建模案例—飞行管理问题实用教案

1、一个一个(y )飞行管理问题飞行管理问题 1.1 问题描述问题描述 1995年全国大学生数学建模竞赛中的年全国大学生数学建模竞赛中的A题题（“一个飞行管理问题一个飞行管理问题”）。）。 在约在约10000米高空的某边长为米高空的某边长为160km的正方形的正方形区域内，经常有若干架飞机做水平飞行，区域区域内，经常有若干架飞机做水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算内每架飞机的位置和速度向量均由计算(j sun)机记录其数据，以便进行飞行管理，当机记录其数据，以便进行飞行管理，当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算录其数

2、据后，要立即计算(j sun)并判断是否并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。会与区域内的飞机发生碰撞。 第1页/共61页第一页，共62页。 现假定条件如下：现假定条件如下： 不碰撞的标准为任意两架飞机不碰撞的标准为任意两架飞机(fij)的距离大于的距离大于8km； 飞机飞机(fij)飞行方向角调整幅度不应超过飞行方向角调整幅度不应超过30； 所有飞机所有飞机(fij)飞行速度均为飞行速度均为800kmh； 进入该区域的飞机进入该区域的飞机(fij)在到达该区域边缘时，与区域内飞机在到达该区域边缘时，与区域内飞机(fij)的距离应在的距离应在60km以上；以上； 最多需考虑最多需考虑6架飞机架飞

3、机(fij)； 不必考虑飞机不必考虑飞机(fij)离开此区域后的情况。离开此区域后的情况。第2页/共61页第二页，共62页。 请你对这个避免请你对这个避免(bmin)碰撞的飞行管理问题建立碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过向角误差不超过0.01），要求飞机飞行方向角调），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。整的幅度尽量小。 该区域四个定点的坐标为（该区域四个定点的坐标为（0，0）、（）、（160，0）、）、（160，160）、（）、（0，160）。记录数据见表）。记录数据见表21。 第3页/共61页第

4、三页，共62页。表表21 飞机位置和方向角记录飞机位置和方向角记录(jl)数数据据 飞机飞机(fij)编号横坐标纵坐标方向角（）飞机编号横坐标纵坐标方向角（）飞机(fij)编编号横坐标号横坐标x纵坐标纵坐标y方向角（）方向角（）飞机编飞机编号号横坐横坐标标纵坐纵坐标标方向角方向角（）飞机编飞机编号号横坐横坐标标x x纵坐纵坐标标y y方向角方向角（）1 11501501401402432434 414514550501591592 2858585852362365 51301301501502302303 31551551551552202205 5新进入新进入0 00 05252说明：方向角

5、指飞行方向与x轴正向的夹角(ji jio)。试根据实际应用背景对你的模型进行评价和推广 第4页/共61页第四页，共62页。 * 对问题仔细阅读对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的首先抓住题目中的关键词关键词“管理管理”进行进行(jnxng)联想联想. 抓住诸如抓住诸如“碰撞碰撞”、“调整调整(tiozhng)(tiozhng)”、“避免碰撞避免碰撞”、“立立即即”、“判断判断”等等词语等等词语. . * * 联系解决问题的方案联系解决问题的方案, ,不加约束继续不加约束继续(jx)(jx)联想，再将关键词搭配起来联想，再将关键词搭配起来. . 1. 问题的前期分析问题的前期分析第5页/共61页第

6、五页，共62页。VIIIIIIIVIV160km160km飞行飞行(fixng)位置示意图位置示意图第6页/共61页第六页，共62页。立即(lj) 判断 碰撞(pn zhun) 条件(tiojin) 实时 算法 避免 碰撞 调整 方向角 实时 幅度尽量小 相对距离优化问题优化问题优化算法优化调整方案第7页/共61页第七页，共62页。问题的初步问题的初步(chb)理解理解和想法和想法 飞行管理问题是优化问题飞行管理问题是优化问题,在调整方向在调整方向(fngxing)角的幅度尽量小的同时，还角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性必须注意调整方案及算法的实时性.第8页/共61页第八

