矩阵的--线性方程组

1、第3章矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9§ 1矩阵的初等变换 1.定义1下面的三种变换称为矩阵的初等行变换(1) 对调矩阵两行：ri一一 rj(2) 数k乘矩阵某一行：冋(3) 数k乘以矩阵某一行加到另一行的对应元素上：ri + kfj 把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等变换.矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。1 0 0、 例，对三阶单位矩阵£= 0 1 0做初等变换。0 0 1 /e= 0 1,0 0o) wo0 ro1 0、o 0 =e (1,2),0 1丿厂1 0e= 0 1°3r2 (0、0 = e (2(3),10

2、0301丿(01 00 01丿20、0 =e(1, 2(3)，1丿初等方阵定义初等方阵对单位矩阵施行一种初等变换得到的矩阵。有三种初等方阵：e( i, j ), e(i(k), e(ij(k)2.等价矩阵 （p59）等价矩阵的定义如果矩阵a经有限次初等行变换变成矩阵b，就称矩阵a与矩阵 b行等价:ab如果矩阵a经有限次初等列变换变成矩阵b，就称矩阵a与矩阵b列等价：a-b如果矩阵a经有限次初等变换变成矩阵b，就称矩阵a与矩阵b 等价：ab等价矩阵的性质反身性aa对称性若a b，则b a传递性若ab，bc,则a c3阶梯形矩阵阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加.下面矩阵

3、是阶梯形:1'第一个非零元素前有1个02第一个非零元素前有2个0笫一个非零元素前有4个00丿第一个非零元素前有5个0下面矩阵不是阶梯形:第一个非零元素前有1个0»第一个非零元素前有1个o4. 行最简形矩阵在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是1,且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。<010 7 d10 21=)i 例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。-7、-403丿431-312 0-23-283、2 -3 74方法: 先化为阶梯形矩阵: 方法：用初等变换（行初等变换） 目标：上三角形 再化非零行第一个非零元素为1,并把所在列的其他元素化为0o<2

4、31-3-7、<120-2-4、20-2-4、120-2-4231-3-70-11113-28303-28300-88912-3743丿<2-3743丿<0-778(20-2-4、(20-2-4fl20-2-4)a =00<0-187-i981211丿-100-111-100-ii0（再化行最简形）00<0机动例：21000-10000104、340丿10000100o-io0ooi0-2340wa=012-3113-4-222-46-14-37、23一5丿化为阶梯形矩阵.-1-4-4-3一5丿011212rs-2ri001-267r4 + 3i001-26-1&

5、lt;0012-60112-12r3-；2001-267z4 + r200000-8000008丿0112-12r3-z200|1-267r + rz4 t z200000 1-800000o丿再把上述矩阵化为行最简形。5. 矩阵的标准形任何一个加“矩阵a，总可以经过初等变换把它化为标准形(er 0、<0 o,标准形由m, n，i三个数完全确定，其中i是行阶梯形中非零行的行数。厂10-104 ><10000、01-103010000001-3001000000丿000例如 p61, b5 =6. 用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵(1)理论准备定理 设j是一个加x"矩阵

6、，对4施行一 次初等行变换，相当于在且的左边乘以相应的加 阶初等矩阵；对卫施行一次初等列变换，相当于 在月的右边乘以相应的"阶初等矩阵.方阵a可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵p,p片 使 a=pp2 £(2)求逆矩阵的方法(a | e)(彳丁初諄变簧 (e |才1)初等列变换1匕'丿1丿厂 1 23、例设a= 2 2 1 ,求才<3 4 3 丿23100、221|010j43000 23*10解（a|e）=7)_3厂1» 0,0<10-2-2-2-30、1 00r3r2r2 三（一2）(10<0fl0-200-2000-1-1-2-

7、11 0、1 0-11 丿1 13 -2>| 36 -5| -1 -1 1 丿13-2)3一s ：3一22 11 1 -1(13-2)/. /t =3-3522i 11-1丿7. 用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求 矩阵£ a1 (a ib) = (e即 (a ib)f f初等行变换e ab(a |b)初等行变换一 (e| "b)例 3 (p65)< 21-3、< 1 -p求解矩阵方程ax = b,其中a =1 2 -29 b =2 -0、一1 32 ；、一25 ) / ?解：方程两边左乘a逆阵：x = a-b9(有两个

8、方法求x = ab:方法一：先求a的逆阵4",再做乘法运算a-'bo方法二：利用行初等变换：(a | b )初等行变换一(e|例 1 (p64)厂2-1设 a二 11,4 - 6-2的最简形矩阵为f,求f，并求一个可逆矩阵p,使 pa=f.方法： (a|e )初等行变换-> (f|p )6作业 p 781(1)(2),2,3 (1), 4 (1), 5 (1)堂上练习 题6 (注意矩阵方程的表示，求解)§2矩阵的秩1 定义定义3 a的k阶子式在矩阵a中任选k行k列，这些行列交叉处的元素按原来顺序组成的一个行列式称为矩阵a的k阶子式。定义4矩阵的秩如果矩阵a中不

