D13函数的极限02749学习教案

1、会计学1D13函数的极限函数的极限02749 第一章 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 第1页/共40页第2页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第3页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第4页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第5页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第6页/共40页.sin时的变化趋势时的

2、变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第7页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第8页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第9页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第10页/共40页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第11页/共40页通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :问题问题: :如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. .第12页/共40页XXAAOxyA定义定义1 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,2、几何

3、解释、几何解释:记作A 为函数1 1、定义、定义第13页/共40页证证:取因此就有故,0欲使只要Oxy第14页/共40页直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线,0,0X当时, 有,0,0X当时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :第15页/共40页第16页/共40页第17页/共40页第18页/共40页请请记记住住这这些些结结论论! !第19页/共40页 先观察一个简单的例子。考察函数：先观察一个简单的例子。考察函数：y = x2 当当x无限接近于无限接近于1 1时的变化趋势。从图形中时的变化趋势。从图形中，我们看到当，我们看到当x趋向于趋向于1 1时，时，y就趋向于就趋向于1

4、 1，且，且x越接近越接近1 1，y就越接近就越接近1 1，记作，记作x 1 1时，时，y = x2 1。 1第20页/共40页xyO1 再考察函数再考察函数 当当x无限趋近于无限趋近于1 1时（不等于时（不等于1 1）的变化趋势。）的变化趋势。112xxy从函数图形中看出，当从函数图形中看出，当x趋向于趋向于1 1时，时，y就趋向于就趋向于2 2。虽然函数在点虽然函数在点x = 1处没有定义，处没有定义， 但只要但只要x 1时，时，y 2。 第21页/共40页柯西 最早由柯西给出最早由柯西给出1 1、精确定义、精确定义( (“语言语言”) ) 在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义

5、 ,当当时时, 有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的极限时的极限,或或即即,0,0当当时时, 有有若若记作记作Axfxx)(lim0第22页/共40页2.2.几何解释几何解释: :)(xfy xyo注意：注意：第23页/共40页证证:故故,0对任意的对任意的当当时时 , 因此因此总有总有第24页/共40页证证:Axf)(欲使,0取则当时, 必有因此只要1)12(lim1xx第25页/共40页证证:Axf)(故,0取当10 x时, 必有因此211lim21xxx第26页/共40页左极限 :当时, 有右极限 :,0,0当时, 有.)( Axf定理定理2 .第27页/共40页讨论 时)(x

6、f的极限是否存在 . 解解: 因为显然所以不存在 .xyO第28页/共40页定理定理3 3.(.(唯一性唯一性) ) 若若 存在存在, , 则极限值则极限值 A 唯一唯一.(.(自己思考自己思考) )定理定理4 4. .( (局部有界性局部有界性)()(自己思考）自己思考） 若若 存在存在, , 则一定存在常数则一定存在常数 , , 第29页/共40页定理定理5 . 若且 A 0 ,),(0时使当xUx证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上则存在AA0 x0 xAx0 xy)(xfy 第30页/共40页0 x的某去心邻域内, 且 则证证:

7、用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 ,使在该邻域内与已知所以假设不真, 存在假设 A 0 , 条件矛盾,故第31页/共40页子列收敛性子列收敛性( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )定义定义3 3定理定理7. Axfxx)(lim0有定义有定义,有有第32页/共40页Axfxx)(lim0有定义,且设即,0,0当有)(,0nnxfxx 有定义 , 且, )(0nxxn对上述 ,时, 有于是当Nn 时故可用反证法证明. (略)有证证：当 xyA“ ”“ ”0 xO第33页/共40页说明说明: 1、它常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列不存在 .法法2 找两

8、个趋于0 x的不同数列及使第34页/共40页不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列及有由定理6 知不存在 .xy1sin 第35页/共40页例如例如, ,xxysin 2、此定理也可用于求数列极限.第36页/共40页1 1、函数极限的、函数极限的或或定义及应用定义及应用2 2、函数极限的性质、函数极限的性质: :3 3、极限的重要性、极限的重要性（1 1） 极限是一种思想方法，揭示了极限是一种思想方法，揭示了常量与变量，常量与变量，有限与无限有限与无限的对立统一关系的对立统一关系 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 从认识静态从认识静态( (不变的常量）来把握动态（变量）不变的常量）来把握动态（变量）第37页/共40页（2 2）极限是一种概念）极限是一种概念（3 3） 极限是一种计算方法极限是一种计算方法 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量、经济问题需要用极限来求物理、几何量、经济问题需要用极限来求第38页/共40页法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为