人口预测模型

1、2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：162016高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）；中国人口增长的定量预测摘 要 本文结合过去几年中国城镇乡各项人口抽样调查数据，对未来中短期和长期中国人口增长情况和人口结构变化趋势进行定量预测。期间考虑，环境的

3、约束和时间关系分别采用阻滞模型定量预测未来长期中国人口增长情况；采用曲线拟合的线性最小二乘法对中国未来短期人口增长进行定量预测。关键字：阻滞模型、定量预测、曲线拟合、线性最小二乘法1 问题重述近半个世纪以来，世界人口发展的主要态势：一是生育水平逐步下降，人口总量经历高速增长后进入增速趋缓时期。二是人口年龄结构持续老龄化。据联合国统计：2000年，世界60岁以上和65岁以上老年人口比重分别达到10%和7%。而作为人口大国的中国也正面临着比20世纪更为复杂的人口发展形势。人口数量问题、地区之间人口态势差异明显。仍然是全面建设小康社会面临的重大问题。其中流动迁移人口规模庞大、出生人口性别比持续升高、

4、老龄化进程加速三个因素对城镇乡三者人口结构的影响日益显现。因为人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影响已经反映在人口调控和管理难度不断加大，低生育水平面临反弹风险等诸多方面上。但从更长的时期看，统筹解决人口问题已经成为促进经济社会发展的关键。 现在，请结合过去几年中国城镇乡各项人口抽样调查数据，可对未来中短期和长期中国人口增长情况和人口结构变化趋势进行定量定性的综合预测。2 模型假设1、不考虑地区之间人口态势的差异和抽样人群的地理分布和环境限制2、查阅得到的年全国总人口数据真实可靠3 符号说明符号含义第年地年龄的总人口数最大人口数第年地的存活人数 第年地年龄的迁移人口数 第年地年龄的生育人口数。

5、、 第年地年龄男生数和女生数 第年地年龄的人口存活率4 问题的分析 本题在数据十分庞杂、建模因子数量较多的情况下，希望参赛者尽可能全面综合准确地预测未来中短期和长期中国人口增长情况和人口结构变化趋势进，要求参赛者具有一定的数据处理和分析能力。值得注意的是，不同的时间长度对于不同的模型精确程度存在较大差异，故试题对于预测结果的精确程度很大程度取决于解决方案的选取和中短期和长期两个时间的吧我。就笔者看来，为了综合去预测中国人口增长情况需要解决2个问题：1、 如何定量预测未来长期中国人口增长情况？2、如何定量预测未来中短期中国人口增长情况？对于问题1：就长期而言，由于中国的人口基数庞大，考虑了的人口

6、增长问题的主要因素的影响会被放大，所以对于多数隐性因素可以忽略。故可以定量预测未来长期中国人口增长情况及人口结构变化情况。在模型的拓展中，为了切合实际，除了要包含主要的人口增长的影响因素，也要充分反映出流动迁移人口规模庞大、出生人口性别比持续升高、老龄化进程加速、乡镇城市化四个现阶段人口发展的态势。首先，由于城镇乡三者所处的环境等各种因素不同其死亡率和生育率都有所差别，所以要优先考虑附表2给出的生育率和死亡率如何选取。考虑各个年龄段的抽样人群可能受到大型自然灾害和流感等疾病的影响，从而导致部分数据不准确，故先需对数据进行赋权累加，分别计算每年的生育总数和死亡总算。排除干扰数据。为了降低建模难度

7、，故本题主要体现人口模型中的环境约束条件，可以采用阻滞模型定量预测未来长期中国人口增长情况。对于问题2：就中短期而言，不考虑地区之间人口态势的差异，大部分的因素在故定量预测未来长期中国人口增长情况。其中各个年龄又会被庞大的人口实际基数放大，故无论是死亡率还是生育率都不能直观得累加或取均值预测其未来的走向，故以91个年龄段为分组，分别按城男、城女、镇男、镇女、乡男和乡女六各类别的人群所占总体的比例作为权重对每年每个年龄段分别求死亡率和生育率。以此预估二者的走向趋势，若基本稳定则可取均值，波动较大则拟合曲线预测其变化规律。秉承着误差尽可能小的原则去建立预测模型，使得这些预测得的数据与实际数据之间误