7、页，共62页。2. 问题问题(wnt)探究探究 （1）优化问题的目标）优化问题的目标(mbio)函数为何？函数为何？方向角调整方向角调整(tiozhng)的尽量小的尽量小方向角如何表示方向角如何表示方向角的概念是什方向角的概念是什么么方向角的平方和方向角的平方和目标函数目标函数第9页/共61页第九页，共62页。 任意两架飞机任意两架飞机(fij)的距离大于的距离大于8 公里；公里； 飞机飞机(fij)飞行方向角调整的幅度不应超过飞行方向角调整的幅度不应超过 30 ；l（2）优化问题(wnt)的约束条件为何？两点间距离表示两点间距离表示(biosh)方法方法判断避免碰撞的依判断避免碰撞的依据据把

8、飞机视为点把飞机视为点总结：总结：目标函数和约束条件中都含有方目标函数和约束条件中都含有方向角。向角。第10页/共61页第十页，共62页。（3）分析）分析6架飞机目前碰撞架飞机目前碰撞(pn zhun)情况情况 描点作图；描点作图； 分析飞机在飞行区域的时间；分析飞机在飞行区域的时间； 判断判断(pndun)5架飞机此刻的情况；架飞机此刻的情况； 判断判断(pndun)新进入飞机与其他新进入飞机与其他5架飞机碰撞的情况。架飞机碰撞的情况。第11页/共61页第十一页，共62页。（4）求解）求解(qi ji)方法方法 特殊特殊(tsh)到一般：先考虑到一般：先考虑2架，然考虑架，然考虑3架架 优化

9、问题为非线性规划问题，编程求解。优化问题为非线性规划问题，编程求解。总结总结(zngji)：初等算法和高等算法：初等算法和高等算法都可。都可。创新之处：算法。创新之处：算法。第12页/共61页第十二页，共62页。模型模型(mxng)一及求解一及求解 模型建立模型建立 这个问题显然是一个这个问题显然是一个(y )优化问题。设第优化问题。设第i 架飞机在调整时的方向角为架飞机在调整时的方向角为 （题目中已给出），调整后的（题目中已给出），调整后的方向为方向为 ，题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，因此有化的目的函数，题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，因此有化的目的函数可以是：

10、可以是： （1）621| .ii0(1,2,6)iiii0i第13页/共61页第十三页，共62页。 为了建立这个问题为了建立这个问题(wnt)的优化模型，只需要明确约束条件就可以了。的优化模型，只需要明确约束条件就可以了。一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的幅度不应超过一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30，即，即 （2） | 30 .第14页/共61页第十四页，共62页。 题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的飞机的距离应在与区域内的飞机的距离应在60km以上。这个条件是以上。这个条件是个初始条件，很容易验证个初始

11、条件，很容易验证(ynzhng)目前所给的数目前所给的数据是满足的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的关据是满足的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的关键是键是 要满足题目中描述的任意两架位于该区域内的飞要满足题目中描述的任意两架位于该区域内的飞机的距离应该大于机的距离应该大于8km。但这个问题的难点在于飞机。但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先需是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先需要描述每架飞机的飞行轨迹。要描述每架飞机的飞行轨迹。第15页/共61页第十五页，共62页。 记飞机飞行速率为（记飞机飞行速率为（800kmh），以当前时刻），以当前时刻(shk

12、)为为0时刻时刻(shk)。设。设第第 架飞机在调整时的位置坐标为架飞机在调整时的位置坐标为 （已知条件），时刻（已知条件），时刻(shk)的位置的位置坐标为坐标为 ，则，则 （3）00(,)iixy(,)ttiixy00cos,sin.ttiiiiiixxvtyyvti第16页/共61页第十六页，共62页。 如果如果(rgu)要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km，则需要，则需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度。记考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度。记Ti 为第为第 架飞机飞出区域的时架飞机飞出区域的时间，即间，即 （4） 0ar

13、gmin0:cos0160sin0160iiiiTtxvtvt0i或，或y或i第17页/共61页第十七页，共62页。 记记 时刻第时刻第 架飞机与第架飞机与第 架飞机的距离为架飞机的距离为 ，并记，并记 ，这时在区域内飞机不相撞的，这时在区域内飞机不相撞的约束条件就变成了约束条件就变成了 （5） 其中其中 （6） 此外，经过计算可以此外，经过计算可以(ky)得到得到tij( )ijr t2( ) ( )64ijijftr t2( ) ( )640(0)ijijijftr ttT min ,.ijijTT T第18页/共61页第十八页，共62页。 （7） （8） （9） （10） 0020022

