不定积分换元法积分技巧

1、第二节不定积分的换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、基本积分表、第一类换元法问题 JcosQxdrgsinZx+C，解决方法 利用复合函数，设置中间变量.过程 令=2x => dx = -dt92J cos2xdr = JcosfrfZ =sinf + C= -sin2x +C.2 2在一般情况下：设Fr(a) = /(u),贝叮f(u)du=F(u)-bC.如果U = ©(X)(可微) dF(p(x) = f(p(x)<px)dx f f(px)A(px)dx = F0(工)+ C= “(")如 u=(p(x) 由此可得换元法定理定理1设/(&quo

2、t;)具有原函数F(“)川=0(兀)可导,则有换元公式J f(p(x)(px)dx = F(x) + C= ljf(u)duu=(p(x)第一类换元公式(凑微分法)说明 使用此公式的关键在于将Jg(x)dx 化为J/(p(x)(p'(x)必. 观察重点不同，所得结论不同.例 1 <Jsin2xJx.(-)（二）（三）Jsin2xJx = -Jsin2xJ(2x)1 2=cos2x + C;2Jsin2xJx = 2jsinxcosxJx =2j sinxd(sinx)= (sinx)2 + C;Jsin2xJx = 2jsinxcosxJx =2|cosxrf(cosx)= (c

3、osx)2 +C例2求J乙严_2*3 + 2x(3 + 2x)=(3 + 2兀)厶3 + 2兀23 + 2兀令“ = 3 + 2兀 1f 1 J = I du = lnlu 4- C2J u 21= £ln|3 + 2 工 | + C 例2求解丿比肌弘息用炖仝红土竺一屮加=丄1咖| + C5J u5= -ln|l-5x| + C 般地 J f(ax +b)dx=£J例3求J严+么解 je2x+ldx =Je2x+,</(2x + l)J elidu令u = 2兀+1 i一_ 2例4求专成屈宀1)-ln（l +工 2）+ c.例4求解令 1/ =1 X2= 1 兀 2

4、+C.例5求-x.J(14-x)3解%£严訂计=JU(1 + X)J (1 + x)2(1 + x)31 1 + 兀 + 2(1 4-x)求 J tan xdx.ftanxdx = fSnxdx = f f I】 discosx) JJ cosx J easoffx= -ln|cosx 4-C(使用了三角函数恒等变形)J tan xdx = ln|cosx|4-C同理可得cotxdx =ln|sinx 4-C= (x-4)2 + /Xdx.x 8x + 25解5_8兀+ 25必例8 (2)求解A=X.丿兀2一4兀+ 44x + 4必=J （x 2/ 訂為S）例8 (3)求解bx-a

5、x +a（工 +a）i X c1 及z0k电Jxz_aJ划砌=lnx-a|-I n 兀 + “ + C 2a兀一4x +a=In例8解x-2x 1+c宀4方vO J由例8可知: 求冷皿为常数）可由a2-4b的符号确定2dx =x +ar +方a2 4Z> = 0, J 2M兀=J x +a兀+方f r=dx = arcsin 一 + C UMa例10求J罕伽2%求Jarctan x1 + x例10求J眾吧解丹；=J arctan x d (arctan x)1 7=-(arctan x) +C2求f计送丄肛J y/X 1 + x 解 r arctan x 1.IaxJ y/X 1 +兀=

6、12arctan xd(arctan X x)= (arctan x)2 +C例 11(1)求 J 求 J(3)求 J(l_*0e“Fx.求J石IF ""*例行求f r少J 1 + e解j必=J(1 + w )1Jl+£例们(2)求 J= ln(l + gX) + G=x ln(l + er) + Ce 1例门求1一尹宠"咕兀f解 |(1= jjed(x + )=e'+" + C.求(石却八认 魯訂已(E例12解原式三=& J、2 兀 + 3dx -求（dx.J 2x + 3 + 2x 1兀+ 3 _二 2兀_ 1迥J （ 2x

7、 4-34- 2x T 2x + 3 2x 1）-J V2x _ ldx =-J、2兀 + 3rf（2x + 3）-J V2x 一ld（2x 一 1） =吉（J2x + 3-占（、/2兀+C.例13 求(兀一 I)】0。必解"(工-1严必= J(Z1O1+<1OO)JZ严严=-I+C102 101(x-1)102 | (x-1)101102 * 101例14 求 Jdx.J 1 + sm xr sin2x .7 dxJ 1 + sin x2sinxcosxl + sin2xJ丽石如化）= ln(l + sin2x) + Ce例14求f dx. J l-FCOSXdx = f1

