工程流体力学

1、主讲主讲: 冯冯 进进长江大学机械工程学院长江大学机械工程学院 假设存在一种流体，其粘度为零，该流体假设存在一种流体，其粘度为零，该流体称为理想流体。客观上是不存在这种流体的，称为理想流体。客观上是不存在这种流体的，但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可以不考虑时，可以把它当理想流体处理。以不考虑时，可以把它当理想流体处理。xpFdtduxxypFdtduyyzpFdtduzzpFdtudpFdtud1 在第三章，介绍欧拉法描述流体运动时，在第三章，介绍欧拉法描述流体运动时，我们知道其加速度为：我们知道其加速度为：其中：其中：uutudtudkujui

2、uzukujuiuyukujuiuxuuuzyxzzyxyzyxx 21 21 21222222222jzuuizuukzuukzuukuuuzkyuuiyuujyuujyuujuuuykxuujxuuixuuixuuiuuuxuuyzxzyyxxzyxzyxyzzxxzyxzxyxzzyyzyx 21 2122uuukzuyuuxuzuujyuxuuzuyuuixuzuuyuxuuuuuyzyzxxxyxyzzzxzxyypFuuutudtud221因此，理想流体的运动方程写为：因此，理想流体的运动方程写为： 例：例： 巳知流体流动的速度为：巳知流体流动的速度为： 质量力仅有重力，求流体质点

3、在（质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1）位置上的压力梯度。采用位置上的压力梯度。采用=1000kg/m3, g9.8m/s2。 xyxux2322236yzxyyuy23xyzuz 例例2：已知不可压缩流体水平面上作有势流流：已知不可压缩流体水平面上作有势流流动，在动，在X方向上的速度分量为方向上的速度分量为ux=yt-x，且在，且在xyo处，处，ux=uy=0，pp0。试求。试求to时流场时流场的压力分布。的压力分布。一、伯努里方程一、伯努里方程 当理想流体的压强仅与密度有关时，我们称当理想流体的压强仅与密度有关时，我们称它为理想正压流体。理想正压流体在有势质量力的它为理想正压流体。理

4、想正压流体在有势质量力的作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下可以积分出来。理想流体运动方程：可以积分出来。理想流体运动方程： pFuuutu1212当理想流体为不可压缩均质流体时，则：当理想流体为不可压缩均质流体时，则： 当质量力仅为重力时，则：当质量力仅为重力时，则： 运动方程具有以下形式：运动方程具有以下形式： pp1gzF0212uupgzutu 当流体为理想、均质不可压、质量力仅为当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力且运动为定常时，上式变为：重力且运动为定常时，上式变为： 将等式两端点乘流线上任意点的切线方向的单将等式两端点乘流线

5、上任意点的切线方向的单位矢量位矢量 ，得：，得： 0212uupgzuuus02102122pgzusuuspgzus 沿流线积分得：沿流线积分得： C C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线取不同的值，这就是伯努里方程。伯努里方程取不同的值，这就是伯努里方程。伯努里方程写成：写成：Cpgzu221122Cgpzgu 当流体为理想、均质不可压、质量力仅为当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力、定常且无旋时，运动方程写成：重力、定常且无旋时，运动方程写成： 积分得：积分得： C C为积分常数，在整个流场中取同一值。为积分常数，在整个流场中取同一值。

6、0212pgzuCgpzgu22 上式表明单位质量流体的总能量（动能、上式表明单位质量流体的总能量（动能、势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图示。示。 例例1 1：常用皮托管常用皮托管测量流速，皮托管测测量流速，皮托管测速原理如图示，如果速原理如图示，如果被测流体为不可压缩被测流体为不可压缩流体流体。 根据伯努里方程有：根据伯努里方程有： 式中，式中，z z1 1=z=z2 2，且在第，且在第2 2点处点处u u2 2=0=0。根据静压平。根据静压平衡原理，有衡原理，有 ，故：，故：2222112122zgpguzgpgughppm12ghppum2