14、( )(coscos)(sinsin)64ijiijjiijjijijijijf txvtxvtyvtyvtzb zc2 sin,2ijijzvt00002 ()sin()cos,22ijijijijijbxxyy00 200 2()()64.ijijijcxxyy第19页/共61页第十九页，共62页。 所以所以 是一个关于是一个关于 t 的二次函数的二次函数(hnsh)，表示的是一条开口向上的抛物线。当，表示的是一条开口向上的抛物线。当 即即 （记为（记为 ）时，）时， 函数函数(hnsh)取最小值取最小值 。注意到。注意到 （初始时刻不相（初始时刻不相撞），如果撞），如果 （即（即 ）则此

15、时约束条件（）则此时约束条件（5）一定成立，所以）一定成立，所以 如果如果 且且 ，只要在右端点的函数，只要在右端点的函数(hnsh)值非负即可，即值非负即可，即( )ijft/ 2,ijijzb /4 sin2ijijtbv *ijt( )ijft/4ijijbc(0)0ijijfc/20ijb0ijb 0ijb *ijijtT第20页/共61页第二十页，共62页。 （11）如果 且 ，只需要 求最小值 即可，即 （12）实际上，约束(yush)（11）表示的是 在右端点的函数值非负，这个约束(yush)在（12）的条件下也是自然成立的，所以可以是对约束(yush)（11）不再附加且的条件。

16、 ()0;ijijfT0ijb *0ijijtT*( )/40ijijijijftbc 240.ijijbc( )ijft( )ijftijT第21页/共61页第二十一页，共62页。 于是我们的模型于是我们的模型(mxng)就是就是 （13） （14） （15） （16） 621min| ;ii2. .|30 ,ist()0;ijijfT2*40.(0,0)ijijijijijbcbtT第22页/共61页第二十二页，共62页。模型模型(mxng)求解求解 上面这是一个非线性规划模型，虽然是严格满足题目上面这是一个非线性规划模型，虽然是严格满足题目要求的模型，但得到的模型逻辑关系比较复杂要求的模

17、型，但得到的模型逻辑关系比较复杂(fz)，约束（约束（16）是在一定条件下才成立的约束，而且其中）是在一定条件下才成立的约束，而且其中的计算式（的计算式（4）也含有相当复杂）也含有相当复杂(fz)的关系式，使用的关系式，使用LINGO软件不太容易将模型很方便的输入，因为逻辑软件不太容易将模型很方便的输入，因为逻辑处理不是处理不是LINGO的优势所在。即使想办法把这个模型的优势所在。即使想办法把这个模型输入到输入到LINGO，也不一定能求出好的解（笔者尝试过，也不一定能求出好的解（笔者尝试过，但是但是LINGO运行时有时会出现系统内部错误，可能是运行时有时会出现系统内部错误，可能是系统有问题，无

18、法继续求解）。而且，在实时飞行调系统有问题，无法继续求解）。而且，在实时飞行调度中显然需要快速求解，所以下面我们想办法简化模度中显然需要快速求解，所以下面我们想办法简化模型。型。第23页/共61页第二十三页，共62页。 这个模型麻烦之处就在于，要求这个模型麻烦之处就在于，要求(yoqi)严格表示两架飞机的飞行距离应大于严格表示两架飞机的飞行距离应大于8km，所以需要考虑每架飞，所以需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度，比较繁琐。注意到区域对角线的长度只有机在区域内的飞行时间的长度，比较繁琐。注意到区域对角线的长度只有 ，任何一架飞机在所考虑，任何一架飞机在所考虑的区域内停留的时间不会超过的

19、区域内停留的时间不会超过 。因此这里我们简化一下问题；。因此这里我们简化一下问题； 160 2max160 2/800 0.2 20.283( )Th第24页/共61页第二十四页，共62页。 不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而是以最大时间不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而是以最大时间 （这是已经是一个常数）代替之，此时（这是已经是一个常数）代替之，此时(c sh)所有所有 ，这实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架，这实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的距离小于飞机的距离小于8km。 maxTmaxij

