信号与线性系统分析吴大正学习教案

1、会计学1信号信号(xnho)与线性系统分析吴大正与线性系统分析吴大正第一页，共630页。 什么(shn me)是信号？什么(shn me)是系统？为什么(shn me)把这两个概念连在一起？系统(xtng)的概念第一章第一章 信号与系统信号与系统信号的概念 第1页/共629页第二页，共630页。l 消息(xio xi) (message):l 信息(xnx) (information):l 信号(xnho) (signal):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。信号是信息的载体，通过信号传递信息。第2页/共62

2、9页第三页，共630页。 信号我们并不陌生。如 刚才(gngci)铃声声信号，表示该上课了； 十字路口的红绿灯光信号，指挥交通； 电视机天线接受的电视信息电信号； 广告牌上的文字、图象信号等等。第3页/共629页第四页，共630页。 信号的产生、传输和处理需要(xyo)一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。l 一般而言，系统(system)是指若干相互关联(gunlin)的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字(wnz)等都可以看成信号。l 系统的基本作用是对信号进行传输和处理。系统输入信号激励输出信号响应？第

3、4页/共629页第五页，共630页。信号处理(xn ho ch l)对信号进行(jnxng)某种加工或变换。目的(md)：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。第5页/共629页第六页，共630页。信号(xnho)传输通信(tng xn)的目的是为了实现消息的传输。l原始的光通信系统古代利用(lyng)烽火传送边疆警报；l声音信号的传输击鼓鸣金。l利用电信号传送消息。1837年，莫尔斯()发明电报；1876年，贝尔()发明电话。l利用电磁波传送无线电信号。1901年，马可尼()成功地实现了

4、横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。第6页/共629页第七页，共630页。为传送消息而装设(zhun sh)的全套技术设备第7页/共629页第八页，共630页。信号(xnho)的描述几种典型(dinxng)确定性信号信号的分类第8页/共629页第九页，共630页。信号(xnho)：是信息的一种物理体现，它一般是随时间位信号：按物理(wl)属性分：电信号和非电信号，它们可电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：本课程讨论电信号-简称“信号”。（2）信号的图形表示-波形（1）表示为时间的

5、函数“信号”与“函数”两词常相互通用。置变化的物理量。以相互转换。第9页/共629页第十页，共630页。l 按实际用途划分：l电视信号、雷达(lid)信号、控制信号、通信信号 信号(xnho)的分类方法很多，可以从不同的角度对信号(xnho)进行分类。l 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号；周期信号和非周其信号； 能量信号和功率信号；一维信号和多维信号； 因果信号与反因果信号；实信号与复信号； 左边信号与右边信号。第10页/共629页第十一页，共630页。可用确定(qudng)的时间函数表示的信号：f(t)随机(su j)信号：确定性信号：伪随机信号： 貌似随机而

6、遵循严格规律产生的信号：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。但实际传输的信号是不确定的，常受到各种干扰及噪声的影响。取值具有不确定性的信号：伪随机码。 第11页/共629页第十二页，共630页。l连续时间信号：在一定的连续的时间范围(fnwi)内，对于值域连续(linx)值域不连续任意的时间值，都有对应的函数值 “连续”指函数的定义域时间连续，但可含间断点简称连续信号。，至于值域可连续也可不连续。第12页/共629页第十三页，共630页。仅在一些离散的瞬间(shn jin)才有定义的信号，简称离散信号。 定义域时间(shjin)是离散的离散点间隔离散时刻tk(k = 0,1,2,)有定义 T

7、k= tk+1-tk可以相等也可不等；其余时间无定义。通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k)；等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号。第13页/共629页第十四页，共630页。用表达式可写为： k，k，k,k,k,.k,k,kf其他04130221510211)(或写为：f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0 对应(duyng)某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”。 第14页/共629页第十五页，共630页。数字信号：模拟信号：抽样(chu yn)信号：量化Ot tf抽样(chu yn)连续信号幅值时间均连续时间幅值离散连续时间幅值均离散离散信号模拟信号数字

8、信号第15页/共629页第十六页，共630页。 定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同(xin tn)规律重复变化的信号。连续周期(zhuq)信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。第16页/共629页第十七页，共630页。连续周期(zhuq)信号举例例 判断下列(xili)信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) =

9、cos2t + sint分析(fnx) 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。解答第17页/共629页第十八页，共630页。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别(fnbi)为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别(fnbi)为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。（2） cos2t 和sint的