8、+ COSXJ1 cos x 必 (1 + COS xXl cos x)r 1 cosx -r 1 cosx ,訂匸cos*"盂十必可蟲必TsiyJ(sinx) sin x=-cotxd+ C.sinx例15 (1)求 JcosUdx.解Jcos2 xdx_(l + cos2兀必"J 2 X= -J(l + cos 2x)d (2x)=-x 4-sin2x + C 24例15 (1)求 JcosUdx(2)求 Jcos'xdx 解 Jcos3xrfx =|cos2xcosxJx=|(l-sin2 x)J(sinx)= sinx sin3x + C 3例15 (1)求

9、 JcosUdx(2) 求 Jcos'xdx(3) 求 Jcos4*dx解 Jcos"xdx =J(匕；必=-J(l + 2cos2x +cos22x)dx*=一兀 + sin2A： + sin4x + C.8432例16 求 Jsin2 x -cos? xdx解 J sin2 x -cos xdx = J sin2 x - cos4 xd(sinx) =J sin2 x-(l sin2 x)2d(sinx)=J (sin2 x 2sin4 x + sin6 x)d(sinx)132.517357说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.cos3xcos2x =

10、-2-J(cosx 4-cos5x)rfx=-sm xsm x 4- -sin x + C =-sinx dsin5x + C.2 10例18 求 I cscxdx.解（一）cscxdx= dx=dxsin 工J2sincos2 2=，ntan2+C =Mcscx-cotx| + C.（使用了三角函数恒等变形）解（二）JcscxJx = fdx= fJ sinx sin*；2一d （cosx）u = cosx1 COS X+ cJln上叱+ C21 +w 21 + cosx类似地可推出 J sec xdx = lnsecx + tanx +C例19sinx - cosdx.x解dxJ sinx

11、 - cos x=J 2 2sm x + cos xsin x-cos2 xdxJ vcos x=fzd (cos x) + cscx dxJ cos xJ=secx -I- ln|cscx cot x +C例20 求 J sec4 xdx 解J sec4 xdx = J sec2 x sec2 xdx=J (tan2 x + l)J(tanx)=-tan3 x + tan x + C 3（使用了三角函数恒等变形）例21求匚(1+；叭严解屮訂芒E)=-ln|l + 21nx|4-C.例21亠 r 1-lnx f求 J (x-lnx)2解J -贬2必T負囂护J(x-lnx)2丿侃严X X例22求

12、J 4 x2 arcsin 2dx X J 1 _ 12丿解J1 4 x2 arcsin 2d (arcsin )arcsin22arcsin2xIn arcsin C.2cosx=J-r2TJ Vl + 2cos xdx亠E严）=a rcsin( - sin x) + C23例求解原积分可訂士产arcsinje原积分訂“ （J严Bresin穿+ C二、第二类换元法i可题 J x5 1 x2dx = ?解决方法 改变中间变量的设置方法.过程 令兀=sinr => dx =costdtyj兀> 1 x2dx = J(sin/)' 1 一sin21 costdt=fsinZco

13、s2 =（应用“凑微分”即可求出结果）定理2设x = y/是单调的、可导的函数,并且0(。工0,又设于妙(。0(/)具有原函数0(f),则<Z>_1(x)是/(x)的原函即有换元公式:j/(x)dr = fy/(t)y/t)d/心宀 其中是兀=的反函数.证设为/1久。0他)的原函数,令 F(x) = -x)= /)W)_,= /0(f)=/(x)说明F(x)为才(兀)的原函数， J f(x)dx = F(x) + C= O”(r) + C,jf(x)dx =/(Z)>r(Z)rf/第二类积分换元公式例 1 求 J ' a2 x2dx (a > 0)解令兀=asinf=acosldtJ a2 x 2dx2 r 1 + cos 2t , =a IdtJ 2=(/ + -sin2f) + C 2 2a2 arcs in2°+尹宀宀C例2 求 Jx3 4 x2dx解 令= 2sinZ dx = 2costdtJx3yj4 x2dx = J(2sinr)' V4-4sin2Z 2costdt=32j sin3fcos2 tdt = 32j sinf(lcos2Z)cos2 tdt=32 J (cos2/ cos4 t)d cost=32( cos31 | cos5 f