(完整版),高中数学圆锥曲线试题(含答案),推荐文档

1、1.（2014大纲全国,9,5分）巳知双曲线C的离心率为2,焦点为Fi、F2,点A在C上.苦尸退|=2尸渣|,则第23页/共20页coszAF2Fi=( )i旗建金答案1.A.4v=4.故选庆,2.（2014大纲全国65分）巳知椭圆C： 5 +髭=l（a>b>0）的左、右焦点为Fi、F得离心率为3，过41+1662 x 2a x 4a严 AH 凡 A|=2a,解析1.由题意得幽相:21小"解得尼庆|=2冉正闺=4&又电巳知可得任2,所以c=2a,即丹淘=4a.冉A十阴一一阴A .COSZAF2F1= 2?死 尸尸2及蕾''S R BF2的直线1交C

2、于A、B两点.若CAFiB的周长为443,则C的方程为（A.二+ 匕=1324管案2.AB.I_+y2=lC.± + 2L=1312 8d.L + 匕12 4解析2.由题意及椭圆的定义知4a=4万，则a=也 / v2cc石，又=77 =三""=1,/=2,©的方程为a 7333+2 =1,选 A.3. （2014重庆,8,5分）设Fl、F2分别为双曲线=l（a>0,b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 9P使得|PFi| + |PF2|=3b,|PF#|PF2|= 4 ab,则该双曲线的离心率为（）45A.3B.39C.4D.3答案3.Ba

3、军4.A于是 薇25.94 =1与25k - 9 =i均表示双曲线,9 mn m-n ,mn=43 2二 J- n舍去a=n,b= 3 n=c= 3 n<e= 3，选 B.脸姬嫡/底心股一4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0Vk<9,则曲线25 - 9k =1与曲线254.9 =1的(炯毓52。.m-n = 2a心/wn = ab. 4A.蕉距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答又 25+(9k)=34k=(25-k)+9,它们的焦距相等，故选A.5. （2014福建,9,5分）设P,Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆10 +y2=l上的点，则P,Q两

4、点间的最大距离是（）A.5 V2 B./46 + x/2C.7+ x/2D.6 O答案5.D 解析5,设Q（厢cos 0,sin。）,圆心为M,由巳知得M（0,6）,则IMQkJ（而一$夕-0+ （$诂。-6）29sin;0-12sin + 46答案6.A解析6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为ei和e2,则,因为ere2=百 J4- Gv I OcosG + sin'O-l 2sin+366.（2014山东,10,5分）巳知a>b>0,椭圆Ci的方程为+ 在与C2的离心率之积魔区 A.x± 叵 y=0B. & x±y=0C.x+2y=0D.

5、2x+y=0靠nJ十| 4-50C2的方程为，厂- %2，所以 a=2，即"e e 厂故双曲线的渐近线方程为y=± a x=± 2、即x± J? y=0. /7.（2014天津55分）巳知双曲线持=l（a>0,b>0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线1上，则双曲线的方程为（）X2 /X2 尸3/ 3y23/ 3y2a.T-20=i 函-丁 =i c2?.T00=id6o."2?=i答案7.A且c=5,故由c2=a?+b2,得25=a?+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为尊匕 20ON。电

6、铲-解析7.由题意得"=28.（2014山东青岛高三第一次模拟考试10）如图，从点,"（.%,4）咨出的光线，沿平行于抛物线b=8k的对称轴方 ,向射向在抛物线上的点弓经抛物线反射晟 穿过焦点射向抛物线上的点g再经抛物线反射后射向直线X/：x-y-io=°上的点“，经直线反射后又回到点时，则*等于（）A.念 6 c. 7皿增2'答菊屋BKz解析8 .由题意可得抛物线的釉为揖I,尸（1Q）,所以M尸所在的直线方程为歹=4,在抛物线方程产=8x中，令卜=4可得工=2,即'（2,4）从而可得QQ,-4）, N（6,4）,因为经抛物线反射后射向直线/：*一