10、周期(zhuq)分别为T1= s， T2= 2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期(zhuq)信号。第18页/共629页第十九页，共630页。离散周期信号(xnho)举例1例 判断正弦序列(xli)f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,mN)mN)sinsin (k (k 2 2 m mk k sinsin式中称为数字(shz)角频率，单位：rad。由上式可见： 仅当2/ 为整数时，正弦序列才具有周期N = 2/ 。当2/ 为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=

11、 M(2/ )，M取使N为整数的最小整数。当2/ 为无理数时，正弦序列为非周期序列。第19页/共629页第二十页，共630页。离散周期信号(xnho)举例2例 判断(pndun)下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3kk) （2）f2(k) = sin(2k)解 （1）sin(3k/4) 和k)的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们的周期(zhuq)分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期(zhuq)序列，其周期(zhuq)为N1和N2的最小公倍数8

12、。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 1 = 2 rad；由于2/ 1 = 为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期(zhuq)序列 。第20页/共629页第二十一页，共630页。由上面(shng min)几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。例1例2例3连续周期信号(xnho)示例离散周期信号示例1离散周期信号示例2第21页/共629页第二十二页，共630页。 将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间( , )的能量(nngling)和平均功

13、率定义为（1）信号(xnho)的能量E ttfEd)(2def（2）信号的功率P 222defd)(1limTTTttfTP 若信号f (t)的能量有界，即 E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P = 0 若信号f (t)的功率有界，即 P 0，则将f ()右移；否则左移。如：第36页/共629页第三十七页，共630页。 将 f (t) f (a t) ， 称为对信号(xnho)f (t)的尺度变换。t 2t 压缩t 0.5t 扩展离散信号(xnho)：由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺度如：若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则扩展 。变换

14、时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。第37页/共629页第三十八页，共630页。例1例3平移(pn y)与反转相结合平移、反转(fn zhun)、尺度变换相结合，正逆运算。 abtafbatftf例2平移与尺度变换相结合注意：l 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；意一切变换都是相对t而言；对逆运算，反之。l 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注第38页/共629页第三十九页，共630页。平移与反转平移与反转(fn zhun)相结合相结合举例举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (2 t)。 解答(jid) 法一：先平移(pn y)f (t) f (t +2)

15、 再反转 f (t +2) f ( t +2)法二：先反转 f (t) f ( t) 再右移 f ( t) f ( t +2)左移右移= f (t 2)第39页/共629页第四十页，共630页。平移与展缩平移与展缩(zhn su)相结合举相结合举例例例 已知f (t)如图所示，画出 f (3t + 5) 解答(jid)Ot)(tf1 11t)5( tf6 14 5 Ot)53( tf12 34 时移 尺度(chd)变换尺度变换时移第40页/共629页第四十一页，共630页。平移、展缩平移、展缩(zhn su)、反折相、反折相结合举例结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (- 2t -

16、4)。 解答(jid)压缩，得f (2t 4)反转，得f ( 2t 4)右移4，得f (t 4)第41页/共629页第四十二页，共630页。压缩，得f (2t)右移2，得f (2t 4)反转，得f ( 2t 4)第42页/共629页第四十三页，共630页。Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf积积分分：，微微分分：冲激(chn j)信号第43页/共629页第四十四页，共630页。l 阶跃函数(hnsh)；l 冲击函数(hnsh)；l 阶跃序列和单位样值序列。 函数(hnsh)本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续

17、点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。第44页/共629页第四十五页，共630页。电路(dinl)如图：持续(chx)下去。1. 定义 00)0(1)(tttut)(tu在t=0时刻，电路接入电源，波形图如上图：注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。单位阶跃函数1且无限第45页/共629页第四十六页，共630页。0 ,10)(0000 ttttttt 0 , 1 0)(0000 ttttttt 0100)(ttt 第46页/共629页第四十七页，共630页。（1）可以方便地表示(biosh)某些信号 f(t) = (t) -(t-T) （2）用阶跃函数(hnsh)表示信号的作用区间 (a

18、)(b)f (t)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（3）积分 )(d)(ttt f(t) t1Tf(t) t 1 第47页/共629页第四十八页，共630页。 单位冲激函数是个奇异(qy)函数，它是对强度极大，l 矩形脉冲演变为冲击函数(hnsh)；l 狄拉克（Dirac)定义定义；l 冲击函数(hnsh)与阶跃函数(hnsh)关系；l 冲击函数(hnsh)的性质。作用时间极短一种物理量的理想化模型。第48页/共629页第四十九页，共630页。)(lim)(0deftpt 1含义(hny)：宽为 ,高为/1 ,面积(min j)为1

