八年级数学下册三角形的证明学习教案

1、会计学1八年级数学八年级数学(shxu)下册三角形的证明下册三角形的证明第一页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 知识知识(zh shi)归纳归纳知识(zh shi)归纳1等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质性质(1)：等腰三角形的两个：等腰三角形的两个(lin )底角底角 .性质性质(2)：等腰三角形顶角的：等腰三角形顶角的 、底边上的、底边上的 、底边上的高互相重、底边上的高互相重合合2等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)定义：有两条边定义：有两条边 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个等角对等边：有两个(lin )角角 的三角形是等腰三角形的三角形是等

2、腰三角形相等相等平分线平分线中线中线相等相等相等相等第1页/共43页第二页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 知识知识(zh shi)归纳归纳3用反证法证明的一般步骤用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论假设命题的结论(jiln)不成立；不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论(jiln)正确正确4等边三角形的判定等边三角形的判定(1)有一个角

3、等于有一个角等于60的的 三角形是等边三角形；三角形是等边三角形；等腰等腰第2页/共43页第三页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 知识归类知识归类(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于有两个角等于60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形5直角直角(zhjio)三角形的性质三角形的性质在直角在直角(zhjio)三角形中，如果一个锐角等于三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直，那么它所对的直角角(zhjio)边等于斜边的边等于斜边的 .6勾股定理及其逆

4、定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角勾股定理：直角(zhjio)三角形两条直角三角形两条直角(zhjio)边的平方和等于斜边边的平方和等于斜边的的 .一半一半(ybn)平方平方第3页/共43页第四页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 知识归类知识归类逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三(d sn)边的平边的平方，那么这个三角形是方，那么这个三角形是 三角形三角形7线段的垂直平分线的性质定理及判定定理线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离的

5、距离 .判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的 上上点拨点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合等的所有点的集合直角直角(zhjio)相等相等垂直平分线垂直平分线第4页/共43页第五页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 知识归类知识归类8三线共点三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于三角形三条边的垂直平分线相交于 ，并且这一点，并且这一点(y din)到三角形三个顶点的距离到三角形三个顶点的距离 .9角平分线的性质定理及判定定理角平分线的性质

6、定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 .判定定理：在一个角的内部，且到角的两边判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 相等的相等的点，在这个角的平分线上点，在这个角的平分线上相等相等(xingdng)相等相等距离距离一点一点第5页/共43页第六页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 知识归类知识归类注意注意 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上上“在角的内部在角的内部”这个这个(zh ge)条件条件10三角形三条角平分线的性质三角形三条角平分线的性

7、质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 .相等相等(xingdng)第6页/共43页第七页，共44页。 考点一线段考点一线段(xindun)(xindun)垂直平分线的性质的应用垂直平分线的性质的应用上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略考点(ko din)攻略 例例1如图如图S11，在，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，则，则BCE_.5050 第7页/共43页第八页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解析解析(ji x) 根据线

8、段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以点到线段两端点的距离相等，所以EAEC，AACE30，又，又ACB80，故，故BCE803050.第8页/共43页第九页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略第9页/共43页第十页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略 考点考点(ko din)(ko din)二全等三角形的证明二全等三角形的证明例例2如图如图S12，在，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的

9、一个作为结论上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论(jiln)，写出一个正确的命题，并加以证明，写出一个正确的命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF.第10页/共43页第十一页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解：答案不惟一，命题一：在解：答案不惟一，命题一：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在在同一直线同一直线(zhxin)上，上，ABDE，AC DF，BECF.求证：求证：ABCDEF. 命题二：在命题二：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线在同一直线(zhxin)上，上，ABDE，AB

10、CDEF，BECF.求证：求证：ACDF.下面证明命题一：下面证明命题一：已知：如题图，在已知：如题图，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线在同一直线(zhxin)上，上，ABDE，AC DF，BECF.求证：求证：ABCDEF.第11页/共43页第十二页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略证明证明(zhngmng)：在：在ABC和和DEF中，中，BECF，BCEF.又又ABDE，ACDF，ABC DEF(SSS)ABCDEF.第12页/共43页第十三页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略第13页/共43

11、页第十四页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略 考点三勾股定理考点三勾股定理(u dn l)(u dn l)的应用的应用 第14页/共43页第十五页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解析解析 这个这个(zh ge)有趣的问题是勾股定理的典型应用，此有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从侧面时，要从A开始并

12、垂直于开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题第15页/共43页第十六页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解：将圆柱的侧面展开，如图解：将圆柱的侧面展开，如图S14，圆柱的底面周长为，圆柱的底面周长为2r24，取其一半，取其一半(ybn)： 42，圆柱的高为，圆柱的高为2，根，根据勾股定理，得据勾股定理，得AC222228，所以，所以AC2 .第16页/共43页第十七页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略第17

13、页/共43页第十八页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略 考点考点(ko din)(ko din)四等腰三角形的判别四等腰三角形的判别 例例4已知：在已知：在ABC中，中，A90，ABAC，D为为BC的中的中点点(zhn din)(1)如图如图S14，E，F分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且BEAF，求，求证：证：DEF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；(2)若若E，F分别为分别为AB，CA延长线上的点，仍有延长线上的点，仍有BEAF，其他，其他条件不变，那么，条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论

14、第18页/共43页第十九页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解析解析 要证明要证明DEF为等腰三角形，需要证为等腰三角形，需要证DEDF.连接连接AD，利用全，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样(tngyng)的方法的方法第19页/共43页第二十页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解：(1)证明：连接(linji)AD，如图S16：ABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBC，BDAD，BDAC45，又BEAF，BDE ADF(SAS)，EDFD，BDEADF，EDFE

