多因素拉丁方试验资料的统计分析

1、多因素拉丁方实验资料的统计分析虽然拉丁方不能布置太多的考察因素，每因素的水平数也不能太多。但是拉丁方又有较高的实验精确度，所以人们偏喜欢用它来布置高级实验。当你已经经过初级实验，并从其中找到一些极有希望的因素和水平要进行仔细的比较时，可考虑使用拉丁方实验设计。如果有两个因素 A 和 B，其中因素 A 有 (k1，2， ， t) 个水平 ，因素 B 有 (l 1， 2， ， s)个水平，共有 ts 个处理组合 。 按拉丁方设计安排实验 。横 行数 为 (i 1 ， 2 ， ， ts) ；直 行数为 (j 1 ，2， ， ts)；共有 ts×ts 个观察值 。各观察值的数学模型为：xij

2、 ( kl )ijklij ( kl )其中klkl() kl其中i 为第i 横行的效应值，j 为第j 直行的效应值，kl 为第kl 处理的效应值，k 为第k 个 A 水平的效应值，l 为第 l 个 B 水平的效应值， () kl 为 Ak与 Bk 之间的交互作用。xij (kl ) 和ij ( kl ) 的下标kl 外面加个括号，是为了表明下标kl 与下标 i 和 j 之间有重叠现象。对数据的分析分为两个步骤：第一步将总变异1 / 6分解为横行区组间变异、直行区组间变异、处理组合间变异和实验误差 ，第二步将处理组合间变异分解为因素 A 各水平间变异、因素 B 各水平间变异和 AB 间的交互作

3、用效应 。下面举例说明一个 3×2 两因素拉丁方实验的分析方法。例 8.7 用 3 种精饲料 (A1、A2、A3)按 2 种不同比例(B1、 B2)喂养奶牛，观察它们的产奶量，找了 6 个奶牛场中的 6 个品种的奶牛作实验。将奶牛场编号视为横行，奶牛品种编号视为直行，将 3×26 个处理组合按拉丁方实验设计布置实验。牛奶产量数据如表 8.36 所示。表 8.36 六个饲料组合在不同奶牛场和奶牛品种中的表现奶牛奶牛的品种 (直行 )编号场号1234561 2（A2B2） 2（A3B1） 6（A1B1） 7（A2B1） 6（A1B2） 5（A3B2）2 6（A3B2） 6（A2

4、B2） 6（A3B1） 8（A1B2） 8（A1B1） 9（A2B1）3 7（A3B1） 7（A1B2） 7（A2B1） 8（A3B2） 9（A2B2） 7（A1B1）4 4（A1B1） 3（A3B2） 6（A1B2） 5（A2B2） 8（A2B1） 8（A3B1）5 6（A1B2） 8（A2B1） 4（A3B2） 6（A1B1） 5（A3B1） 2（A2B2）6 9（A2B1） 8（A1B1） 6（A2B2） 8（A3B1） 7（A3B2） 9（A1B2）将表 8.36 中的数据按横行和直行进行整理，得表 8.37。因为横行和直行都不是考察因素，所以对横行和直行都没有求平均数。表 8.37

5、对实验数据的横行和直行进行整理2 / 6横行编奶牛的品种（直行）编号22Tixij号123456jTi1226765281547842666889433171849377789745341202544365883421411565684652311819616986879473752209Tj34343542434022815828984xij22222262093023193041582iTj21156115612251764184916008750将表 8.36 中的数据按处理组合进行整理，得表8.38。因为处理组合是考察因素，所以求出了各处理的平均数。表 8.38 对处理组合数据的整理处

6、理号观察值Txij2( kl )Tklx klkl2ijA1B1 6874683926515216.5A1B26876694230217647.0A2B17978894838823048.0A2B2 269526301869005.0A3B12678583624212966.0A3B25683473319910895.5合计228158288746.33整个分析过程分为两步：第一步：利用表8.36 和表 8.37 按表 8.29 的形式3 / 6将总变异分解为横行间变异、直行间变异、处理组合间变异和误差变异 。得方差分析表如表 8.39 所示。方差分析表明处理间差异显著。因此需要进行第二步。表

7、 8.39 对六个饲料组合的方差分析表变异来自由平方和均 方F 值F0.05F0.01源度横行间553.33310.667直行间514.3332.867处理间535.0007.0003.962*2.7114.103误 差2035.3331.767总变异35138.000第二步：利用 表 8.38 中各处理组合之和作得 AB 二向表，如 表 8.40 所示。表 8.40AB 二向表精饲精饲料比例Tk2Tk2x k料号TklB1B2lA1394281328565616.75A2483078320460846.50A3363369238547615.75Tl1231052288874174066.3

8、3Tkl2512137538874kTl2151291102526154x l6.835.836.334 / 6利用这个二向表将处理组合间的差异分解为因素 A 各水平间的变异、因素 B 各水平间的变异和因素 AB 之间的交互作用。将这些效应的自由度和平方和插入表 8.39 得总的方差分析表如表8.41 所示。表 8.41 对六个饲料组合的总方差分析表变异自由平方和均 方F 值来源度横行间553.33310.667直行间514.3332.867处理间535.0007.0003.962*A 间26.5003.2501.840B 间19.0009.0005.094*AB互作219.5009.7505

9、.519*误 差2035.3331.767总变异35138.000F 0.05F0.012.711 4.1033.493 5.8494.351 8.0963.493 5.8495 / 6分析表明：三种不同的精饲料之间没有显著差异，即使用哪一种精饲料的效果都差不多；但喂养的饲料中，精饲料所占的比例不同，其效果差异显著。由于因5045B14035B23025A1A2A3图 8.3 AB间的交互作用素 B 只有两个水平，因此无需进行多重比较就可以知道 B1 水平显著优于 B2 水平。分析还表明：不同的精饲料配上不同的比例，效果也不一样。 图 8.3 显示了两因素之间的交互作用。 表 8.42 和表 8.43 列出了对各处理组合的多重比较的判别临界值和比较结果，其中 SE1.767 / 60.5427 ， dfe(t 1)(t 2) 20。表 8.42 对处理组合进行比较的判断值表 8.43 对处理组合进行比较gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01组合 xixix21xi x32xi x22xi22.954.021.602.18A2B18.0