D多元函数的微积分学习教案

1、会计学1D多元函数的微积分多元函数的微积分第1页/共62页定义定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。第2页/共62页例例第3页/共62页例例2 一个有火炉的房间内一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布在同一时刻的温度分布唯一的温度类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。第4页/共62页 一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。第5页/共62页（2） 二元函数二元函数 z=f (x,y) 的图形的图形通常是一张曲面（通常是一张曲面（函数曲面函数曲面）.第6页/共62页第7页/共62页小结小结：（）（） （）（）第8页/共

2、62页例例 求证求证证明证明第9页/共62页0),(lim00yxfyx由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数第10页/共62页性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）第11页/共62页性质性质（零点定理）（零点定理）性质性质（有界性定理）（有界性定理）性质性质（介值定理）（介值定理）第12页/共62页例例设设解解因此第13页/共62页小结：小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果要求它在点第14页/共62页第15页/共62页第16页/共62页同理,如果极限导数,记作第17页/共62页偏导函数

3、,简称偏导数,记作记作第18页/共62页解解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.例例1第19页/共62页例例2解解所以第20页/共62页例例3解解第21页/共62页意义.第22页/共62页如下图所示如下图所示第23页/共62页例如例如第24页/共62页第25页/共62页高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设一般来说,这两个偏导数还是可定义二元函数的二阶偏导数如下第26页/共62页第27页/共62页例例 4 4解解第28页/共62页二阶

4、以上的偏导数称为高阶偏导数第29页/共62页例例5解解第30页/共62页上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理定理6.1相等.例例6第31页/共62页解解 因为因为所以所以 第32页/共62页 第33页/共62页定理定理6.5第34页/共62页证明证明第35页/共62页第36页/共62页所以有xvvzxuuzxz完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。第37页/共62页另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似则则第38页/共62页 （1） 搞清函数的复合关系；（2）对

5、某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例例1解解注意：注意：第39页/共62页例例2解解第40页/共62页第41页/共62页同理可证定理定理6.6（隐函数存在定理）（隐函数存在定理）第42页/共62页并有zxFFxzzyFFyz注意注意例例3解解第43页/共62页例例4解解第44页/共62页应用上面公式，得第45页/共62页第46页/共62页 1.空间曲线的切线与法平面ozyxMM 第47页/共62页即即第48页/共62页例例1解解第49页/共62页于是，切线方程为法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为第50页/共62页第51页/共62页例例2解解或法线方程

6、为第52页/共62页1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理定理6.7(极值存在必要条件极值存在必要条件)使第53页/共62页定理定理6.8（极值存在充分条件）（极值存在充分条件）在点设函数),(yxfz 令第54页/共62页的极值的求法总结如下第一步第二步CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000第三步第55页/共62页 例例3解解（1）求驻点解方程组（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于第56页/共62页2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法方法1例例4解解第57页/共62页由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法方法2 （拉格朗日数乘法）（拉格朗日数乘法）第58页/共62页这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点