7、2121 在同一过流断面上各点的速度不一定相同。在同一过流断面上各点的速度不一定相同。因此，上式适合于流束而不适合总流，总流是因此，上式适合于流束而不适合总流，总流是由无限个流束组成的，对每个流束进行积分即由无限个流束组成的，对每个流束进行积分即可得出实际流体总流能量方程式。可得出实际流体总流能量方程式。 设微小流束的流量为设微小流束的流量为dQdQ，单位时间内通过，单位时间内通过微小流束任何过流断面的流体重量为微小流束任何过流断面的流体重量为gdQgdQ，将适合于流束的将适合于流束的伯努里方程伯努里方程各项乘以各项乘以gdQgdQ，在总流的两个过流断面积分，即：在总流的两个过流断面积分，即：

8、 上式分两项积分分别讨论：上式分两项积分分别讨论： 1.1.第一项积分：第一项积分： 只有在所取断面上流动为均匀流或渐变只有在所取断面上流动为均匀流或渐变流时，过流断面上流时，过流断面上z+p/z+p/gg为常数，积分才有为常数，积分才有可能。所以可能。所以 gQcgudscgudsgupzSS)2(2Sgudsgpz)(gQgpzdQgpzggudsgpzS)()()( 2.2.第二项积分：第二项积分： 它为单位时间通过过流断面它为单位时间通过过流断面A A的流体动能的流体动能的总和。由于流速的总和。由于流速u u分布复杂，无法积分。一分布复杂，无法积分。一般采用动能修正系数般采用动能修正系

9、数，建立平均流速，建立平均流速V V的总的总动能与实际分布速度动能与实际分布速度u u的总动能相等，即：的总动能相等，即： SSdsugggudsgu3222333SVdsVdsuSS 式式中：中： 其值取决于过流断面流速分布，对理想流体其值取决于过流断面流速分布，对理想流体1。 因此因此, ,总流的伯努里方程总流的伯努里方程: :133SVdsuSCgVpz22 例例1 1：液体自下液体自下而上流动，如图示。而上流动，如图示。液体的密度为液体的密度为，测压计的流体密度测压计的流体密度为，试求管中液体为，试求管中液体流量。流量。 例例2 2：一水槽在同：一水槽在同一侧面有两个大小一侧面有两个大

10、小相同的孔口，上面相同的孔口，上面的孔口离水面的孔口离水面2m2m，下面孔口离水面下面孔口离水面4m4m，试求两孔射流为定试求两孔射流为定常运动时，在哪一常运动时，在哪一点相交。点相交。一、拉格朗日积分一、拉格朗日积分 当流体为理想、均质不可压、质量力仅当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力且无旋时，运动方程变为：为重力且无旋时，运动方程变为： 式中式中 为势函数。为势函数。02102122pgzutpgzut 积分上式得：积分上式得： C(t)C(t)为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取同一常数值，这就是拉格朗日积分。同一常数值，这就是拉格朗日积分。 当

11、流体为理想、均质不可压、质量力仅为当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力、无旋且定常时，拉格朗日积分改写成：重力、无旋且定常时，拉格朗日积分改写成： tCpgzut221Cgpzgu22 旁管出流的不定常旁管出流的不定常过程如图示。旁管为等过程如图示。旁管为等直径的水平管，水箱很直径的水平管，水箱很大，近似认为出流不影大，近似认为出流不影响液面高度，水平管内响液面高度，水平管内的流动近似认为一维流的流动近似认为一维流动。根据连续性方程，动。根据连续性方程，有：有： tCuxu0 根据无旋流动，有：根据无旋流动，有： 当当X=LX=L时，势函数在时，势函数在B B点处对时间的偏导数为：点处对时

12、间的偏导数为： ldtdulttCtB xttCtxtCdxtCudxxuxx00在同一时刻，在同一时刻，A A、B B 两点的关系：两点的关系： 0202puldtdughp2221ughldtdudtlghduughugh22121积分得：积分得：当当t=0t=0时，时，u=0u=0，C=1C=1。因此：。因此：tlghCeughugh22211222tlghtlgheeghu 当当 时，时， 例例2：已知不可压缩流体作平面势流流动，在：已知不可压缩流体作平面势流流动，在X方向上的速度分量为方向上的速度分量为ux =yt-x ，且在，且在xyo处，处，ux=uy=0，pp0。试求。试求to

