2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修2-1

1、 242 抛物线的几何性质 学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质 .2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线 有关的问题. 戸知识梳理 自主学习 知识点一 抛物线的几何性质 标准方程 y2 = 2px (p0) y2=- 2px (p0) x2 = 2py (p0) x2=- 2py (p0) 图形 J V XI rl/ 丧 性 质 范围 x 0，y R xw0，y R x R, y0 I x R, yW0 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e= 1 知识点二 焦点弦 直线过抛物线 y2= 2px ( p0)的焦点F,与抛物线交于 A(xi, yi)、B(X2, 两点

2、，由抛物线 的定义知，AF= xi+ 2, BF= X2+ 故 A* xi+ X2+ p. 知识点三直线与抛物线的位置关系 直线y= kx + b与抛物线y2 = 2px( p0)的交点个数决定于关于 x的方程k2x2 + 2( kb- p)x + b2 =0 的解的个数.当k工0时，若 0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；当 = 0 时， 直线与抛物线有一个公共点；当 0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？ (2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？ 答案(1)有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形. (2)影响抛物线开口大小的量是参数 p. p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越

3、小. 题型探究 _ 重点突破 题型一 抛物线的几何性质 2 2 例 1 已知双曲线方程是 x -y = 1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物 8 9 线的准线方程. 2 2 2 解 因为双曲线x 9 = 1 的右顶点坐标为(2 寸 2, 0)，所以 2= 2 护，且抛物线的焦点在 x轴 正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为 y1 2 3 4 5= 8 2x，其准线方程为x = 2 2. 反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系： 抛物线的焦点始终在对称轴上， 抛物线的顶点 就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交 点和焦点关于抛物线的

4、顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中， 通过定义的运用，实现两个距离之间的转 化，简化解题过程. 跟踪训练 1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上， 以原点为顶点，且经过点M1 , 2).求抛物 线的标准方程和准线方程. 解(1)当抛物线的焦点在x轴上时， 设其标准方程为 y2= mX m 0). 将点M1 , 2)代入，得 m= 4. 抛物线的标准方程为 y2= 4x; 当抛物线的焦点在 y轴上时，设其标准方程为 x2= ny( n 0). 1 将点M1 , 2)代入，得n=- 2 1 抛物线的标准方程为 x2= y. 1 故所求的抛物线的标准方程为 y2= 4x或x2= y

5、. 1 准线方程为x = 1 或y=7. 8 题型二抛物线的焦点弦问题 例 2 已知抛物线方程为 y2 = 2px( p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A, B两点, 5 且AB=尹，求AB所在的直线方程. 解由题意知焦点 F$, 0 j,设A(X1, y , 0 x2, y2), 5 若AB丄x轴，则AB= 2p1, y1), B(X2, y2).贝U X1 + X2= 5,由根与系数的关系得 yi + y2 = 22, 2 yy= p . - 2 yi y2 4yiy2= 2p 1 5 k2 = 2p， 解得k= 2. 所以AB所在的直线方程为 或 y= 2 卜一 2 j 反思与

6、感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用, 焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论. 跟踪训练 2 已知直线I经过抛物线y2= 6x的焦点F,且与抛物线相交于 A (1)若直线I的倾斜角为 60,求AB的值； 若AB= 9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解(1)因为直线I的倾斜角为 60, 所以其斜率k = tan 60 = 3, 又 F2, 0 . 所以直线l的方程为 y = 3x3. 通过定义将 B两点. 所以 AB= xi X2 + 2 yi+y2 y= 2 2 而 AB=

7、AF+ BF= xi+ p+ X2+ 2 =Xi + X2 + p. AB= 5 + 3 = 8. (2)设A(xi, yi) , B(X2, y2)，由抛物线定义知 AB= AF+ BF= xi+ 2+ X2 + p =xi + X2 + p= xi+ X2+ 3, 所以xi+ X2= 6,于是线段AB的中点M的横坐标是 3, 又准线方程是x= 3, 3 9 所以M到准线的距离等于 3 + 2 = $ 题型三直线与抛物线的位置关系 例 3 已知直线l : y= kx+ 1,抛物线C： y2= 4x,当k为何值时，直线l与抛物线C有: (1) 一个公共点？ (2) 两个公共点？ (3) 没有公