7、»一'° = °上的点N,经直线反射后又回到点M, 所以直线的方程为工二6,故选B.9.（2014安徽合肥高三第二次质量检测，4）下列双曲线中，有一个焦点在抛物线尸=2y准线上的 是（）A. 8x2- 8y2 = lB 20x2 -5y2 = 1c 2x2-2y2 = D 5/-20? = I答案9.D产产一二 一10.(2014江西,15,5分)过点M(l,l)作斜率为-5的直线与椭圆C：tr +/=l(a>b>0)相交于A,B两把巳知条件代入上式得,-2=-<J x2,b2 I一 ,一/=2,故椭圆的离心率。=海)(0上仝 y = -

8、解析9.因为抛物线* =27的焦点坐标歹 24准线方程为2,所必双曲线的焦点在22ml) -P触E双曲线»广-20=I的熹点在y轴且为 2满足条件.用逊-D.答案11.1+Q11.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(aVb),原点0为AD的b中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点，则a =.a解析ll.|OD|= 2jDE|=b,|DC|=ajEF|=b,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,b.q=l+及.答案12.x2+2y2=l 心解析12.不妨设点A在第一象限,AF2L<釉,.A(b2)(其中

9、c2=l-b2,0vbVl,c>0). y213.（2014浙江,16,4分）设直线x-3y+m=0（mW0）与双曲线-3=l（a>0,b>0）的两条渐近线分别12.（2014安髭蜉他FlF2分别是椭圆g/jLbVl）的左、右焦彪联渝直线交椭 圆E于A,B两菽若|AFi|=3|FiB|,AF21x轴，则椭圆E的方程为交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA| = |PB|,则该双曲线的离心率是. 叵答案13.2卜一3尸6=0, < b( am bm 'v = x,解附您由得A13b-a 3b-c"am bm /m 3/)2in9b。f-"z.

10、hy =x由1a得B 则线段AB的中点为Ml5 正由题意得 PM±AB,.kpM=3得 a2=4b2=4c?-4a2,故 e2= 4 r-.e= 2 .14.（2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12）抛物线+12y=0的准线方程是.答案14.y=3解析14.抛物线的标准方程为:* 'I铲儿徜尊/p=6,所以其准线方程为y=3.y,由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且15.(2014大纲全国,21q2分)巳知抛物线C：y2=2px(p>0)的,蕉点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与 C的交点为Q,且|QF|=4 |PQ|.A、B两点，若AB的垂直平分线F与

11、C相交于M、N两点，且杉(I)求C的方程；(11)过尸的直线1与C相交于答案15 .查看解析A、M、B、N四点在同一圆上，求1的方程.解析15.( I )设 Q(xo,4),代入 y2=2px 得x0=".,城逡p P牖以|PQ|= P ,|QF|= 2 +x0= 2 + P .£ 1 5- 1由题设得2 + P =Z x P，解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(II)依题意知1与坐标轴不垂直故可设1的方程为x=my+l(mHO).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 A(xi,yi),B(X2,y2),则 yi+y2=4m,yiy2

12、=-4.故 AB 的中点为 D(2m2+l,2m),|AB|=+ 1 |yi-y2|=4(m2+l).J_又F的斜率为-m,所以1'的方程为x= y+2m2+3.4将上式代入y2=4x,并整理得y2+川y-4(2m2+3)=0.设 M(X3,y3),N(x%y4),则 ys+y4=-f,f ,ysy4=-4(2m2+3).2病+3 m故MN的中点为E4(/m2+I)V2/w2+1用于MN垂直平彳AB,故A、 4 |AB|2+|DE|2=4 |MN|2,>JMN|= < I、>昭 |y3-yj= ,tr .(io 分)一静蟀鼾M、B、N四点在同一圆上等价于|AE| =