8、差的平方和为最小。故采用曲线拟合的线性最小二乘法对中国未来短期人口增长进行定量预测5 问题一模型的建立与求解5.1 问题的分析5.11数据处理 考虑各个年龄段的抽样人群可能受到大型自然灾害和流感等疾病的影响，从而导致部分数据不准确，故先需对附表2中于预测相关的死亡率和生育率数据分别进行赋权，计算20012005年间城镇乡的死亡数和生育数，并排除错误数据。20012005城镇乡生育率统计表年龄段20052004200320022001总计685.33 720.33 69.95 690.71 686.19 由城镇乡妇女生育总数可知，2003年城镇乡的生育总数远小于其他几年，结合2003年爆发非典的

9、缘故，故判断对城镇乡的生育率冲击较大。20012005城镇乡死亡率统计表年龄段20052004200320022001总计3097.26 3120.47 3040.49 3089.97 2925.73 考虑到灾害疾奔对人口增长的负影响，故分组中死亡率偏低的影响不考虑。因为人口基数庞大和疾病的致死性不高以及药物的及时治愈，各年间城镇乡死亡率总数相差不大，故对死亡率的影响可忽略不计。 ，结合两表来看，2003年过后生育率基本恢复原先的数值并保持稳定，可以确定排除影响因素，所以其余数据均是合理，可靠仅排除2003年的数据的。5.12问题的分析本题主要体现人口模型中的环境约束条件，可以采用阻滞模型定量

10、预测未来长期中国人口增长情况。5.2 模型的建立一、对中国人口增长的长期预测非线性方程为生物种群增长的阻滞增长模型，可表示为： 其中，均为常数，且远小于。是人口自然增长率，是环境系数。则由模型得出人口增长模型：4 在人口较少时，可以把增长率看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视为一个随着人口的增加而减少的量，即将增长率表示为人的函数，且为的减函数。 考虑环境约束条件，假设有一个环境条件允许的种群数量的最大值，即环境容纳量。通常用表示，当种群数量达到时，种群数量将不再增长，即当时，增长率为的减函数。所以假设环境条件对种群的阻滞作用，随着种群密度的增加而按比例增加。由上述两个假设可得：则

11、有： 式是一个可分离变量的方程，其解为：由式计算可得则人口变化率在时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，经过这一点之后，生长速率会逐渐变小，最终达到零。由阻滞增长模型可把人口增长模型用微分方程初值问题表示： 其中，是人口净增长率，是人口自然增长率，是生命系数，为时刻地人口总数，为初始时刻的人口总量。方程的解为： 由得：3 令式第一个方程的右边为0，得，称它们是微分方程式的平衡解。易知，故又称是式的稳定平衡解。可预测不论人口开始的数量为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在。5.3 模型的求解5.3.1 模型的拓展由附录2已给出的数据可知，本题若要考虑城镇乡的差异，其中可

12、以把三者分别看作三个整体，需考虑抽样人群在三者之间的迁移，主要需要考虑的迁移人群分为两类，一是1550岁年龄段的人群可以视作青壮年，迁移方向为由乡镇向城；二是64岁以上人群可以视作老年人，迁移方向为由为城向乡镇；考虑到。城市和东部发达地区面临生育水平降低、人口老龄化加剧等新问题。农村、中西部和贫困地区则生育水平较高、人口自然增长率较高，人口和计划生育工作难度很大。中西部人口自然增长率明显快于东部地区。为了简化模型故不考虑不考虑抽样人群的地理分布和环境限制以及地区之间人口态势的差异，即不考虑三者之间的权重或是人口密度函数的影响，由此可以建立人口迁移模型，预测每年城镇乡之间的具体人口迁移情况，其中

13、乡村人口城镇化看作流动迁移人口的一部分。 若对精度要求较高，则需运用移龄算法按年龄预测其城镇乡的人口数量变化。对各个年龄段所生育的人数分开预测，而各个年龄段的生育率的建模因子又包括该年龄段的妇女人数、每胎平均人数、性别比重和年龄大小，其中性别比重除了能反映人口性别比持续升高的影响，也可以看作是对过去出生人口性别比持续升高现象的体现。 已知，自然增长率=出生率-死亡率；要定量预测未来长中国人口增长情况及人口结构变化情况，我们可以结合人口增长模型、人口迁移模型建立复合模型： 1 其中，表示第年地年龄的总人口数，表示第年地的存活人数，表示第年地年龄的迁移人口数，第年地年龄的生育人口数。表示年地年龄的

