(完整word版)高中数学基础知识大全(全国新课标版)

1、高中数学基础知识大全(新课标版)第一部分集合1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？2. . 数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3. (1) 元素与集合的关系：x A x CUA, x CUAx A.4. 2)德摩根公式：CU (AI B)CUAU CUB;CU (AU B)CUAI CUB.3 3)AI B A AUB BA B CU B CU A AI CU B CU AU BR注意：讨论的时候不要

2、遗忘了A 的情况 .( 4)集合a1,a2,L ,an 的子集个数共有2n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个；非空真子集有2n 2 个 .4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数1映射：注意 : 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一.2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；aba2b2利用均值不等式abaa； 利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)；利用函数有界性(a x、 sin x、 cosx等)；平方法；导数法3复合函数的有关问题:( 1)复合函数定义域求法： 若 f(x) 的定义域为a， b , 则复合函

3、数fg(x) 的定义域由不等式a g(x) b 解出 若 fg(x) 的定义域为a,b, 求 f(x) 的定义域，相当于x a,b 时，求 g(x) 的值域 .( 2)复合函数单调性的判定：首先将原函数y fg(x) 分解为基本函数：内函数u g(x) 与外函数y f (u)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性 .4分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 f(x)是奇函数f ( x)f(x)；f(x)是偶函数f( x) f(x)奇函数f (

4、x) 在 0 处有定义，则f (0)0第 8 页在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性:单调性的定义： f (x) 在区间 M 上是增函数x1, x2M ,当 x1x2时有 f (x1) f (x2)； f (x) 在区间 M 上是减函数x1, x2M ,当 x1x2时有 f (x1) f (x2)；单调性的判定：定义法：一般要将式子f (x1 ) f (x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；复合函数法图像法注：证明单调性主要用定义法。7函数的周期性：(1) 周期性的定义：对

5、定义域内的任意x，若有 f (x T) f (x) (其中 T 为非零常数)，则称函数f(x) 为周期函数， T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。2)三角函数的周期：y sin x:T 2cosx : T 2； y tan x :T y A sin( x ), y Acos(x ):T2|y tan x : T|(3) 与周期有关的结论：f (x a) f(x a)或 f(x2a)f (x)(a0)f (x) 的周期为 2a8基本初等函数的图像与性质： . 指数函数：xa (a0,a1) ；对数函数: y log a x(a 0

6、,a1)；幂函数：yR):ysin x；余弦函数：y cosx ；6)正切函数：tanx；一元二次函数：axbx c 0 ( a 0) ；其它常用函数： 正比例函数：kx(k 0)；反比例函数：ykk (k 0) ；函数 xay x (a 0)x . 分数指数幂：mmn nmna a；a1m (以上 aan0,m,n N1) .9二次函数： . ab N loga MNlog a NlogaM . 对数的换底公式: logab；log a N ； log a MN log am bnN log m N . 对数恒等式:logmalog a Mlog a Nmn loga b .alogaN N

7、 .解析式：一般式：f (x) ax2 bx c ；顶点式：f (x) a(x h)2k ， (h, k) 为顶点；二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。零点式：f (x) a(x x1)(x x2) ( a 0)二次函数y ax 2 bxbc 的图象的对称轴方程是x b ，顶点坐标是2ab 4ac b2，2a 4a10函数图象：图象作法：描点法导数法图象变换： 平移变换：)yf(x)f(xa) ， (a 0)+”右“”； 对称变换： 翻折变换：) y f (x) y f (x)12函数零点的求法：)y)y直接法(求f (x)f(x)f(x)(

8、0,0)f (x)k,(k 0)+”下“”；f(x)x0f(f(f(|x|)| f(x)|0的根) ；图象法；二分法x)； ) y f (x)x) ； ) y f (x)y 轴右不动，右向左翻(y0yxx 轴上不动，下向上翻(|y f (x)；x f (y) ；f (x) 在 y 左侧图象去掉)f (x) | 在 x下面无图象)(4) 零点定理：若y=f(x) 在 a,b 上满足 f(a) · f(b)<0 , 则 y=f(x) 在( a,b) 内至少有一个零点。第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度 180 ，1 弧度， 1弧度 (180 )18

