方法专题-平面向量-向量的数量积范围

1、专题 平面向量-向量的数量积范围专题平面向量-向量的数量积范围例题分析如图，已知矩形 ABCD的边长 AB = 2, AD=1.点P, Q分别在边BC, CD上，且/ PAQ = 45°,则AP aQ的最小值为 .参考答案：42 4.解析： 解法一：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设 P(2, m),其中 0w mwi,又设 Q(n, 1),m+1_因为 tan/BAQ = tan(/BAP + A,即 1=2，所以 n=2zim,4 n 1_ mx 12+ m2所以AP AQ = 2n+ m= 2X2-m + 2= m+ 2H84> 42-4,(

2、坐标法分析向量数量积)2+m2 + m当且仅当m+2 = 2/2,即m=2U22时等号成立.解法二：设 tan Z BAP = 0, tanZDAQ =4-a 则 AP=ch所以AP aQ =21兀XX cos-cos9 cosj)44(定义法分析向量数量积)=-2cos、cos2 0+ cos 0sin 0 1 cos2 0. 1 . . A J2 .小 国 1 升 sin )2+ 2$旧2 0 拳sin(2。+/ + 万当且仅当2 9+33,即9=加等号成立. 4 28解题强化如图， ABC为等腰三角形，/ BAC=120°, AB = AC=4,以A为圆心，1为半径的圆 分别交

3、AB, AC与点E, F, P是劣弧 或上的一点，则PB PC的取值范围是 .参考答案：11, 9坐标法分析一一坐标系的建立(2018届苏州一模)ABC是边长为 H3的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则 AP BP的取值范围是.参考答案：1, 13已知半径为1,圆心角为AB上有一点c.当c在AB上运动时，d, e分别为线段OA, OB的中点，求 CE DE 的取值范围.解析：以。为原点，以OA为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.设OC = (cos a, sin 力，0w m, E(0, 一),则CE = OE OC= (0, - 2) - (cos a, sin

4、 a)=(cos a, 3一 sin a).因为d(i 0),所以戊=(;,2),所以 CEDE = 1(COs a+ sin a) = 22sin( a+,4) + 参考答案：6（2017北京卷）解析：设 P（x1，y1）,因为 AO=（2, 0）, AP=（x + 2, y1）,所以 AO AP=2（x+2）=2x1 + 4.由题意可知一1Wxw1,所以2W2x1 + 4W6,故AOAP的最大值为6.（坐标法分析向量数量积）在那BC中，BC = 2, A=§,则AB AC的最小值为 3，-2参考答案：23.(坐标法分析向量数量积)因为 0W a<所以 4W 什4&

5、y,所以 sin( a+ 4) 1 , 1,m灌兀1二11 迎 1趣一一二11 疵 11Ml则/sin(a+ 4)+76 4一苛，4+ 2 所以 CEDE eq-+ /.已知半径为1,圆心角为31%AB上有一点C.(1)当c为AB的中点时，d为线段oa上任一点，求 OC+oD|的最小值；(2)当C在AB上运动时，D, E分别为线段 OA, OB的中点，求CEDE的取值范围.解：以。为原点，以OA为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.(1)设 D(t, 0)(0<t<1), C(一宗 力，所以OC+OD =( ¥+1,黄，所以 |(oc+ Obi2：%1t+t2+1=

6、t2 、1t+ 1 = (t¥)2+2(owtw 1), 当t著时,|OC + Ob|的最小值为乎.(2)设OC=(cos ' sin 0), 0< 后 37，E(0,一；),则CE = OE OC= (0, J (cos a, sin a)= ( cos a, ，一 sin a).1 一 一 11因为Dq, 0),所以DE =(2,引，所以 CE DE = 2(cos a+ J+ sin a)= -sin( a+力+4.(坐标法分析向量数量积)因为 0W22,所以 4W 什4&所以 sin( a+ 4) - 1, 1,则,siMa+S+e 4亨，4+暮所以 C

7、EDEeg4+ 昌.在那BC中，AB=5, AC=7, BC=3, P为"BC内一点（含边界），若满足Bp =1BA + 4Be正R）,则Ba Bp的取值范围是 .参考答案：I，争解析：BA -Bp = BA -1BA+ rBG）=1BA* 解析：设 AB = x, AC = y,由余弦te理得 22=x2+y22xyco% it, IP 4=x2+y2+xy>2xy+xy,故 xy<4,当且仅当 x= y 时取 工”，3+ xBA BC2525=+芯5X 3X cosB = + 15 ；cosB, （te义法分析向重数重积）25+9491mu. 合八一 2515cosB

8、= 因止匕"BA BP = 2X5X3242,而p为那bc内一点（含边界），Bp=4Ba+Bq« R）,所以入e 0, 4,因此Ba Bp的取值范围是 g, 25.84巩固练习已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（一2, 0）,。为原点，则AO AP的最大值为ABAC = ABAC c(A= xy J > 2 = (定义法分析向量数量积)N 3 N 3即ABAC的最小值为一23已知 ABC的周长为6, | BC| , | CA| , |AB|成等比数列，求:(1) ABC面积S的最大值；(2)BABC的取值范围.解：设|BC|, |CA|, |AB|依次为 a,

9、 b, c,贝U a + b+c=6, b2 = ac.在ABC中,a2+c2-b2cos B=2aca2+ c2- ac 2ac ac z 2ac 2ac1兀万，故有0VB专.p Ia a+c 6 b 111K 八，、又 b=qOcw- = -2，从而 0bW211-1- TT 一 TT . .(1) S= 2acsin B=/b2sin B<g x f - s3R 43,当且仅当 a=c,且 B = 3,即 4ABC 为等边二角形时面积最大，即 Smax=，3.(2) BA BC= accos B=#十"(a+c)2 2acb22(6b)2 3b22(b+3)2 + 27.

10、因为a, b, c为9BC的边，所以 a c<b,即(ac)2vb2.因为 a+b+ c=6, b2=ac,所以 b2>(a + c)2- 4ac, 因此 b2>(6-b)2-4b2, b2+3b9>0,所以b.因为 0vbwz2<BA bc<27 9V5,即BA BC的取值范围是2, 18).已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA 疝+ PC)的最小值 是.3参考答案：一Q (2017全国卷n)解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0, 0), B(2, 0), C(1, V3)-设P(x，v),则 PA PB + PC)=

11、(x, -y) (2x, -y)+(1-x, <3-y) = (x, y) - X2-3, 2y#)= x(2x3) + y(2y5)=2x2 3x+2y2 *73y=2(x $2+2(y 乎)2"3a|,当且仅当 x=* y=3时 等号成立，点 康 乎)在AABC内部，此时PA .IPB+PC)取得最小值，最小值为- 3.如图，线段AB的长度为2,点A, B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动， 以线 段AB为一边，在第一象限内作等边三角形ABC, O为坐标原点，求 OCOB的取值范围.解析：设/ BAO=仇 (0 °, 90° )则 B(0, 2sin % C(2cos。+ 2cos(120 °% 2sin(12