14、人口存活率，表示第年地年龄的人口存活数 表示第年地的存活人数，表示第年地年龄的人口存活数。 其中，表示第年地年龄的新生人口数，表示平均每胎生的人数，、均为常数，、分别表示第年地年龄男生数和女生数。 其中，表示第年地年龄的迁移人口数，均为常数，地区按城市、乡镇、农村这一顺序排列，通过分析附表2并考虑到中国人口年龄划分的实际情况我们将年龄和划分在以下区间。5.3.2 模型的求解 将19802005年总人口为研究对象，分别查阅出对应的总人口，以1980年总人口做为参考值，运用非线性最小二乘估计法用软件编程得出最大总人口=15.5351（亿）和增长率=0.0477，然后带入阻滞增长模型可分离变量方程，

15、有： 表示在t年后的总人口数（以1980年为初始值），最大总人口 增长率时间序列(t)人口数2012.653013.554014.185014.616014.887015.068015.179015.2410015.28 （单位：亿人）6问题二模型的建立与求解6.1问题的分析本题中，按附录2中所给出的年龄段和地区两项指标，可视作一组二维数据，为了精准预测人口，秉承着误差尽可能小的原则去建立预测模型。由此可以采用曲线拟合的线性最小二乘法对中国未来短期人口增长进行定量预测6.2 模型的建立对于短期预测，用线性最小二乘法拟合曲线，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地

16、求得未知的数据，并使得这些预测得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。模型优化问题也可通过误差最小化用最小二乘法来表达。确定系数，记为： 为使使达到最小，只需利用极值的必要条件，得到关于的线性方程组：联立可知：26.3模型的求解 通过matlab编程可得未来短期中国人口的预测结果,见下表：年份（）总人口（）20061312262007132699200813275220091329562010133960（程序鉴附录 单位：万人）7 优缺点分析优点分析：1曲线拟合的线性最小二乘法利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和

17、为最小。2阻滞增长模型考虑到人口的增长是有限的，并且提出人口总数的增长规律随着人口数量的增加，人口增长率是逐渐降低的。此模型用来预测人口长期趋势体现了自然生态的平衡，克服了用其他模型预测导致人口呈持续上升的情况。缺点分析：1曲线拟合的线性最小二乘法是线性估计，已经默认了是线性的关系，因此有主观性。2阻滞增长模型对除环境约束外许多内在的建模因子未考虑。8 参考文献 段克峰 甘肃：兰州大学 基于一种复合模型的中国人口预测模型 司守奎 国防工业大学出版 数学建模算法与应用（第二版） 陈作青 ，李远平 中南民族大学 基于灰色预测的我国人口预测模型分析 中南民族大学学报 第27卷第一期 2008年3月陈

18、彦光 北京大学 人口增长的常用数学模型及其预测方法 华中师范大学学报 第10卷 第三期 2006年9月附 录以下为基本阻滞模型的matlab执行程序：c,d=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d)=104.357','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-20*d)=119.85','c','d') %求初始值参数t=0:25; %令1980年为初始年x=98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.7

19、04 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756;b0=164.36000141940766770402083542144, 0.029140261158775935791655061837304; %初始参数值fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b(2).*t)','b','t')b1,r

20、1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0) c = 164.36000141940766770402083542144 100.61020589383593617423622948726 + 1.3391725046947108398651300263048*i 100.61020589383593617423622948726 - 1.3391725046947108398651300263048*i d = 0.029140261158775935791655061837304 - 0.095997479282299124426825234916666 - 0.43713074797

21、853832762567347093566*i - 0.095997479282299124426825234916666 + 0.43713074797853832762567347093566*i fun = Inline function: fun(b,t) = b(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b(2).*t)b1 = 153.5351 0.0477下表是20012005城镇乡死亡率变化数据：20012005城镇乡死亡率统计表年龄段20052004200320022001068.86 68.86 68.86 68.86 68.86 16.98 2.92 6.

22、85 6.15 7.93 24.70 3.72 6.95 3.83 11.63 33.25 4.35 5.82 6.26 5.52 42.87 4.04 3.21 4.58 6.86 53.18 2.16 2.41 3.37 5.93 62.54 1.29 4.64 3.62 3.07 72.19 2.37 4.51 2.95 4.77 82.32 2.28 2.24 4.45 4.86 92.95 2.38 4.56 1.57 0.82 103.08 5.12 3.48 2.26 4.82 112.98 3.15 2.47 4.82 2.42 123.34 2.60 2.97 3.05 2.

