2018年高考数学二轮复习考前专题五立体几何与空间向量第1讲空间几何体讲学案理

1、第 1 讲空间几何体 L 考情考向分析 - 1. 以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算 2. 考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题 n热点分类突破 热点一三视图与直观图 1. 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）视图 的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、 宽相等”. 2. 由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正 （主）视图与侧（左）视图确定几何体. A . 例 1 （1）（2017 届南昌模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xy

2、z中的坐标分别是 （0, 0, 0）, （1,0,1） ,（0, 1, 1）, 2，1, 0，绘制该四面体三视图时，按照如下图所示 答案 B 解析 将四面体放在正方体中，得到如图四面体，得到如图的侧 （左）视图，故选 B. 的方向画正 2 且 A D / B，CC , A B，丄 B，CC , 1 这块菜地的面积为 S= 2(A D + B C ) A B 1 =X 2 （2）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形（如图所示），/ ABC= 45, AB= AB 1, DCL BC,则这块菜地 的面积为 _ . 答案 2+ # EC= AD= BC BE+ E+

3、1. 解析 如图，在直观图中，过点 A作AH BC垂足为点E, 2=2 3 思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到 的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底 面，然后根据正（主）视图或侧（左）视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所4 对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状， 即可得到结果.在还原空间几何体实际形状时, 一般是以正（主）视图和俯视图为主，结合侧 （左）视图进行综合考虑. 答案 D 解析 A 项，该锥体是底面边长为 2,高为 3 的正四棱锥. B 项，该锥体为底面半径为 1 ,高为，3 的圆

4、锥. C 项，该锥体是底面为等腰直角三角形，高为 ,3 的三棱锥. D 项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等” ，所以不可能是该锥体的俯视图，故 D 项不 符合题意. 故选 D. （2017 衡阳联考）如图所示，三棱锥V ABC的底面是以B为直角 顶点的等腰直角三角形，侧面 VAC与底面ABC垂直，若以垂直于平面 VAC的方向作为正（主）视图的方向，垂直于平面 ABC的方向为俯视图 的方向，已知其正（主）视图的面积为 2 3，则其侧（左）视图的面积是 （ ） C. 2 3 D. 3 答案 B 设三棱锥的高为 h, AB= BO 2a,则AO2a, S 正（主）视图= 1 x 2ax h= 2

5、 3? h=3, 1 a 侧（左）视图=2ah= x 故选 B.跟踪演练 1 （1）（2017 河北省武邑中学模拟 （ ） ）已知某锥体解析 正住觑图 C 5 热点二几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点, 各类空间几何体的表面积和体积计算公式， 其次要掌握一定的技巧， 如把不规则几何体分割 解析方法一（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个 圆柱截去上面虚线部分所得如图所示，将圆柱补全，并将圆柱从 点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部 1 分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 2,所以该几何体的体积 1 2 2 X 3 X 4 +nX

6、 3 X 6X 2= 63 n .故选 B.解决这类问题，首先要熟练掌握 C. 24 D . 30 答案 解析 还原几何体，该几何体是由三棱柱 ABC- A B C截去一个三棱锥 D- A B C所得，如图所示.AC= 3, AB= 4, AA = 5,/ CAB= 90, 1 1 1 所以几何体的体积是 V= X 3 X 4 X 5- 3X 2 X 3 X 4X 3 = 24,故选 C. （2）（2017 全国H ）如图，纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几 则该几何体的体积为（ 成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 1,粗线画出的 A. 12

7、B . 18 止（主）视 6 方法二 （估值法）由题意知，2J圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱=n X 3 X 10= 90 n , 45 n V几何 体90 n .观察选项可知只有 63 n符合.故选 B. 思维升华 （1）求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和. （2）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解； 求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体， 不能直接利用公式求解，则常用转换法、分 割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体 的直观图，然后根据条件求解. 跟踪演练 2 （1） 一个几何体的

8、三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A. 3 B . 4 C. 5 D . 6 答案 C 解析 从题目所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知， 该几何体是底面分别是矩形与 1 + 2 梯形且等高的两个棱柱的组合体， V= 1X 1+厂X 1 X 2= 5,故选 C. （2）（2017 届河南省豫北重点中学联考 ）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 C. 10 n + 4 2 D. 45 n + 27 2+ 9 答案 B7 3 i 解析 还原几何体如图所示，几何体的体积是 V=n a2x 2ax 4 +空x 2ax a 2 3 x a= 12 n + 8,解得a=2,而几何体