9、等于0的子式最高阶数为r,则称r为矩阵的秩.记为 r(a)，即 r(a)=r.2.结论满秩矩阵可逆矩阵成为满秩矩阵，此时|a|hoa ho,r(a)=n,a =0, r(a)< n定理 2 若 a b,则 r(a)= r(b).推论 若可逆矩阵匕q使paq=b,则r(a)= r(b)o3 计算矩阵秩的方法按定义求矩阵的秩的方法找到一个i阶子式不等于0,证明所有r+1阶子式全等于0此时,r(a)=r例计算下列矩阵的秩12-10 20 0 a =0 00 02 2-10-310 0 0-2421 -2 -1 b =2- 403- 636 -60 22 33 41 -1a有一个三阶子式不为零，

10、即0 22= 6 工 0,-3a的所有四阶子式全为零(因为a的所有四阶子式的最后一行全为零)，所以a的秩等于3,即r(a)=3o事实上，a是一个阶梯形矩阵，关于矩阵的秩有下面的结论:矩阵的秩二阶梯形矩阵中的阶梯个数。即 矩阵的秩二阶梯形矩阵中非零行向量的个数 用初等行变换方法求矩阵的秩用初等行变换方法把矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵中非零行向量 的个数即为矩阵的秩。解：用初等行变换方法求b的秩，并求b的一个最高阶非零子式。10-20-16032 _-27000-310006-2_1-2-102 _0063-2000-3100000-2426-6_"1-2 -102 _1-2-102-24

11、26-62-40232-40233-6334 _ 3-63341-2-102 _1 -2-102 _ 0006-20 022-170022-10 06320063-2_0 0062_b因为不为零的行向量有三个，所以b的秩等于3,即r(b)=3o在阶梯形矩阵当中，由前三行的第1, 3, 4列所构成的三阶子式1 -1 0不为零(0 63 =-18工0),所以，在b中选相应的三阶子式也不00-3-2 2 6为零,即1-10=12工0。2 0 24.秩的性质0 < 7?(a) < minm, n;7?(ar) = 7?(a);若 ab，贝!j r(a)= r(b)；若可逆矩阵r q使paq

12、=b,则r(a)= r(b)；max/?(a),/?(b) < r(a, b) < r(a) + r(b);r(a+ b)< a)+ r(b);若 a,b仪=0,则 r(a) + r(b)s；设= 若a为满秩矩阵，则3 = 0。§ 3线性方程组的解考察下面的线性方程组（解是什么？）x1+x2+x3=lx + x? + x3 = 2x + x? + x3 = 2x, + x2 - x3 = 0关于线性方程组，我们关心的问题是:方程组是否有解？如何求解？如何表示解（解的结构）？1基本概念非齐次线性方程组 ax=baai2、仏、id°2 a2n,x =x2,b

13、= a xa . mm clmn /增广矩阵b = (ab)系数矩阵 a注意：mxn非齐次线性方程组(m个方程n个未知数)齐次线性方程组ax=o<i|x|+ *%升 0勺円切耳*%看。2.方程组的解:如果一组数cl,c2,，cn分别代入方程组xl，x2,，xn中，结果每个方程成为恒等式，称cl,c2,.,cn是方程组的解。方程组有解，称它是相容的(p71)；方程组无解，称它是不相容的。3方程组的初等变换(1)对调两个方程的位置(2)用非零数乘以某个方程(3)数乘某个方程加到另一个方程上(方程组的初等变换相当于对增广矩阵作初等行变换)结论线性方程组经过初等变换后，成为它的同解方程组。b12

14、 0 -1 -3b 二0 1 2%4ko 0 | 1方程组与增广矩阵的关系:o4求解线性方程组非齐次线性方程组的解方法：用初等行变换将增广矩阵化为行最简形（行最简形对应的方程组与原方程组是同解方程组）；写出同解方程组;求同解方程组。例解线性方程组例1+ 2x? 8xj =17, 求解方程组<*1 + 7x2- 5x3 = 2,2x: + 5x2 + 3 乞=3.对增广矩阵,4施行初等行变换:2b (a | b )=312、173丿275-8 ：2):723917、7-5-23132、23-1丿'1737<25-5-8 :32(10卫1 7-5 2、00-9、0 1-1 12

15、0103,0 04 8,、0012丿方程组的解为花=3,兀3 - 2204、例2b 0011j）000丿x + 2j = 4归=产2尸4 0=0 i z=1f x 2l + 4（r取任意常数）z = 1写成向量形式:/ x厂-2、9y=t1+0工丿j0丿20斗、b 20011<0001丿x + 2y = 4z = 10 = 1第三个方程0 = 1无解练习，写出下面方程组的增广矩阵，写出增广矩阵化为行最简形矩阵 对应的同解线性方程组。<1_211 11><1_201 10、a =1-211 1-1t>0010 i1_251 15丿<0000 i°,同