9、057 18弧长公式：lR ；扇形面积公式：S12 lR 12 R2。2三角函数定义: 角终边上任一点(非原点)P(x,y),设 |OP | r 则： siny,cos rx, tan r3三角函数符号规律：(简记为“全 s t c”)4诱导公式记忆规律：5y A sin( x对称轴：令k ，得 x2对称中心：(k,0)(k Z)； y A cos( x对称轴：令kk ，得 xk(2,0)(k Z)周期公式: 函数Asin( x)及 y2Acos( x ) 的周期 T (A 、为常数，且 A 0). 函数 y Atan x(A 、为常数，且A0).6同角三角函数的基本关系：sin 2 x2co

10、s xsinx 1;cosxtan x7三角函数的单调区间及对称性：ysin x的单调递增区间为2k,2k2Z , 单调递减区间为8两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2ky3,2k k Z ，对称轴为22cosx的单调递增区间为2kxk,2k k对称轴为x k (k Z) , 对称中心为 y tanx 的单调递增区间为k sin() sin cos cos,02tan() tan tan1 mtan tan sin()sin(2) sin asinbcos = a2b2 sin(,k2sin2 sincos(k Z) , 对称中心为 2Z , 单调递减区间为2k(kcos(Z).Z ，对称中心

11、为) cos cos)cos(k ,0 (k Z).,2kk,02msin2 cossin) (其中 , 辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限k Z，Z.2 sin决定 , tan ). a9二倍角公式： sin22sin cos . (sin cos )21 2sincos 1 sin210正、余弦定理： cos22 cos22 cos sin22cos 11 2sin 2正弦定理：asin A sin B1 cos2 2 ,sin21 cos22csinC2R2R是 ABC外接圆直径注： a : b : c sin A: sin B : sin C2Rsin A,b 2Rsin B,c

12、2RsinC；absin A sin B sinC sin A sin B sin C222余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA等三个；cosA c a 等三个。2bc11111. 几个公式: 三角形面积公式：Sahabhbchc( ha、 hb、 hc分别表示a、 b、 c 边上的高)；2a2b2c ab c11S absinC bcsinA1casin B . S OAB 21 uuur uuuruuur uuur2 (|OA| |OB|)2 (OA OB)2内切圆半径r= 2 S ABCabca外接圆直径2R=sinAbsinBc; sinC1. 平面上两点间的距离公式: d A,

13、B第四部分平面向量(x2 x1)2 (y2 y1)2 ，其中A(x1, y1) ， B(x2,y2).2. 向量的平行与垂直：设 a =(x1, y1) , b=(x2, y2)，且b 0，则： a bb=ax1 y2x2y10； a b ( a 0)a · b =0x1x2 y1 y2 0 .3. a·b=| a| b|cos< a,b >=x 1x2+y1y2；注：| a|cos< a,b >叫做a在 b 方向上的投影；| b|cos< a,b >叫做b 在 a 方向上的投影；a·b的几何意义：a·b等于 | a|

14、 与 | b| 在 a 方向上的投影| b|cos< a,b >的乘积。ab4. cos<a,b >=；|a|b|5. 三点共线的充要条件：uuur uuurP， A， B 三点共线OP xOAuuuryOB且 x y 1 。1定义：(1)等差数列an2an an 1an等比数列 an第五部分数列an 1 an d(d为常数 ,n1 (n 2,n N*)anknN)SnanAnan21 d(n 2)Bnaann1q(q 0) an2an-1an 1(n 2,nN)2等差、等比数列性质：等差数列等比数列通项公式ana1(n 1)dn1ana1q第 5 页1 .q 1时，S