23、87 132.66 4.03 7.47 5.62 3.86 143.51 6.37 2.94 3.79 7.39 154.82 7.39 7.92 4.14 2.65 165.66 5.46 4.17 6.78 4.21 175.17 4.47 7.71 6.99 4.35 186.99 4.71 7.15 4.96 5.58 196.02 5.49 4.85 2.04 6.10 205.09 3.45 6.40 3.52 8.75 214.91 3.80 7.66 9.94 6.36 225.91 4.49 5.14 4.77 7.92 235.35 4.10 9.14 12.44 7.98

24、 245.45 6.01 7.54 5.58 3.95 255.87 6.14 6.81 6.37 8.83 265.57 5.98 8.11 2.18 13.36 2726.18 5.96 8.48 6.65 7.68 286.33 9.35 6.02 8.08 11.91 298.57 10.01 7.83 15.83 11.05 307.86 13.54 9.50 13.01 15.44 319.53 10.64 8.21 17.77 13.01 3211.27 7.64 13.03 15.14 13.01 3311.45 13.87 12.67 12.01 14.47 3413.21

25、12.99 11.69 10.81 15.76 3514.73 9.96 14.76 19.78 16.36 3614.70 11.26 17.49 18.86 17.83 3717.04 8.49 16.00 15.82 11.59 3814.60 17.32 14.90 21.45 20.22 3917.21 22.58 17.27 24.82 11.32 4019.26 18.20 21.50 17.71 10.03 4117.70 24.19 18.20 14.68 12.70 4222.27 17.47 11.32 8.48 11.76 4319.80 8.87 15.62 17.0

26、1 14.61 4411.77 17.25 16.74 21.64 18.27 4516.14 16.09 22.51 19.72 14.58 4616.30 20.75 22.04 19.43 22.59 4829.39 26.08 27.32 24.05 24.11 4926.45 25.51 29.73 29.25 33.07 5031.95 34.55 27.37 28.96 31.04 5131.16 32.73 25.69 25.26 33.92 5232.98 39.37 32.86 29.51 32.67 5335.14 30.53 30.57 26.39 26.62 5436

27、.13 37.84 35.29 21.90 30.26 5536.07 44.52 32.75 34.82 29.69 5638.70 31.62 32.24 37.79 25.36 5734.34 35.20 30.56 30.76 24.80 5839.33 55.80 41.48 34.86 31.74 5940.29 44.26 35.58 42.36 28.90 6043.99 44.94 44.47 37.42 55.73 6141.23 48.17 32.67 48.63 48.37 6244.34 44.37 48.86 66.88 46.86 6347.46 60.10 44

28、.23 53.81 54.75 6452.32 53.03 48.80 71.45 63.70 6560.03 51.55 66.11 66.28 66.99 6650.49 59.56 66.65 61.72 64.71 6764.95 59.52 61.41 79.37 73.42 6869.42 70.76 71.47 78.61 80.47 6978.19 76.45 72.85 84.67 74.64 7087.98 88.63 99.32 95.40 88.03 7175.68 86.12 85.35 95.16 94.89 7297.21 86.84 93.97 99.73 76

29、.55 7390.41 88.14 101.29 91.21 87.26 7484.95 110.79 72.20 89.35 79.20 75100.70 87.06 93.51 110.85 71.39 7684.29 88.16 80.66 72.99 86.27 7791.43 87.93 86.38 89.99 90.53 7893.30 85.81 94.71 87.63 73.37 7984.89 82.09 84.31 78.79 80.17 8094.04 96.81 80.70 81.97 87.61 8181.90 70.93 90.79 86.44 76.10 8276

30、.54 102.97 69.27 63.64 51.30 8376.24 75.76 67.85 57.08 42.58 8467.54 72.13 68.27 57.24 49.16 8561.65 57.17 41.64 45.34 50.30 8645.30 39.77 49.87 46.34 46.35 8739.97 39.56 31.56 31.14 33.96 8833.75 42.29 32.74 43.79 25.66 8928.30 27.89 31.79 27.50 27.33 90+136.32 120.86 131.84 88.12 94.98 总计3097.26 3120.47 3040.49 3089.97 2925.73 下表是20012005城镇乡生育率变化数据：20012005城镇乡妇女生育率统计表年龄段20052004 2003 2002 2001150.05 0.22 0.02 0.26 0.06 1