15、DAADFEDABDEBDA90，DEF为等腰直角三角形第20页/共43页第二十一页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略(2)若若E，F分别是分别是AB，CA延长线上的点，如图延长线上的点，如图S17所示：所示：连接连接(linji)AD，ABAC，BAC90，D为为BC的中点，的中点，ADBD，ADBC，DACABD45，DAFDBE135.又又AFBE，DAF DBE(SAS)，图S17第21页/共43页第二十二页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90，DEF仍

16、为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形第22页/共43页第二十三页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略第23页/共43页第二十四页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略 考点考点(ko din)(ko din)五角平分线与五角平分线与“截长补短截长补短”例例5如图如图S18，ADBC，点，点E在线段在线段(xindun)AB上，上，ADECDE，DCEECB.求证：求证：CDADBC.图S18第24页/共43页第二十五页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解析解析 结论是结论是CDADBC，可考

17、虑用，可考虑用“截长补短法截长补短法”中的中的“截长截长”，即在即在CD上截取上截取CFCB，只要再证，只要再证DFDA即可，这就转化为证明两线段相即可，这就转化为证明两线段相等等(xingdng)的问题，从而达到简化问题的目的的问题，从而达到简化问题的目的第25页/共43页第二十六页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略图图S19证明证明(zhngmng)：在：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图S19，在在FCE与与BCE中，中，FCE BCE(SAS)，21.ADBC，ADCBCD180.又又ADECDE，第26页/共43页第二十七页，共44页。上册

18、第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDE ADE(ASA)，DFDA.CDDFCF，CDADBC.第27页/共43页第二十八页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略第28页/共43页第二十九页，共44页。1以下命题中，是真命题的是以下命题中，是真命题的是()A两条直线只有两条直线只有(zhyu)相交和平行两种位置关系相交和平行两种位置关系B同位角相等同位角相等C两边和一角对应相等的两个三角形全等两边和一角对应相等的两个三角形全等D等腰三角形底边中点到两腰的距离相等等腰三角

19、形底边中点到两腰的距离相等D D 上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第29页/共43页第三十页，共44页。2下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()A等腰三角形边上等腰三角形边上(bin shn)的中线也是高的中线也是高B等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C等边三角形每条角平分线都平分对边等边三角形每条角平分线都平分对边D直角三角形一边上直角三角形一边上(bin shn)的中线等于这边的一半的中线等于这边的一半C C 上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第30页/共43页第三十一页，共44页

20、。3在直角在直角(zhjio)三角形中，一条直角三角形中，一条直角(zhjio)边长为边长为a，另一条边长为，另一条边长为2a，那么它的三个内角之比为，那么它的三个内角之比为()A1 2 3 B2 2 1C1 1 2 D以上都不对以上都不对D D 上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第31页/共43页第三十二页，共44页。4如图如图S19，ABC中，中，ACB90，BA的垂直平分的垂直平分线交线交CB边于边于D，若，若AB10，AC5，则图中等于，则图中等于(dngy)60的的角的个数为角的个数为()A2 B3 C4 D5D D 图S110上册第一章复习上册第一章复习(fx)

21、 习题讲析习题讲析第32页/共43页第三十三页，共44页。5如图如图S111，在，在RtABC中，中，C90，B15，DE是是AB的中垂线，垂足的中垂线，垂足(chu z)为为D，交，交BC于点于点E，若，若BE4，则，则AC_.2 2 图S111上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第33页/共43页第三十四页，共44页。6若点若点P是是ABC内一点，内一点，PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，且且PDPEPF，则点，则点P是是ABC的的()A三条高的交点三条高的交点(jiodin)B三条中线的交点三条中线的交点(jiodin)C三条角平分线的交点三条角平分线的交

22、点(jiodin)D三条中垂线的交点三条中垂线的交点(jiodin)C上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第34页/共43页第三十五页，共44页。 7在平面内，到在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有三点距离相等的点有()A只有一个只有一个 B有两个有两个C有三个或三个以上有三个或三个以上(yshng) D有一个或没有有一个或没有D上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第35页/共43页第三十六页，共44页。8 8小明家有一块小明家有一块(y kui)(y kui)ABCABC的土地，如图的土地，如图S1S11212所示，其三边长所示，其三边长ABAB707

23、0米，米，BCBC9090米，米，ACAC5050米，现要把米，现要把ABCABC分成面积比为分成面积比为579579的的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案图S112上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第36页/共43页第三十七页，共44页。解：如图解：如图S113所示，分别作所示，分别作ACB和和ABC的平分线，相交的平分线，相交(xingjio)于点于点D，连接，连接AD，则，则SADC SADB SBDC5 7 9.图S113上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第37页/共43页第三十八页，共4

24、4页。9.如图如图S114，在四边形，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中点的中点(zhn din)，连结，连结AE，BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第38页/共43页第三十九页，共44页。证明：证明：(1)因为因为(yn wi)E是是CD的中点，所以的中点，所以DECE.因为因为(yn wi)ADBC，所以，所以ADEFCE，DAECFE.所所以以ADE FCE.所以所以FCAD.(2)因为因为(yn wi)ADE FCE，所以，所以AEFE.又因为又因为(yn wi)BEAE，所以，所以BE是线段是线段AF的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以ABFB.因为因为(yn wi)FBBCFCBCAD.所以所以ABBCAD.上册第一章复习上