15、nna1 ;n(a1 an)n(n 1)n前 n 项和 Snna1d 21时，Sa1 (1 q )2 2.qn 1 qa1 anq1q性质a n=am+ (n m)d,an=amqn-m; m+n=p+q时 am+an=ap+aq m+n=p+q时 aman=apaq Sk , S2kSk , S3kS2k ,成 AP Sk,S2kSk,S3kS2k, 成 GP ak,ak m,ak 2m,成 AP,d' md ak ,ak m,ak 2m ,成 GP,q' qm3常见数列通项的求法：cn 型） ；公式法：b 型）转化为an 1S1(n=1)an=Sn Sn-1 (n 2) x

16、 k(an x)定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（an 1 ana累乘法（an 1cn 型） ；待定系数法（an 1 ka n6）间接法（例如：an 1 an 4anan 111an an 14 ） ； （ 7 ） （理科）数学归纳法。第 24 页4前n 项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。5等差数列前n 项和最值的求法：an0an 0Sn 最大值或 Sn最小值；利用二次函数的图象与性质。an 10an 10第六部分不等式221均值不等式：ab a bab(a,b 0)a2 b2(a,b R)。222注意：一正二定三相等；变形：ab （a b）222极值定理：已知 x, y都是正

17、数，则有：1） ） 如果积xy是定值p，那么当x y时和 x y有最小值2 p；122） ） 如果和 x y是定值 s，那么当x y时积xy有最大值s .3） 解一元二次不等式ax2 bx c 0（或 0） : 若 a 0, 则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”. 如 : 当x1x2 ,xx1xx20x1x x2 ；x x1 x x20 xx2或x x1 .4） 含有绝对值的不等式：当 a 0 时，有：x a x2 a2 a x a；22 x a x a x a或 x a.5*. 分式不等式：fxfx1) x 0 f x g x 0；( 2) x 0gxgx3）fxgxf

18、x gx 0gx 04）fxgx6*. 指数不等式与对数不等式(1) 当 a 1 时 , af (x) ag(x)f (x) g (x) ； loga f(x)f x gx 0；fx gx 0.gx 0f(x) 0loga g(x)g(x) 0f (x) g(x)f (x) 0(2) 当 0 a 1 时 , af(x)ag(x)f (x) g(x)； loga f (x) loga g(x) g(x) 0f (x) g(x)3不等式的性质： a b b a； a b,b ca c； a ba c b c； a b,c da c b d ； a b,c 0ac bd ； a b,c 0ac bc

19、 ； a b0, c d 0ac bd ; a b 0an bn 0(n N ); a b 0n a n b(n N )第七部分概率1事件的关系：事件 B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作A B；事件A与事件B相等：若A B, B A，则事件A与 B相等，记作A=B；并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或A B） ；并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB ） ，则事件A 与互斥；事件A与事件B互斥：若A B 为不可能事件（A B对立事件：A B 为不可能事件，A B 为必然事件，则A与 B 互为对立事件。2概率公式：古典概型

20、：P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数几何概型：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积等）；试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等） ；第八部分统计与统计案例1抽样方法： 简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为n ；N常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。 系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简

21、单随机抽样方法确定起始的个体编号；按预先制定的规则抽取样本。 分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数nN注 : 以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等2频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎

22、叶图。3总体特征数的估计：样本平均数x1(x1 x2nxn )1nixi1(xn x) 2n12；(xi x)ni1样本方差S21 (x1 x)2(x2 x)2n样本标准差S 1(x1x)2(x2x)2(xnx)2 =1 n(xix)2nni1第九部分算法初步1程序框图：图形符号：终端框（起止框）；输入、输出框；判断框；流程线顺序结构：r =0?输入 nn条件结构：否是不是质数n 是质数循环结构：i=i+1求 n 除以 i 的余数i=2n 或 r=是注：循环结构分为：当型(while 型) 先判断条件，再执行循环体；直到型(until 型)先执行一次循环体，再判断条件。2基本算法语句：输入语句