20、TT第25页/共61页第二十五页，共62页。程序程序(chngx)： MODEL: TITLE 飞行管理问题的非线性规划模型飞行管理问题的非线性规划模型; SETS: Plane/1.6/: x0, y0, cita0, cita1, d_cita; ! cita0表示表示(biosh)初始角度，初始角度，cita1为调整后为调整后的角度的角度,d_cita为调整的角度为调整的角度; link(plane, plane)|&1 #LT# &2: b,c; ENDSETS DATA:第26页/共61页第二十六页，共62页。1501402438585236150155220.514

21、5501591301502300052x0 y0 cita0 =第27页/共61页第二十七页，共62页。 max_cita = 30; T_max = 0.283; V=800; ENDDATA INIT: d_cita = 0 0 0 0 0 0; ENDINIT for(plane: cita1 - cita0 = d_cita); for(link(i,j): b(i,j) = -2*(x0(i) -x0(j)*sin (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360) +2*(y0(i) -y0(j)*cos (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265

22、/360); c(i,j) = (x0(i) -x0(j) 2 + (y0(i) -y0(j) 2 - 64; ); ! 避免避免(bmin)碰撞的条件碰撞的条件; ! 右端点非负右端点非负; for(link(i,j): Right 第28页/共61页第二十八页，共62页。 (2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360)2 + b(i,j)*(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) + c(i,j) 0); ! 最小点非负最小点非负; for(link(i,j): Minimum if(

23、b(i,j)#lt#0 #and# -b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #gt#0 #and# -b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #lt#T_max , b(i,j)2-4*c(i,j),-1) 0); !for(link(i,j): if(b(i,j)#lt#0, b(i,j)2-4*c(i,j), -1) ij第35页/共61页第三十五页，共62页。(2)由圆状模型由圆状模型(mxng)导导出的方程出的方程讨论讨论ij的改变量与第的改变量与第i第第j两架飞机飞行

24、两架飞机飞行(fixng)方向角改变量方向角改变量i, j的关系的关系由题目条件知由题目条件知|vi|=A=800，可用复数表示，可用复数表示(biosh)速度速度iiiAev设第设第i，j飞机飞行方向改变前的速度分别为飞机飞行方向改变前的速度分别为jiijiiAevAev11,改变后的速度分别为改变后的速度分别为)(2)(2,jjiiijiiAevAev改变前后相对速度分别为改变前后相对速度分别为)()()()(222111jjiijiiijiijiijiijeeAvvveeAvvv两者之商的幅角就是两者之商的幅角就是ijjjiijjjjiiiiiiiiijijiiiieeAeeAvvjij

25、jiisincossincos)sin()cos()sin()cos()()()(12第36页/共61页第三十六页，共62页。)2cos2(sin2sin2)2cos2(sin2sin2jijijiijiiijiiijiiii22sin22sin2jiijiijiie2jiij定理：对第定理：对第i，第，第j两架飞机，其相对速度方向两架飞机，其相对速度方向ij的改变量的改变量ij等于等于两飞机飞行两飞机飞行(fixng)方向角改变量之和的一半，即方向角改变量之和的一半，即2jiij第37页/共61页第三十七页，共62页。模型模型(mxng)目标目标(mbio)函数：函数：|)|min(max|

26、min61iii或Min其中其中为各飞机为各飞机(fij)方向角调整量的最方向角调整量的最大值大值或为或为约束条件：约束条件：调整方向角时不能超过调整方向角时不能超过300：6 , 2 , 1,30|ii调整飞行方向后飞机不能碰撞：调整飞行方向后飞机不能碰撞：ijjiij|2|模型为模型为 6 , 2 , 1,30|, 6 , 2 , 1.,| )(21|. .|min61ijijitsiijjiijii第38页/共61页第三十八页，共62页。化为线性规划化为线性规划(xin xn u hu)模型模型时当0ijijijijijijij|时当0ijijijijijijij|由于由于(yuy)i可