8、共点？ y = kx + 1, 解将直线I和抛物线C的方程联立得0,即k1 且k工0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线 I与抛物线C相 交； 当= 0,即k = 1 时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线 l与抛物线C相切； 当 1 时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线 l与抛物线C相离. 综上所述，(1)当k = 1 或k = 0 时，直线l与抛物线C有一个公共点； 当k1 时，直线l与抛物线C没有公共点. 反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解 的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为 0 的情况. 5 跟踪训练 3 如图，

9、过抛物线 y6 7= x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB, AC交抛物 线于B C两点，求证：直线 BC的斜率是定值. 证明设kAB= k( k丰0), 直线AB AC的倾斜角互补， kAc= k( 0), 直线AB的方程是y = k(x 4) + 2. y = k x4 + 2, 由方程组 2 ly = x , 消去y后，整理得 2 2 2 2 kx + ( 8k + 4k 1)x+ 16k 16k+ 4 = 0. A(4,2) , B(XB, yB)是上述方程组的解. 2 16k 16k + 4 - 4 XB= k 6 以x轴为对称轴的抛物线的通径 (过焦点且与对称轴垂直的弦

10、 )长为 8,若抛物线的顶点在 坐标原点，则其方程为 _ . 答案 y2= 8x 或 y2= 8x 解析 设抛物线y2= 2px或y2= 2px(p0), 依题意得x= I,代入y2= 2px或y2= 2px得| y| = p , 2| y| = 2p= 8 , p= 4. 7 若抛物线y2 = x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P的坐标为 _ 以一k代换XB中的k,得 4k + 4k+ 1 - kBC= yB yc k XB + 2 k xc + 2 k XB+ Xc & _k2 8k + 2 1 T2 甘 6 4k 4k+ 1 即 XB= 2 . k2 所以直线BC的

11、斜率为定值. 戸当堂检测自查自纠 7 解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点 O的距离，因此点P在线段OF的垂直平 分线上，而F（1，0），所以的P的横坐标为1，代入抛物线方程得 y = J，故点P的坐标为 4 8 4 （8 士半）- 3.抛物线y = 4x2上一点到直线y = 4x 5 的距离最短，则该点坐标为 _ . 1 答案（2，1） 解析 因为y = 4x2与y= 4x 5 不相交，设与y= 4x 5 平行的直线方程为 y = 4x + m y=4x2, 2 则* ? 4x 4x m= 0. |y= 4x + m, 设此直线与抛物线相切，此时有 = 0, 即 = 16+ 16m

12、= 0 ,二 n= 1. 1 将m= 1 代入式，x = 2， y = 1, 一 1 故所求点的坐标为（，1）. 4 .经过抛物线y2 = 2x的焦点且平行于直线 3x 2y+ 5= 0 的直线I的方程是 _ . 答案 6x 4y 3 = 0 2 1 1 解析 设直线I的方程为 3x 2y + c= 0，抛物线y= 2x的焦点F（?, 0），所以 3X? 2X0 + c = 0, 3 所以c= 2，故直线I的方程是 6x 4y 3= 0. 5.已知直线x y + 1 = 0 与抛物线y= ax2相切，则a= _ 答案1 4 a= 课堂屮结 - 1 1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标

13、准方程；利用几何性质，也可以根据待定 系数法求抛物线的方程. x y+ 1 = 0, 解析由 2 |y = ax , 直线与抛物线相切， 2 消去 y 得 ax x 1 = 0, a0 且 = 1 + 4a= 0. 8 2 .直线与抛物线的相交弦问题共有两类， 一类是过焦点的弦， 一类是不过焦点的弦. 解决弦 的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物 线方程联立，转化为关于 x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交 点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 3 判断直线与抛物线位置关系的两种方法 (1) 几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系， 但有误差影响判断的结果. (2) 代数法：设直线I的方程为y= kx + m抛物线的方程为 y2=2p