9、的表面积是 S= 2 n a + 2 n ax ax空+ 2 ax ax 2,将a= 2 代入，所以 S= 20n+ 8 2，故选 B. 热点三多面体与球 与球有关的组合体问题， 一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系， 并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球 I 面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题, 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 （或“切点” “接点”）作出截面图. 例 3 （1）（2017 湛江

10、模拟）底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接 球的体积为（ ） 8 答案 B 解析 设球的半径为 R,过P作PO丄底面ABCD垂足O为正方形 ABCD勺对角线 AC BD的交点，设 匕 R, AO= PO=，OO= R,在 Rt AOO中, 球心为O,连接AQ由于AO 弊=氏，解得R= V 2 （2017 届咸阳二模）已知一个三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的内切球的体积为 倉=害，故选 B. 答案 51 54 解析 由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示. AE= AB- sin60 =于, 心3A冷, DO= , AD AO= 11 1 1 二棱锥的体积 VD- A

11、BC= 3& ABC DO= 3 , 3 3 设内切球的半径为r，则 思维升华三棱锥P- ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点 A, B, C可作为下底面的三个顶点. P- ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线. 跟踪演练 3 (1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、 秦、汉时期的数学成就. 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳 =PD,若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 ( ) 9 9 A. 6 B . 5 2。4 答案 D 解析

12、 由题意知，四棱锥 P- ABCD是正四棱锥，球的球心 的高VD-ABC= ABC+ SABD+ SBCD+ 内切球=3 3 .3 n r = 54 n 马”,若某“阳马”的三视图如图所示 (单位：cm)，则该“阳马”的外接球的体积为 ( 3 500 n 3 A. 100 n cm B. 3 cm C. 400 n cnl 答案 B 解析 由三视图可知，在长、宽、高分别为 6,27, 6 的长方体中，该 几何体为如图所示的 P- ABCD设该几何体外接球的半径为 R由题意 可知， (2R)2 = (2 7)2 + 62+ 62,解得 R= 5， , 4 3 500 n 3 V= n 故选 B.

13、 (2017 届石家庄质检)四棱锥P- ABC啲底面ABCD是边长为 6的正方形，且 PA= PB= PC 俯视图 O在四棱锥 PE PF是 10 PH上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中11 PHh h,易知 Rt PGa Rt PHF 所以需 PO 1 h 1 9 即 3=2 2，解得h= 4，故选 D. 3 h + 3 4 真题押题精练 真题体验 1. （2017 北京改编）某四棱锥的三视图如图所示， 则该四棱锥的最长棱的长度为 _ 斜高，G为球面与侧面的切点设 答案 解析 2 3 在正方体中还原该四棱锥，如图所示, 正已观图 12 可知 A A弋 IYi SD为该四棱锥的最长棱

14、. 由三视图可知，正方体的棱长为 2, 故 SD= 22 + 22+ 22= 2 3. 2. （2017 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18, 则这个球的体积为 _ 答案 2 n 解析 设正方体棱长为a,则 6a2 = 18,. a=3. 设球的半径为 R,则由题意知 2R= + a + a = 3, 3 R= 2 13 4 故球的体积V= 3 n 3R3 = 4n 14 3. （2017 全国I ）已知三棱锥S- ABC的所有顶点都在球 Q的球面上，SC是球Q的直径.若 由平面SCA_平面SCB平面SCAC平面SCB= SC QAL SC知, QAL平面

15、 C. 解析如图，连接QA QB 由 SA= AC SB= BC SC为球 Q 的直径知，QAL SC QBL SC 答案 36 n 3 答案2 平面SCL平面SCBSA= ACSB= BC三棱锥S-ABC勺体积为 9,则球Q的表面积为 15 点此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积. 答案 D 解析 由三视图知，该几何体是底面边长为 .22+ 22= 2 2的正方形， 高PD= 2 的四棱锥P- ABCD因为PD丄平面ABCD且四边形 ABC是正 方形， 易得BCL PC BA丄PA 又 PC= PD+ CD= 22+ 2 一 2 2 = 2 3, 1 所以 S P