16、解方程组为=0、兀3 =1解之xj = 2x2 - x4<m =1/ 、西、9100二 q+ c2+兀3001丄0写出其向量形式:这个解称为方程组的一般解(或通解)(机动p75,例12)7 作业 p79 9,10(3),12, 14(2),5如何判断方程组有解(线性方程组解的讨论)从上节的例4,r(a)=3, /?(a) = 3,r(a)= r(a)方程组有解.从例2可看出：r(a) = r(a)=2,方程组有无穷解从例3可看出：r(a)=2, r(a) = 3，方程组无解事实上，任何一个增广矩阵可通过初等行变换化为阶梯形(行最 简形)，从阶梯形矩阵我们可研究系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，

17、从 而在研究方程组的解。<1001 0 cr+1c2r+1cmc2n:d2入=(a%)t 00 1crr+15a30 00 0:dur+l>设r(a) = r,则增广矩阵可化为如下阶梯形(行最简形)注意到阶梯形矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程 组。当且仅当d r+i=0,即r(a) = r(a) = r时方程组有解，并且如果r v n ,方程组的解为x=山 _5+“+clnxnx2 =d2 _c2r+lxr+lc2nxn< 含有nr个自由未知量，有、x=山 _5+斗crnxn无穷解。如果r=/7,方程组有唯一解x=山x2 = 2 zn - dn定理n元线性方程组解的

18、情况如下:(1 )对于非齐次线性方程组axb ,有解的充要条件是r(a) = r(入)(2)有无穷解的充要条件是r(a) = r(a) < n(无穷解中含有nr个自由未知量(r =r(a) (3)有唯一解的充要条件是r(a) = r(a) = n推论：若m=n ,方程组(3.4)有唯一解的充要条件是系数行列式不等于0。6齐次线性方程组的解齐次线性方程组的矩阵形式为ax=o.显然，axo-定有解, 因为r(a) = r(a)永远成立。如果齐次线性方程组只有一个解，那么肯定就是零解。如果齐次线性方程组有无穷解，那么除零解以外还有别的解，称 为非零解。定理n元齐次线性方程组解的情况如下:(1)

19、只有零解的的充要条件是r(a) = n(2)有非零解(无穷解)的充要条件是r(a)<n推论：齐次线性方程组中若m二n,则有(1)只有零解的的充要条件是|a|ho(2)有非零解(无穷解)的充要条件是=0解齐次线性方程组ax = 0的一般方法例10求解齐次线性方程组兀1 + 2x2 + 2x3 + £ = 0 2x + x2- 2x3 一 2x4 = 0xj 一 一 4花 一 3 兀4 = °<1221；0、<12215 0、21-2-2；00-36-4；0<1-1-4-30丿<0-36-4(5、z1 0-2:01221:0、_30124:0012

20、4:0339<0000:0丿0 0005 0丿x| 2兀3 =0同解方程为4x2 + 2无3 + x4 = 0由此得（七，“为自由位未知量），c 4令x4=c2,得兀2=2q§c2,写成向量形式为勺=c勺=c?/ 、< 2、-2厶无3=g1< 0>+ c253430例13讨论非齐次线性方程组的解设线性方程组为(1 + x。+ 七=0vxy + (1 + 2)兀2 + 七=3x + *2 + (1 + 2)*3 = 2问久取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解，并求其通解。解法一，对增广矩阵作初等行变换，把它化为行最简形，对系数矩阵&#

21、39;1 + 211；0 、(111 +久:2 'a =11 + a1：311 + 21:3,1-11 + 25 a),1 + 211:° j11 + 252 、0a-2 j3-2、0-a-2(2 + a):2(1 + a) 丿11 + 250a-a :3 20 2(3 + 2) : (1 - 2)(3 + a)z/(1)当a 0且2工一3时,/?(a) = /?(a)=3,方程组有惟一解；(2)当久=0 , /?(a)=1,/?(方)=2,方程组无解；(3)当 a = -3 时，r(a) =:r(a) =2< n, (n= 3)，方程组有无穷解。这时,<11-2

22、 :-3<10 -1 :-1 a0-33 ；601 -1 :-2<000 ；0丿<00 0 :° >由此得同解方程组解之ef厂，"为自由未知量,x2 = x3-2方程组的通解为仁=c-2, c为任意常数,x. = c/ 、<1>即x2=c1+-20j丿<0 )解法二p76因为系数矩阵a是方阵，故方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于0,即皿|工0,而1 + 2113 + 211a11 +久13 + a1 +久1111 + 23 + 211 + q1 1 1= (3 + 2) 1 1 +久 110 = (3 + a)2 1= (3 + 2)0 a 0 0(1)当2工0且qh-3时, 工0,方程组有惟一解;(2)当久=0时,q 1o 、11110 、a111130 0 0 ： 1j 1° 丿ko 0 0 ： 0 ?r(a)=1, /?(a) = 2,方程组无解;(3)当2 = 3时,<-211 :0、< 11-2 ；-3 、a1-21 531-21 :3i 11-2 :3-211 :0 丿/p1-2；-31-2 :-3、0-