13、时流场的压力时流场的压力分布。分布。 tghu2 解：流体为不可压缩流体，根据质量守恒解：流体为不可压缩流体，根据质量守恒方程，有：方程，有： 根据势流流动条件，有：根据势流流动条件，有： ),(10txcyuxuyuyuxuyxyyx tcxttxctxcyuxuxy1,00 由于由于x xy yo o处处u ux x=u=uy y=0=0条件，得条件，得C C1 1(t)=0(t)=0，所，所以以 。求势数：。求势数： xtyuytycxxytxytuxx,2122tcytycyycxtyuyy322221,所以所以: :由拉格朗日积分得：由拉格朗日积分得： tcxyxyt3222121

14、tCpxtyxyttcxytCput22322121 当当x xy yo o处，处，u ux x=u=uy y=0=0，p pp p0 0。故：。故： tCptco30322321ptcpxtyxyttcxy2200222121xtyxytxyppppxtyxytxy当当t to o时，有：时，有： 2220212yxyxxypp一、动量守恒方程一、动量守恒方程 根据动量守恒原理，动量对时间的变化根据动量守恒原理，动量对时间的变化率等于在流体质点受到的作用力。因此，对率等于在流体质点受到的作用力。因此，对控制体系统内任一质点的受到的作用力求和控制体系统内任一质点的受到的作用力求和可表示为：可表

15、示为： SVVdtdvdudvudtddvudtdR其中：其中： dtvduvudtdVVVzyxVVzyxdvzuyuxuudsnuuddvuzuuyuuxuutd因此，动量定理可以写成下列表达式：因此，动量定理可以写成下列表达式： SVVzyxVzyxVzyxdsnuudvtudvuuzuuyuuxutdvzuyuxuudvuzuuyuuxuutR 上式就是动量守恒方程。动量守恒方程在直角上式就是动量守恒方程。动量守恒方程在直角坐标系下，有：坐标系下，有： 的动量流量净流出控制体对时间的变化率控制体内的动量RSzVzySyVyySxVxxdsnuudvutRdsnuudvutRdsnuud

16、vutR 当动量守恒方程应用于流管时，动量守恒当动量守恒方程应用于流管时，动量守恒方程右边第一项的存在阻碍了应用动量方程的方程右边第一项的存在阻碍了应用动量方程的积分。因为要求右边第一项的积分，必须知道积分。因为要求右边第一项的积分，必须知道V V内的各点的详细流动状况。这就是为什么在内的各点的详细流动状况。这就是为什么在不定常运动时通常不应用动量方程的原因。当不定常运动时通常不应用动量方程的原因。当定常时，上式变为：定常时，上式变为： ssdQudsnuuR 对于流管（如图示），对于流管（如图示），除流管两端面除流管两端面dQdQ不为不为零外，其余为零。流零外，其余为零。流管外的流体对流管的

17、管外的流体对流管的作用力：作用力： 11112222sssdQudQudQuR常用过流常用过流截面上截面上平均速度平均速度代替代替u u，这时：，这时： 在三个坐标上的分量为：在三个坐标上的分量为： 11122211112222QQdQudQuRss111222QQRxxx111222QQRyyy111222QQRzzz 对不可压缩均质流体，对不可压缩均质流体，Q Q2 2=Q=Q1 1=Q=Q，2 2=1 1=。则：则： xxxQR12yyyQR12zzzQR12 例例1 1：在水平平面上：在水平平面上的的45450 0弯管（如图示），弯管（如图示），入口直径为入口直径为d d1 1=600