13、|BE|= 2 |MN|,从而即 4(m2+l)2+in4(川+1)2(2,+ 1) =l(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与良血的一x-(I)求椭圆C的标准方程;(H)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明：OT平分线段PQ(其中0为坐标原点);化简得m2-1=0,解得m=l或m=-l.所求直线1的方程为x-y-l=0或x+y-l=0.(12分)16.(2014四川,20,13分)巳知椭圆CW + 个端点构成正三角形.im(ii)当|尸最小时，求点T的坐标.答案16 .查看解析+82 - 2b,(解析16.(I)由

14、巳知可得2c=2，；/ =4,解得 a2=6,b2=2,所以椭圆c的标准方程是6 + 2 =1.(D)(i)由(I )可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).w-0则直线TF的斜率kTF= -3-(-2)=皿当mHO时，直线PQ的斜率kPQ= "7，直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时，直线PQ的方程是x=-2也符合x=my-2的形式.x =砌2,-26 2mvm所以直线OM的斜率区卜尸-3 ,"T因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得，|TF| 二 J"，+ 1 ,6 2所以 yi+y2= 厂 + 3 ,yiy2=，犷 + 3,-122

15、 xi+x2=m(yi+y2)-4=tn 十九4i)i所以PQ的中点M的坐标为I咐3 m2+3,M+D4，"川+34?岛回加")m2 + 3所以鼠展事>ISx(4 + 4)正 =3设P(xi,yi),Q(X2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得由邻消去先得(n2+3)y24my-2=0, /其判别式=16m2+8(m2+3)>0.又直线0T的斜率koT=-p,所以点M在直线0T上,IPQ 尸辰_&/+1)。1+乃4凹月当且仅当m2+l= W + 1,即m=±l时，等号成立，此时仍口取得最小值. "I所以当I尸QI最小时,T

16、点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17.(2014广东,20,14分)巳知椭圆C： / +后=l(a>b>0)的一个焦点为(6,0),离心率为7.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(xo,yo)为桶圆C外一点，且 P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的机迹方程.答案17.查看解析/潸解析17.(1)由题意知吟力,6=工=F",.-.a=3,b2=a2-c2=4, -故椭圆c的舜准方程为9 + 4 =1.(2)设 两切锹J蟒当1山轴或hllx轴时,12|x轴或121X轴，可知P(±3,±2)；,11的方程为y-当h与x轴理耳Jyo=k(xx0

17、),与豆 + 1衣潸整理得(9k2+4)x2+18(yo-kxo)kx+9(yokxo)2-36=O, 直线 h 与椭圆相切,.= 0,即 9(yo-kxo)2k2-(9k2+4)-(yo-kxo)2-4=O/ (X。-9)k2-2xoyok+ 】b -4=0, .k是方程(4-9)x2-2xoyox+-4=0的一个根,1k，整理得汇+1 =13,其中xoW±3,同理是方程("-9)x2-2xoyox+】'64=O的另一个根, 点P的软迹方程为x2+y2=13(xW±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上，点P的轨迹方程为x2+y2=

18、13.18.(2014江西,20,13分)如图巳知双曲线C： 丁 -yl(a>0)的右焦点为F,点AB分别在C的两条渐近线上AFlx轴,AB1OB,BF|OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；I过C上一点P(xo,yo)(yoHO)的直线1：-yoy=l与直线AF相交于点M,与直线x= 2相交于点N.人嚓(2)由(1)知a=6,则直线1的方程为3 -yoy=l(yoO), /x-3即丫= 3yo.C 32= .又因为AB_LOB,所以。解析18.(1)设F(c,O),因为b=l,所以醺/1心直线0B的方程为y=-。x,直线BF的方程为丫?与9那得B因为直线AF号歹隹第=2,所。哼

19、埠才的交点为M2 2*33j,J直线1与直线IW 1则研=42' 3外(2的3)2)，S为N* 9、4-。为 Y = 4 + J"-2) =3 3后十 3(/ 2产因为P(xo,yo)是C上一点，则3 -岂=1代入上式得 由 4(2%-314(2%-344W = 3.片3+362)2=孑.4片124+9= 3幽2 2百所求定值为WF|=J = -y-.19.(2014陕西,2017,13分)如图，曲线C由上半椭圆Ci： (/+庐=l(a即平yNO)和部分抛物线C2：y=-x2+l(y0)连接而成J与C2的公共点为A,B,其中J的离心率为2 .又直线0A的方程为y= "