27、正可负，为使各变量均非负，引入新可正可负，为使各变量均非负，引入新变量：变量：2121,iiiii使模型模型(mxng)化化为为0,303030220220. .min212121212121212121iiiiiiiiiiijijjjiiijijijjjiiijts时，时，第39页/共61页第三十九页，共62页。模型模型(mxng)求求解解ij的计算的计算(j sun)|8arcsin(jiijxx model:sets:plane/1.6/:x0,y0;link(plane,plane):alpha,sin2;endsetsfor(link(i,j)|i#ne#j:sin2(i,j)=64

28、/(x0(i)-x0(j)2+(y0(i)-y0(j)2););for(link(i,j)|i#ne#j:(sin(alpha*3.14159265/180.0)2=sin2;);data:x0=150,85,150,145,130,0;y0=140,85,155,50,150,0;enddataend第40页/共61页第四十页，共62页。ALPHA( 1, 1) 1.234568 ALPHA( 1, 2) 5.391190 ALPHA( 1, 3) 752.2310 ALPHA( 1, 4) 5.091816 ALPHA( 1, 5) 2000.963 ALPHA( 1, 6) 2.2345

29、07 ALPHA( 2, 1) 5.391190 ALPHA( 2, 2) 1.234568 ALPHA( 2, 3) 4.804024 ALPHA( 2, 4) 6.613460 ALPHA( 2, 5) 5.807866 ALPHA( 2, 6) 3.815925 ALPHA( 3, 1) 752.2310 ALPHA( 3, 2) 4.804024 ALPHA( 3, 3) 1.234568 ALPHA( 3, 4) 4.364672 ALPHA( 3, 5) 1102.834 ALPHA( 3, 6) 2.125539 ALPHA( 4, 1) 5.091816ALPHA( 4, 2)

30、 6.613460 ALPHA( 4, 3) 4.364672 ALPHA( 4, 4) 1.234568 ALPHA( 4, 5) 4.537692 ALPHA( 4, 6) 2.989819 ALPHA( 5, 1) 2000.963 ALPHA( 5, 2) 5.807866 ALPHA( 5, 3) 1102.834 ALPHA( 5, 4) 4.537692 ALPHA( 5, 5) 1.234568 ALPHA( 5, 6) 2.309841 ALPHA( 6, 1) 2.234507 ALPHA( 6, 2) 3.815925 ALPHA( 6, 3) 2.125539 ALPH

31、A( 6, 4) 2.989819 ALPHA( 6, 5) 2.309841 ALPHA( 6, 6) 1.234568第41页/共61页第四十一页，共62页。ijJ=123456i=10.0000005.39119032.2309535.09181620.9633612.23450725.3911900.0000004.8040246.6134605.8078663.815925332.2309534.8040240.0000004.36467222.8336542.12553945.0918166.6134604.3646720.0000004.5376922.989819520.963

32、3615.80786622.8336544.5376920.0000002.30984162.2345073.8159252.1255392.9898192.3098410.000000整理可得整理可得ij的值（单位的值（单位(dnwi)角度）角度）也可以也可以(ky)用用MATLAB计算计算ij的值的值第42页/共61页第四十二页，共62页。x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j

33、)=(180/3.14159265)*asin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2); end endendalpha计算计算(j sun)ij的值程的值程序为序为计算结果为计算结果为第43页/共61页第四十三页，共62页。 0 5.391190237223 5.391190237223 032.230952672331 4.804023933797 5.091816448550 6.61346048987220.963360893128 5.807866243421 2.234506736995 3.81592477539932.230952672331 5.0918

34、16448550 4.804023933798 6.613460489872 0 4.364671899111 4.364671899111 0 22.833654204009 4.537692462402 2.125538857551 2.98981913904520.963360893128 2.234506736995 5.807866243421 3.815924775399 22.833654204009 2.125538857551 4.537692462403 2.989819139045 0 2.309841365405 2.309841365405 0ij的计算的计算(j s

35、un):)()(ijjiijxxangvvanga=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita用用matlab程序程序(chngx)编写编写第44页/共61页第四十四页，共62页。beita = 0 109.2636 -128.2500 24.1798 -18