23、INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：赋值语句：变量=表达式句：IF条件 THEN语句体END IFELSEEND IF循环语句：当型：PRINT “提示内容”；表达式IF 条件 THEN语句体 1语句体 2直到型:循环体条件条件语新课标数学部分公式及结论2. 从集合 Aa1 ,a2 ,a3 , , an 到集合 Bb1 ,b2,b3, ,bm 的映射有mn 个 .3. 函数的的单调性：(1) 设 x1 , x2 a, b , x1x2那么(x1x2)f (x1 )f(x2)0(x1x2)f (x1 )f(x2)0f (x1) f (x2 )x1 x2f (x1) f (x2)f (x)

24、 在 a,b 上是增函数；f (x)在 a,b 上是减函数(2) 设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果f (x) 0，则 f (x) 为增函数；如果f (x) 0，则 f (x) 为减函数.4*. 函数 y f (x) 的图象的对称性 y f (x) 的图象关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) ；ab y f (x) 的图象关于直线x 对称 f(a x) f(b x) f(a b x) f(x)； y f (x) 的图象关于点(a,0) 对称 f x f 2a x f a x f a x 0 ，y f (x) 的图象关于点(a,b) 对称

25、 f x 2b f 2a x f a x f a x 2b .6奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数7多项式函数P(x) anxn an 1xn 1 L a0的奇偶性：多项式函数P(x)是奇函数P(x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.8. 若将函数y f (x) 的图象右移a、上移 b个单位，得到函数y f (x a) b的图象；9. 几个常见的函数方程：f(x)

26、f(y), f (1) c.(1) 正比例函数f (x) cx , f (x y)(2) 指数函数f (x)ax, f (x y)f(x)f(y),f(1) a0.(3) 对数函数f (x)loga x, f (xy)f(x) f(y), f (a)1(a 0,a 1).(4) 幂函数 f(x) x , f(xy) f (x)f (y), f (1).(5) 余弦函数f (x) cosx, 正弦函数g(x) sin x， f (x y) f (x) f(y) g(x)g(y) ， f(0)=1.10*. 几个函数方程的周期( 约定 a>0)( 1) f(x) f (x a)，则 f(x)

27、的周期T=a；11( 2) f (x a) f (x)，或 f (x a) (f (x) 0)，或 f(x a)(f(x) 0),f (x)f(x)则 f (x) 的周期T=2a；11. 等差数列an 的通项公式: ana1n 1 d , 或 an am (n m)danamnm前 n 项和公式: snn(a1 an)na1 n(n 1) d d n2 (a1 1 d )n .n2222Sn 是前n 项的和，则12. 设数列 a n 是等差数列，S奇 是奇数项的和，S偶 是偶数项的和，前 n 项的和 SnS奇S偶 ；当 n 为偶数时，S偶S奇n2 d ，其中 d 为公差；当 n 为奇数时，则S

28、奇S偶a中，S奇n 1a中， S偶 n 1a中， S奇 n 122S偶 n 1SnS奇S偶S奇S偶S奇S偶n （其中a中 是等差数列的中间一项）13. 若等差数列an 和bnan2n 1 项的和分别为S2n 1 和T2n 1 ，则 nbnS2n 1T2n 114. 数列an是等比数列，Sn是其前n 项的和，k N* ，那么（S2k Sk)2=Sk · S3kS2k.15. 分期付款（ 按揭贷款） ：每次还款ab（1 b）n 元 （贷款 a 元 , n 次还清 , 每期利率为 1(1 b)nb).116. 裂项法：1nn 1； 12n 1 2n 12n 12n 1a1 babab1!17* 常见三角不等式:1)若x (0, ) ，则 sinx x tanx .2(2)若 x (0, ) ，则 1 sin x cosx 22.(3)|sin x| |cosx| 1.18. 正弦、余弦的诱导公式：n!n 1!sin(n1)2 sin , n为偶数n1cos