20、; x,则A ,y 故双曲线C的方程为3 -y：答案19 .查看解析卷仑!1逊'公解析19.(I )在CbC2的方程中，令尸0,可得b=l,且A(-1,O),B(1,O)是上半椭圆5的左，右顶点.一滑£叵.翳时“黑设Cl的半焦距为C,由色 2及a2-c2=bl得a=2. ,，a=2,b=Ly2(II)解法一:由(I)知，上半椭圆Ci的方程为4 +x2=l(y>0).易知，直翠1与X轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-l)(kHO), 在入C1的方程整理得便+4融2k2x+k24=0.(*)设点P的坐标为(xp,yp).值线1过点B,，x=l是方程(*)的一个根. -

21、4-8k由求根公式，得Xp=4+4,从而yp= K + 4,"4 -8* 七 3f 42 +47?+4)点P的坐标为I)., 二 A(/7)(kH0),同理，由 |j'=7'+l(y"°)得点 Q 的坐标为(-k-l,-k2-2k).2k l it mi .月产=/ +4 (k,-4),"Q=-k(l,k+2).-2k2l il mi imu 0一，一一 VAP1AQ,.-. AP-AQ =0,即 k2+4 k-4(k+2)=o,8kH0,k4(k+2)=0,解得k=- 3 .8经检验,k=.？符合题意，故直线1的方程为,y=-3(x-l

22、).解毓懿固线1的方程为x=整滞：0),比照解法一给分.，嫁戏>密烂"20.(2014江苏,17,14分)如W,在平面直角坐标系xOy中,Fi、F2分别是椭圆f + *' =l(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交惆圆于另一点C,答案20.查看解析解析20.设椭圆的焦距为2G则Fi(-c,0)T2(c,0).K A(1)因为 B(O,b),所以 BF2=" +C =a.16又 bf2=q ,故 a= >/2 >1-9F? 角Z 1=(2)因为 B(0,b),F2(c,0)

23、在直线 AB 上,又AC垂直于x釉，由椭圆的对称性可得点C的坐标为 了元:2a1 C f-1 （ 因为直线FiC的斜率为'也懑©且以C1AB,所以 33C+C21.（2014 辽宁,20,12 分）圆 x2+y2=40心力b_” =31%+彳1,直线八8的斜率为-仁，产艇鼾正注:又b2=a2c2,整理得a2=5c2,琴皤 5 因此e= 5 ./癖/蛾的切挚与X轴正半轴,y釉正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为p（如图）,双曲线JU、-苏=i过点p且离心率为JrkP且与C1有相同的焦点，直线1过C2的右焦点且与<3 C2交于A,B两点，若以线段AB；答案21

24、.查看解%解析21.（ I ）设切点坐标为（xo,y°）（xo>0 xox+y0y=4,此时，两个坐标轴的正半轴与 工：+）'：=4/07。知当且仅当*。=疗 应）.2 2 ,3接，由题意知“户=3。2,解得a2=i,b2= y2故Cl的方程为x2- 2 =1.（II）由（I）知C2的焦点坐标为（-石,0）,（ 22由P（G应）在C2上,得3十午+）=, 解得牙=3,因此C2的方程为6 + 3 =显然,1不是直线y=0.设】的方程为x=m）得（m讨无力牙出拜耳了0,又yi,y2是方火力;1今，因此1厂十2®Kz,yo>o）,则切线斜率为。，切翠方隼为乎-

25、yo=8%（x-xo）,即正 :线围成的三角形面岑为sq .汇居=3。.由/潸 2时x°yo有最大鱼即S有最小值,因此点P的坐标为（、/，2,7 y20,0）,由此设C2的方程为3十斤+6 =1,其中bo.1,L.x = niy+/3,y2 1 同-4 = l5" J ,点 A（xi,yi）,B（X2,y2） 由（），程的根，中磷羹十 /5m(乂+%小w."十2因筋=(a】,凡D那=(a2,凡2).lajui由题意知/户,BP =o,22m2-2m+4 石-11=0,376 R解得m2 -1或m=-2 gL因此直线1的方程为3俘、'3次也=。或x+122.

