程组x-y=0，x+y-2=0， 解得x=y=1，所以直线（1+）x-（1-）y-2=0过定点a（1，1

10、），由图3易知d0，  .学生9：李老师，我的答案不一样！因为由点到直线距离公式知d=  =  ·  0，  ）.学生10：由于直线斜率k=  =-1+  -1，所以d=  的情形不存在.反思：直线过定点的规律容易找到，但直线绕定点转动的范围却容易忽视，所以要数、形一起分析. 比如，直线x-（1+2）y+2=0（r）过定点a（1，1），斜率k（0，1），所以原点到直线的距离d（0，1）. 通过“易错点”的设置，让学生体验图形直观“就其粗而不能精其微”的特点.例5  试判断，是否存在定点p，使得不

11、论0，2如何变化，直线l：cos·x+sin·y-1=0都不能经过点p？10多位学生齐答：直线l一定不过原点（以特值x=y=0检验）.教师追问：是否还有其他点呢？学生11：直线l方程可化为  ·sin（+）=1，由于sin（+）1，所以x2+y2<1时，方程  ·sin（+）=1不能成立，所以直线l一定不过单位圆内的点.教师：很好，你的解法老师也没有想到，但是否还有其他点一定不能在动直线l上呢？学生12：原点到直线l：cos·x+sin·y-1=0的距离d=  =1. 因此直线一定是单位圆的切线，所

12、以单位圆内部的点必定不在l上，而且当改变时，动直线系l：cos·x+sin·y-1=0的“包络”恰是单位圆，所以除了单位圆内的点外，没有其他点不能被动直线l“扫到”.教师：很好，事实上，直线方程可化为cos·（x-cos）+sin·（y-sin）=0，即y-sin=-  ·（x-cos），它表示单位圆在点（cos，sin）处的切线（图示略）.反思：学生11的解法一语道破直线方程系数蕴涵的几何特性，很有创意. 教师在教学设计中只有留给学生充分探索思考的空间，学生才有可能给教学以“惊人”的回报.此外，要充分考虑到学生对数学的理解和掌握不是

13、点滴和零散的，而是在主动建构中逐步形成一个知识体系和网络. 每个章节内的内容联系紧密，依靠若干知识主线形成一个整体;在此基础上，才能建立章节间的更大网络.引领探究，以老题新解作为教学设计的启发点学习新知识、新方法后，学生将其纳入自己的知识系统前是需要作“新旧比对”的. 解析法作为“用代数方法研究几何问题”的典范在学生眼里并非唯一，比如向量方法同样是用代数方法研究几何问题. 在教学设计中采用“老题新解”的方法，能够启发学生在使用新知识时不断与旧知识对比，从而自觉探究新老方法之间的不同适用性.例6  已知rtabc中，c=90°，ac=4，bc=3，又  =m

14、60;，  =n  ，并且  +  =3，求证：直线ab经过定点.解：以直角顶点c为原点建立坐标系（如图4），设a（4，0），b（0，3），则a（4m，0），b（0，3n），所以直线ab的方程为  +  =1，将  +  =3代入ab的方程，得  -  +  -  =0，即  +  =0，所以直线ab经过定点  ，1，恰为abc的重心.图4反思：用向量方法也能解决该问题，而且将rtabc改为一般abc也有类似的结论，再将  + 

15、0;=3改为等于其他定值，直线ab也经过定点. 解析法的引入给向量法提供了参照的对象，有利于激发学生的好奇心和学习兴趣.画龙点睛，以适切的小结和作业作为教学设计的导学点例题、习题教学结束时，应有画龙点睛式的小结. 笔者在本课以一首小诗来做小结：“一般方程太一般，直线性质少体现;化为点斜截距式，性质自然就明显;坐标方程表点线，代数运算又不难;解析方法好不好，欲与向量比简便”. 在诗中既概括了本课主要内容和数学思想，又引导学生进一步认识本课内容在整个高中数学知识体系的位置，启发学生将“解析法”和“向量法”做一对比，这与当下流行的“导学”理念是一致的.作业分两类：要求学生当天完成巩固性作业14题，在

16、一周内完成导学性作业5，具体如下：1. 若方程（2m2+m-3）x+（m2-m）y-4m+1=0表示一条直线，则实数m _.2. 若直线（2m2-5m+2）x-（m2-4）y+5m=0的倾斜角为45°，则m=_.3. 两条直线2x+3y-k=0和2x+ky-3=0的交点在y轴上，则k=_.4. abc中，a=60°，  +  =  ，如果点a在坐标原点，点b在x轴正半轴上，点c在第一象限，则直线bc过定点_.5. 有些几何问题用向量方法来解比较简单（如求证“平行四边形对角线平方和等于四边平方和”、“余弦定理”等），而另一些问题则用解析法来解比较简单，请你课外自