16、Ck SPAD= 2 X 2 X 2 2 = 2 2, 1 &PAB= &PBC= qX 22 X 2J3 = 2 6. 所以几何体的表面积为 4,6+ 4 .2+ 8. 2 在正三棱锥 S- ABC中，点M是SC的中点，且 AML SB底面边长 AB= 2 2，则正三棱锥 S- ABC的外接球的表面积为( ) C. 32 n D. 36 n 押题依据灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题， 是高考的 执占 八、八、 答案 B 解析 因为三棱锥 S- ABC为正三棱锥，所以 SBL AC又AML SB A6 AM= A 所以 SBL平面 SAC 所以 SB

17、! SA SB SC 同理 SAL SC即SA SB SC三线两两垂直，且 AB= 2 2 ,所以SA= SB= SC =2,所以(2 R) = 3 X 2 = 12 ,所以球的表面积 S= 4 n R = 12 n ,故 选 B. 3.已知半径为 1 的球0中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积 的比值为 _ . 押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一， 也是高考的热点问题之一， 主 要是求柱体、锥体、 球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的 体积计算，设问角度新颖，值得关注. A. 6 n B. 12n X 2 1 r2= 4 n

18、r 解析如图所示, 16 答案 B 所以当 A 组专题通关 i 如图所示，将图 侧(左)视图为( (1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图 ) (2)中的几何体，则该几何体的 r = 2 3 n r E (1) 17 解析 由所截几何体可知，FG被平面ADE遮挡，可得 B 选项图. 2.某三棱锥的三视图如图所示，正 (主)视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中 A. 2 5 B. 2 3 C. 2 ,2 D. 5 答案 B 解析 由三视图，将几何体还原在边长为 2 的正方体内，如图所示. 据图可知，三棱锥中最长的棱长是正方体的体对角线对应的棱，棱长18 为 22+ 22+ 22= 12 =

19、 2 3.故选 B. 3. （2017 全国I ）某多面体的三视图如图所示，其中正 （主）视图和侧（左）视图都由正方形 和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面 A. 10 B . 12 C. 14 D . 16 答案 B 解析 观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三 棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直 角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2,如图所示因此该多面体各个面中有 两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这 兄 N 1 正【主谧方 两个梯形的

20、面积之和为 2X（2 + 4） X 2= 12.故选 B. 4. （2017 届四川省泸州市四诊）某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1）所示，它的俯 视图的直观图是 A B C,如图所示，其中O A= O B= 2, O C = 3,则该 几何体的表面积为（ ） A. 36 + 12 3 B. 24+ 8 3 中有若干个是梯) 愉后视图 19 C. 24 + 12 3 D. 36+ 8 3 答案 C20 解析 由图（2）可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为 2 ,3 的 等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、 宽、高分别为 4,2 . 3，6,三视图

21、还原为几何体是图中的三棱锥 P ABC 1 1 且 & PAR SPBC= 2 X 4 X 6= 12, ABC= 4 X 2，j3= 4 3,A PAC是腰长为 52,底面边长为 4 的等腰三角形，SAPAC= 8 3.综上可知，该几何体的表面积为 2X 12+ 4 3 + 8 3 = 24 + 12 3.故选 C. 21 5. （2017 深圳调研）已知棱长为 2 的正方体 ABC ABCD,球O与该正方体的各个面相切，则平面 ACB截此球所得的截面的面积为 （ 4 n 5 2 n DP 答案 解析 因为球与各面相切，所以直径为 2，且AC AB, CB的中点在所 2的正三角形的

22、求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为 外接圆，由正弦定理知, R= _36，所以截面的面积 S= 23-，故选 D. 6. （2017 江西省赣中南五校联考）已知三棱柱ABC- A B C的侧棱垂直于底面，各顶点 都在同一球面上，若该棱柱的体积为 *3, AB= 2, AC= 1，/ BAC= 60,则此球的表面积是 A. C. B. 4 n -JIA, D. 10 n 答案 C 解析 根据余弦定理可知，BC= 3，则/ ACB= 90,点E, F分别是斜边 AB A B的中点，点 0为EF的中点，点 0为三棱柱外接球的球心，设 三棱柱的高为 h, V= X 1 X .3X h= 3

23、,解得 h= 2, R= OA= 12AB + 1h j代入可得 R = 1 + 1 = 2,所以此球的表面积为 S= 4 n R = 8 n，故选 C. 7. （2017 届石家庄模拟）三棱锥S ABC中，侧棱SA!底面ABC,AB= 5, BC= 8, / B= 60, SA= 2 5，则该三棱锥的外接球的表面积为 （ ） A.64 256 B亍n 22 答案 B 解析 由题意知，侧棱 S从底面ABC, AB= 5, BO 8，/ B= 6Q,则根据余弦定理可得 16 42 9体积为y的正四棱锥S-ABCD勺底面中心为 0, SC与侧面所成角的正切值为 石，那么过 S- ABCD勺各顶点的