26、(2012太原高三月考，20,12分)J浮所以 X1X2-J2 (xi+X2)+yiy2-，2 (yi+y2)+4 = 0. ;将，代入式整理得巳知曲线C：x2+窄L(I )由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足冲=3叱求P点的凯迹方程并讨论其轨 迹的类型；9(n)如果直线1的斜率为返且过点M(0,-2),直线1与曲线C交于A、B两点，又C=-?求曲线c的 方程.答案22.( I )设 E(xo,yo),P(x,y),则 F(xo,0)jFP=3 叱(x-xo,y)=3(x-xo,y-yo),_24yz，丫。一3,代入曲线C中得x2+9?，=l为所求的P点的凯迹方程.(2分)4当

27、人=的,P点轨迹表示似(0,0)为圆心，半径r=l的圆;(3分)d=bc-ab二佟飞2任2J_ 庖, Jc,十分2 了二；3c -心'y = kx + m.3整理得(3 4 4-+W-12 = 0,则是关于x的方程(3+4Y)F +8协x + 4”/-】2 =0,的两个不相等的实数根,直线AB的方程与椭圆C的方程联立得丫？ /消去y 得如2 +4(k、2 4 2k2* - 12 = 0,yy2 = k vrx + 公”(芭 +-t2) + /；r ,(n)设/5,源球E%),直线AB的方程嫄*2铲嗓嫡一二则丸+为="宙+x2>+ 2m，淤v2 F2二椭圆c的方程为L +

28、 L=i. 434"，-128A/巧 +<=75>工厂-=3 + 4N -3 + 4A,J OA 1 OB,，x2 + yxVy = 0,工 xx2 + A 1天工 + At(x + x2) + nf = 0, .(A2 + l)xrx2 + km*1 +x2)+/?/2 = 0,2 4/一12 . SAvw 2 n(k +1)；-knixr + m =0>3 +4代3 +叱整理得 7”/ =12(Y+1),第19页/共20页.0到直线AB的距离"二即0到直线AB的距离定值辿L.黎值7< v/癖 */力癖。 。二 AB2 = OA2 + OB2 &g

29、t; 2OA OB ，-8>谱J ，旗当且仅当OA=OB需取心”号.1 D-.OAOBV , 2又d «B=O月-0B, d-AB<, 上科2点，,人晶船 7 9即弦AB的长度的最小值是金包 7 -23 -24 .（笋12炉东省“六校教研协作体”高三 延=4-=lia>b >0）C-我*的离心率为3为亏.（1）求椭圆C的方程；X1母:月联考,20, 14分）巳知椭圆/.，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积G、,（2）巳知动直线产="工+D与椭圆。相交于4费点,1若线段加中点的横坐标为5,求斜技的值；巳知点 3,求遗）旗-通为定值.答案24

30、.由题意得.o2=5,&2=-解得3.工x-xx2c = ,2 分 23所以椭圆c的方程为ay2-3=1.4分（2）设/（石,*）*（巧,乃）,直线方程与椭圆C的方程联立得J乎二%（工十1）,一炉1"T十号='519页/共20页第20页/共20页消去沙整理得。£实A2 +史工-t3 -5=。八.A%分修静“,怯"K=,则X",是关于秘方程0+3) +记必*2 -5=0两个不相等的实数根， 八二多版一股丫)项址25):4歌+如,。恒成立玉+ f二一正石 7分又“中点的横坐标为2,所以*=±苴解得帮后亶.9分拓i二(为十g,弘),MB = (x27 、 嘴,则凹 =A（M +l）k（4 +l） = A二 a + l）（.r2 +1），U25由知巧:巧= 址F，1巧=3i2+i- -小铲7'MA MB会带彳M ,（4+小外）所以如伊3