多元统计分析---第二章 抽样分布ppt课件

1、第2章 抽样分布Sampling Distributions1 1 样本的结合概率密度函数样本的结合概率密度函数),(pNx设, 0 那么总体的密度函数为)()(21exp)2(),(121221xxxxxfpp X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，X2，Xn相互独立，且同正态分布).,(pNx设 2212222111211nnnppnxxxxxxxxxxxxX21称为样本数据矩阵。 )()(21exp)(112 iininp2XX)()()()(21nXfXfXff X)()(21exp)2(12121 iipnixx为样本结合密度函数。2 2 样本分布样本分布 一、

2、维希特一、维希特WishartWishart 1 1、定义随机矩阵的分布、定义随机矩阵的分布npnnppxxxxxxxxx212222111211X设随机矩阵 矩阵中的每一个元素均为随机变量，那么矩阵X的分布是其列向量拉长，组成一个长向量的分布。npnppxxxxxx1221111x 定义定义 维希特维希特WishartWishart分布的统计量分布的统计量 设 个随机向量 n), 3 , 2 , 1(),(21niXXXipiii X)()2()1(212222111211npnnpnnppXXXXXXXXXXXXX 独立同分布于 ，那么随机矩阵),( pN n1iii 服从自在度为 的非中

3、心维斯特分布，记为 。n),( nWpnlljilXX1 npnnppnpppnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA212222111211212221212111 特别当 是 阶对称阵，那么 的分布为的下三角部分组成的长向量XpXppppppppxxxxxxx,1,1, 1222111x 在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布Wishart相当于一元统计中的 分布。 22 定理1：假设 ，且 ， ，那么 的分布密度为特别，当 和 时， 服从 分布。),(nWppn 0 0,)21(|2)21exp(|)(1221)1(212)1(

4、 ainAtraaFpinnppnpp1 p1 2维希特 Wishart分布的密度函数二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质： 1假设A1和A2独立，其分布分别 和 ，那么 的分布为 ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。),(1nWp),(2nWp21 ),(21nnWp 2 ，C为mp阶的矩阵，那么 的分布为 分布。),(nWpCC),(CC nWm 定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有),(11211 pxxx1x),(222212 pxxxx),(21 npnnnxxxx niin11令 n1iXXXXS)(ii 那么有XXXXSi nnj

5、j1)1,(1nNp、相互独立和、S2), 1(3 nWSp、证明： 为一正交矩阵设 nnnijnn2111* nnXXX2121)(令为正交矩阵，所以且独立同正态分布由于,), 4 , 3 , 2 , 1(ni iX独立同正态分布)(21n niinn11) 1, 3 , 2 , 1()()(1 narEEnjjajanjajr101 ninjajrrn jijiCovji0),(njajnrn11nEnEniin 1)(1)(ZnnVar1)()1,(1nNnpnX njj1)(iXXXXSXXXXSi nnjj1nnnjj 1iXXSnn S 11njjjS相互独立与S), 1(11 n

6、WpnjjjS1 p1 1122) 1(niinyA可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推行。), 4 , 3 , 2 , 1(ni iX)(1)(0120 xx0nT )()(01 xx0n服从自在度为 的卡方分布。p定理定理2 2 设设 独立同正态分布，那么统计量独立同正态分布，那么统计量 证： 由于样本均值 )1,(npNx)(21 Xn令 )()(21XnEEpnDD )()(21X)()(21Io,XpNn )2222212pZZZp（所以 相互独立的规范正态分布的平方和为自在度为 的卡方分布。p 在一元正态的情形下，我们有样本的统计量当总体的方差未知时，我们必需用样本的方差来替代总

7、体的方差，那么那么在多元正态的情形下，能否有一样的问题呢？回答时一定的。) 1 , 0( NnxZ niixxnS122*)(11) 1(* ntnSxt定义： 则相互独立和设,),(),( ppNunW),(212uunpTn 称T2服从参数为P和n的非中心霍特林Hotelling)分布，当。定理：定理：),()()(212npTxxn 则相互独立和设,),(),(ppNxnW 当 时， 服从自在度为n的中心霍特林分布，记为 。0uu12 nuu12 n),(2npT) 1,(12pnpFTnppn ),(11211 pxxx1x),(222212 pxxxx),(21 npnnnxxxx样

8、本均值令 niin11样本叉积矩阵n1iXXXX)(iiS) 1,()()() 1(212npTxSxnn 则) 1,(1),(2 pnpFpnnpnpT且 定理：设定理：设 是来自多元正态总体是来自多元正态总体 的简单随的简单随机样本，有机样本，有n21xxx,),(pN 定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，1,n21xxx),( pN ),(11211 pxxx1x),(222212 pxxxx),(111121pnnnnxxxx),(222221pnnnnYYYY),(11211pYYYY1),(222212pYYYY21若) 1,()()(22121211212npTnnnn

9、xxSxxp则2) 1() 1(212211nnSnSnSp 设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，),(2pN2,n21YYY1Wilks分布 定义：设 和 ，且 相互独立， 和 ， ，那么称服从Wilks分布，记 。 可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。),(1nWp),(2nWp,pn 1pn 20 | ),(21nnp2p22 n2 四、基于维斯特四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量分布的统计量F 在一元方差分析中，经常遇到基于独立的 分布随机变量比值的 统计量。在多元统计分析中，起到一样作用的是统计量 和 分布。2 2、统计量和统计量和分布分布 设k个总体 ，它们服从 。分别抽出如下的样本：kGG,1),()(ipN)1()1(2)1(11,nxxx)2()2(2)2(12,nxxx)()(2)(1,knkkkxxxkaann1)()(2)(1,anaaaxxxax kaniaiaxn11)(1xaniaiaaxn1)(1x ka