18、mm=600mm，出，出口直径口直径为为d d2 2=300mm=300mm，入口，入口表压强表压强p p1 1=1.4bar=1.4bar，出口，出口表压强表压强p p2 2=0=0，流量，流量Q=0.425mQ=0.425m3 3/s/s，不考虑摩，不考虑摩擦，试求液体对弯管的作擦，试求液体对弯管的作用力。用力。 解：首先求液体受到的作用力。解：首先求液体受到的作用力。21022445cos4dQdQQRx045sin4022dQQRy 设管壁设管壁对对液体的作用力为液体的作用力为F F，则：，则： 根据根据作用力与反作用力关系，作用力与反作用力关系，可求出液体可求出液体对管壁的对管壁的作

19、用力作用力。022221145cos44dpdpFRxx022245sin4dpFRyyxyFFarctg 例例2： 水从水头为水从水头为h1大容器通过小孔流大容器通过小孔流出出(大容器的水位可以认为是不变的大容器的水位可以认为是不变的)，射流，射流冲击在一块大平板上，它盖住了第二个大容冲击在一块大平板上，它盖住了第二个大容器的小孔，该容器水平面到小孔的距离为器的小孔，该容器水平面到小孔的距离为h2 ，设两个小孔的面积都一样。若设两个小孔的面积都一样。若h2给定，求射给定，求射流作用在平板上的力刚好与板后的力平衡时流作用在平板上的力刚好与板后的力平衡时h1为多少？为多少？ 例例3：水平面上自由

20、射流与平板相遇，如水平面上自由射流与平板相遇，如图所示。已知射流速度图所示。已知射流速度V1=20m/s，总流量，总流量Q1=24L/s及及Q2=8L/s ，=1000kg/m3，不计水，不计水的粘性，并假定流动定常，在足够远处的粘性，并假定流动定常，在足够远处V2和和V3均匀。求均匀。求Q3、V2、V3和和；平板上所受到平板上所受到的力。的力。 例例4： 如图所示，水从如图所示，水从3m宽的矩形水渠宽的矩形水渠阀门流下，流量为阀门流下，流量为13m3s，闸门前后的水位，闸门前后的水位分别为分别为2m和和lm。试求作用在闸门上的力，并。试求作用在闸门上的力，并指出在闸门上的压力分布是否符合静压

21、分布规指出在闸门上的压力分布是否符合静压分布规律。律。一、动量矩方程一、动量矩方程 动量对某一参照点的矩称为动量矩。因此，动量对某一参照点的矩称为动量矩。因此，对控制体系统内任一点的动量对某一参照点的对控制体系统内任一点的动量对某一参照点的矩求和可表示为：矩求和可表示为： T VsVdsnuurdvutrdvudtdr 同动量方程的原因一样，动量矩方程只同动量方程的原因一样，动量矩方程只用于定常流动，这时上式变为：用于定常流动，这时上式变为： dsnuursT 对于流管（如图对于流管（如图示），除两过流截面有示），除两过流截面有流体流入和流出外，无流体流入和流出外，无流体穿过流管表面。故流体穿

22、过流管表面。故流管内的动量矩可表示流管内的动量矩可表示为：为： 1212SSSdsnuurdsnuurdsnuurT常用平均速度常用平均速度代替代替u u，这时：，这时：当为不可压缩流体时，当为不可压缩流体时，Q Q2 2=Q=Q1 1=Q=Q，2 2=1 1=。则。则111122221111222212QRQRdQurdQurTSS QRRT1122二、动量矩方程的应用二、动量矩方程的应用 例例1：离心泵叶轮如图示，研究其进出口的：离心泵叶轮如图示，研究其进出口的动量矩。动量矩。 解：进出口的过流断面为园弧面，其法向解：进出口的过流断面为园弧面，其法向线为径向。线为径向。 1）作进出口速度三角形）作进出口速度三角形 进出口子午面流速：进出口子午面流速： ， 。其中其中 ， 。 圆周速度：圆周速度： ， 2 2）求绝对速度）求绝对速度C C1 1和和C C2 2 22AQcm11AQcm1112bRA2222bRA22Ru11Ru2222222180ctgcucCmm22222180ctgcuctgmm2111211180ctgcucCmm11111180ctgcuctgmm 3 3）根据动量矩方程，有：）根据动量矩方程，有： 对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，1 1=2 2= = ，Q Q1 1