三角形全等证明题含答案培训资料

1、精品文档如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型： 一是平面图形的数量关系； 二是有关平面图形的位置关系。 这两 类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐 步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法

2、合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于 表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离， 最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图 形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形， 在构造基本图形时往往需要添加辅助线， 以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。 证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质， 其它如线段中垂线的性质、 角平分线的

3、性质、 等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。例 1. 已知：如图 1 所示， ABC 中， C 90 ，AC BC， AD DB，AE CF 。求证：DE = DF精品文档分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD AD， DCF 45。从而不难发现 DCF DAE证明：连结CDAC BCA BACB 90，AD DBCD BD AD， DCBB AAE CF， A DCB，AD CDADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。 显然，在等腰直角三

4、角形中， 更应该连结CD , 因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG = DE ,连结BG,证 EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2.已知：如图 2 所示，AB = CD , AD = BC, AE = CF。求证：/ E=Z FEADBCF图2证明：连结AC在ABC和 CDA中，AB CD, BC AD, AC CAABC CDA（SSSB DAB CD, AE CFBE DF在 BCE和 DAF中，BE DFB DBC DABCE DAF （SAS）E F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意:（1）

5、制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。 证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是 ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ 的垂线。求证：KH / BCAQPKHB MN C图3分析：由已知，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延长 AH交BC于N，贝U BA = BN , A

6、H =HN。同理，延长 AK交BC于M ,贝U CA = CM , AK = KM。从而由三角形的中位线定理， 知 KH / BC。证明：延长AH交BC于N，延长 AK交BC于M/ BH 平分/ ABC/ ABH / NBH又BH丄AH/ AHB / NHB 90BH = BHABH NBH (ASA)BA BN, AH HN同理，CA = CM , AK = KMKH是AMN的中位线KH / /MN即 KH/BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。例 4.已知：如图 4

7、所示，AB = AC , / A 90 , AE BF, BD DC。求证：FD丄EDA-1 1F2 31EBD图4C证明一：连结ADABAC, BDDCZ 1Z 290,Z DAEZ DABZ BAC 90 ,BD DCBDADZ BZ DABZ DAE在ADE和 BDF中，AEBF , Z BZ DAE,AD BDADEBDF3132 90FDED说明:有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长 ED到M，使DM = ED，连结FE, FM , BMBDCM图5BD DCBDMCDE ，DM DEBDM CDECE BM ， C

8、CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC， BF AEAF CE BMAEF BFMFE FMDM DEFD ED说明： 证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证 二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（ 3）证明二直线的夹角等于 90°。3、证明一线段和的问题（一） 在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 （截 长法）例5.已知：如图6所示在 ABC中， B 60，/ BAC、/ BCA的角平分线 AD、CE 相交于 O。求证：AC = AE + CD

9、BEOD14235A6FC图6分析:在AC上截取AF = AE。易知AEOAFO ,12。由B60知 56 60,160 , 23 120 。123460，得FOCDOC,FC DC证明:在AC上截取AF = AEBADCAD, AO AOAEOAFOSAS42又B 6056601 60231201 23460FOCDOC(AAS)FC DC即 AC AECD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另-较短线段，则两较短线段成为条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例6.已知：如图7所示，止方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。求证：EF = BE + DFAD312FG分析：

10、此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。 不妨延长CB至G ,使 BG = DF。证明：延长CB至G,使BG = DF在正方形 ABCD 中， ABG D 90 , AB ADABG ADF (SAS)AG AF,13又 EAF 452 3 4521 45即/ GAE = Z FAEGE EFEF BE DF4、中考题：如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使AE =BD，连结 CE、DE。求证：EC = EDBCD图8证明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又 AE = BDAE FD BFBA AF EF即 EF= ACA

11、C/FDEAC EFDEAC DFE (SAS)EC ED题型展示：证明几何不等式：例题：已知：如图9所示， 12，AB AC。求证：BD DCA1 2CBDE图9证明一：延长AC至U E,使AE = AB，连结DE在ADE和ADB中,AEAB,21, AD ADADEADBBDDE,EBDCEBDCEEDEDC,BDDC证明二：如图10所示，在 AB上截取 AF = AC，连结 DF1 2F34BD图10A则易证 ADF ADC3 4, DF DCBFD 3,4 BBFD BBD DFBD DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】1.已知

12、：如图 11所示，ABC中,90 , D是AB上一点，DE丄CD于D,交BC于E,且有ACAD CE。求证:DEiCD0 D 图112.已知:如图12所示，在 ABC 中,2 B , CD是/ C的平分线。求证:BC = AC + ADC作此射线的BCC图123.已知：如图13所示，过 ABC的顶点A，在/ A内任引一射线，过 B、 垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP = MQQBMP图134. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求证：AD 1 AB AC4【试题答案】1.证明：取CD的中点F，连结AFC41F3 E4 ADBAC ADAF CDAFC CDE 90又 1490 ,13 9043AC CEACF CED (ASA)CF ED1DE CD22.分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长，证明其和等于长的线段。证明：延长CA至E,使CE = CB,连结ED在CBD和CED中，CB CEBCDECDCD CDCBDCEDBEBAC 2BBAC 2