24、球的表面积为 _ . 答案 16 n 解析 如图，取AB的中点为F,连接SF,过点0作0QSF,则/ OSG 为SO与侧面所成的角，且 tan /OS= 齐# 设AB= 2a,则SO= 2a, 1 2 16 所以X 4a2X 2a= 3，得a= 2.延长SO交外接球于E,贝U EB丄SB 2 2 2 2 156 n 52 + 82-2X 5X 8X-= 7 2 ABC的外接圆圆心 AC _ 7 . _ 7 矿萨23，.r=飞， 2- 三棱锥的外接球的球心到平面 ABC的距离 1 d= 2SA= 5,则外接球的半径 R= 则该三棱锥的外接球的表面 积为S= 4 n o 256 R2= 丁 &am

25、p;如图所示，图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体的体积为 答案 14Qn 3 1 其中圆台的体积为 V= - X 3 V=1X 4 X n X 23=丄牛，则 所求体积为 156 n 3 16 n 14Q n 3 = 3 436 C3n D 2Q4M3 D. 27 7t 23 由 OB= SO OE 得 4 = 2 (2 R 2)，所以 R= 2, S= 4 n X 2 = 16 n . (n X 2 + n X 2 X n X 5 + nX 5) X 4=，半球的体积 24 10. （2017 届马鞍山模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 解析 如图所示，三视图还原为

26、几何体是棱长为 为四棱锥 B CDEF和三棱锥E ABD其中, 1 VE ABD= 3X X 2X 2 的正方体中的组合体 点，点F, G分别是线段 AD与BC上的动点，当三棱锥 E FGC勺俯视 图的面积最大时，该三棱锥的正 （主）视图的面积是 _ . 答案 2 解析 由题意知，E点在底面的射影 E为AB的中点，F点在底面的射影 ABCDEF将其分割 再7拄 在底面的射影 G在BC上,三棱锥E FGC勺俯视图的面积是以 E C为底边，F, G到E C的距离和为高的三角形的面积， 又E C为定值，所以当F点与D点重合，G点与B点重合 时面积最大，此时正（主）视图的面积为|X 2X 2 = 2.

27、 12.已知三棱锥 P ABC的三条侧棱两两垂直，且 AB= .5, BC= . 7, AC= 2,则此三棱锥外 接球的表面积是 _ . 答案 8n 9 25 解析 如图PA, PB, PC两两垂直，设 PC= h, 则 PB= pBC- PC =/， PA= AC- PC= 4- h2, / PA2+ PB= AB, -4 - h2+ 7 - h2= 5, 解得 h= 3，在三棱锥 P- ABC中, PA, PB, PC 两两垂直，且 PA= 1, PB= 2, PC= 3, 以PA, PB, PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC的外接球， 由题意可知，这个长方

28、体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为 R= 外接球的表面积为 S= 4n氏=4 n X （ 2）2= 8n . B 组能力提高 13四棱锥P- ABC啲三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为 （ ） 9，贝 U sin / APD= A.81n B.81n 5 20 严D- 5 20 答案 C 解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥 P- ABCD平面PAD 丄平面ABCD由于 PAD为等腰三角形，PA= PD= 3, AD= 4,四 边形ABCD矩形，CD= 2,过厶PAD勺外心F作平面PAD勺垂线， 过矩形0为四棱锥外接球的球心, 在三角形 PAD中 cos / 2

29、X 3X 3 测（左视图 B 26 4 9苗 9心 2PF= - = - PF= sin / APD .5 5 10AD 9 27 PB 9-4 = 5, OHU EF= 5-零=转， 100 5 14如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为5 A.2（詳-1） n C. 25（ 3-2也）n D.（57） 答案 D 解析 内部几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球, 内切球的半径即为底面直角三 角形内切圆的半径，由等面积法易得 ab r = a+ b+ 5,且 b = 25.由基本ab ab - w -a+ b+ 5 2 25即 0 屁 522,当且仅当a= b=弩时, 纶口 t2 t2 成立.令 t = ab,贝r w 2t + 5，f （t） = 2t + 5 = 5 2 、 尸F 0