36、6.9349 14.4749 109.2636 0 -88.8711 -42.2436 -92.3048 9.0000 231.7500 271.1289 0 12.4763 301.2138 0.3108 24.1798 -42.2436 12.4763 0 5.9692 -3.5256 173.0651 267.6952 -58.7862 5.9692 0 1.9144 14.4749 9.0000 0.3108 -3.5256 1.9144 0运算运算(yn sun)结果结果最优解的计算最优解的计算(j sun)用用LINGO求解求解(qi ji)程序如下程序如下第45页/共61页第四十

37、五页，共62页。model:sets:plane/1.6/:cita;link(plane,plane):alpha,beta;endsetsmin=sum(plane:abs(cita);for(plane(i): bnd(-30,cita(i),30); );for(link(i,j)|i#ne#j: abs(beta(i,j)+0.5*cita(i)+0.5*cita(j) alpha(i,j); );第46页/共61页第四十六页，共62页。data:alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507, 5.3911

38、90,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819, 20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; beta=0.000000 109.263642 -128

39、.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310

40、809 -3.525606 1.913383 0.000000;enddataend用用MATLAB计算计算(j sun)编程如下编程如下第47页/共61页第四十七页，共62页。function f,g=plane(x)alph=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,

41、4.363673,0.000000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; bet=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.00

42、0000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)= alpha(1,2) -abs(beta(1,2)+0.5*x

43、(1)+0.5*x(2);g(2)= alpha(1,3) -abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)= alpha(1,4) -abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)= alpha(1,5) -abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);第48页/共61页第四十八页，共62页。g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)= alpha(2,3) -abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)= alpha(2,4)

44、-abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)= alpha(2,5) -abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)= alpha(2,6) -abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)= alpha(3,4) -abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)= alpha(3,5) -abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)= alpha(3,6) -abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)= alpha(4

45、,5) -abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)= alpha(4,6) -abs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)= alpha(5,6) -abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);执行程序执行程序x0=0,0,0,0,0,0; v1=-30*ones(1,6); v2=30*ones(1,6);opt=;x= constr(plane,x0,opt,v1,v2)第49页/共61页第四十九页，共62页。结果结果(ji gu)：x = -0.00000576637983 -0.000005766379

46、83 2.58794980234726 -0.00001243487985 0.00003620473095 1.04151019765274最优解：最优解：o654o3211.041500,2.58790, 0第50页/共61页第五十页，共62页。模型模型(mxng)检检验验各飞行方向按此方案各飞行方向按此方案(fng n)调整后，系统各架飞机均满足调整后，系统各架飞机均满足|ij+( I+ j)/2|ij ,结果是正确的。结果是正确的。模型的评价模型的评价(pngji)与推广与推广（1）此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对）此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相

47、对速度作为判别标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了速度作为判别标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算；模型的计算；（2）建模中用了适当的简化，将一个复杂的非线性规划问题简化为线性）建模中用了适当的简化，将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题，既求到合理的解，又提高了运算速度，这对解决高速飞行的规划问题，既求到合理的解，又提高了运算速度，这对解决高速飞行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的。果是令人满意的。（3）由对称性知模型中的约束个数是）由对称性知模型中的

48、约束个数是 （n是飞机数），所有约是飞机数），所有约束条件数是束条件数是 ，计算量增加不大。，计算量增加不大。2nC2)7(42nnnCn第51页/共61页第五十一页，共62页。建模方案建模方案(fng n)二：二：1.问题分析问题分析目的：不碰撞目的：不碰撞(pn zhun)手段：调整飞行方向角手段：调整飞行方向角要求：调整的幅度尽量小要求：调整的幅度尽量小求解思路：求解思路：(1) 找出不碰撞找出不碰撞(pn zhun)的条件的条件,可用可用matlab画出各架飞机在画出各架飞机在t=0时刻的位置和飞时刻的位置和飞行方向行方向(2)求调整幅度的极小值求调整幅度的极小值 第52页/共61页第五十二页，共62页。题目的条件(1) 飞机在正方形区域内水平飞行。 根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 可用matlab画出各架飞机在t=0时刻的位置和飞行方向画图程序为：plan1 在用matlab进行飞机动态(dngti)模拟：