19、变化： 面积1不变，脉冲宽度 脉冲幅度 t 0单位冲击函数函数，在t=0点有一“冲激”，在t=0点以外各处，函数值为零。)(t 0 /1 注意：如果矩形面积=E，)(t )(t E冲激强度为E矩形脉冲 如右图： )(tp )(tp 第49页/共629页第五十页，共630页。 1d)(0 0)(tttt 1d)(d)(00 tttt 函数(hnsh)值只在t = 0时不为零； 积分(jfn)面积为1； t =0 时， ，为无界函数。 t 第50页/共629页第五十一页，共630页。tttd)(d)( tt d)()(求导积分第51页/共629页第五十二页，共630页。f(t) = 2(t +1)

20、-2(t -1)f(t) = 2(t +1)-2(t -1)求导第52页/共629页第五十三页，共630页。l 取样(qyng)性l 冲击偶l 尺度变换l 复合函数形式的冲击函数第53页/共629页第五十四页，共630页。)()0()()(tftft 对于(duy)平移情况： )(d)()(00tfttftt 如果f(t)在t = 0处连续(linx)，且处处有界，则有 )0(d)()(fttft )()()()(000tttftttf 第54页/共629页第五十五页，共630页。取样(qyng)性证明分t = 0和t 0 两种情况(qngkung)讨论 1. 当t 0 时，(t)= 0，f(

21、t)(t)= 0，积分(jfn)结果为0 2. 当t = 0 时，(t) 0，f(t)(t)= f(0)(t) ， 00)0(d)()0(d)()0( fttfttf 积积分分为为 )0(d)()( fttft 即即)()0()()(tftft 第55页/共629页第五十六页，共630页。取样性质(xngzh)举例)(22)()4sin()()4sin(tttt ?d)1()4sin(03 ttt ?d)()4sin(91 ttt ?d)(211 t?d)()1(12 t 022 其其它它, 011,2tt(t) )(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt 22d)()4

22、sin( ttt 第56页/共629页第五十七页，共630页。S(t)tt)(/t 0 0 求导t)(t S/(t)t2/1 2/1 /1 求导第57页/共629页第五十八页，共630页。)0( d)()( fttft dtttfttf)()( )()( dttft)()( f(t)(t) = f(0)(t) f (0) (t) 证明(zhngmng) f(t)(t) = f(t)(t) + f (t) (t) f(t)(t) = f(t)(t) f (t) (t) = f(0)(t) f (0) (t) 证明(zhngmng) )0( f )()0()()(tftft )0(d)()(ftt

23、ft 第58页/共629页第五十九页，共630页。)0( d)()( fttft )0()1(d)()()()(nnnfttft )( d)()( 00tfttftt (n)(t)的定义(dngy)：(t)的平移(pn y)： tttt d)( 0d)(tt 不能按常规函数对待t)(/t +、-面积抵消第59页/共629页第六十页，共630页。)(1|1)()()(taaatnnn taat 1 证明(zhngmng) taaat 11推论(tuln):(1)(|1)(taat )(|1)(00attatat(2t (t) )()1()()()(ttnnn 当a = 1时 ( t) = (t)

24、 为偶函数， ( t) = (t)为奇函数举例(2)第60页/共629页第六十一页，共630页。冲激(chn j)信号尺度变换的证明Ot tp 12 2 Ot atp 1a2 a a2 , 0时时 ,ttp)()( )(1)(taatp 从 定义看： )(t p(t)面积为1， 强度为1 t p(at)面积为 ， 强度为 a1a1 at 第61页/共629页第六十二页，共630页。冲激(chn j)信号尺度变换举例例1?d)2)(5(2ttt54的的波波形形。请请画画出出的的波波形形，已已知知信信号号)()25(tftf 例2第62页/共629页第六十三页，共630页。已知f(t)，画出g(t

25、) = f (t)和 g(2t) 求导 o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1(2)o1tg(2t)-1-1压缩第63页/共629页第六十四页，共630页。 实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通(ptng)函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，n) ttftftftd)(d)()(dd )(dd)( 1)(tfttftf (t2 4)=1 (t+2)+(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2tof(t)图示说明(shumng) 例f(t)= t2 4 第64页/共629页第六十五页，共

26、630页。)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt一般(ybn)地，niiitttftf1)()( 1)(这表明(biomng)，f(t)是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列。 )( 1itf)21(41)21(41)14(2 ttt 注意(zh y)：如果f(t)=0有重根，f(t)无意义。 ( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)第65页/共629页第六十六页，共630页。（1）取样(qyng)性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2）奇偶性 )()(tt （3）比例(bl)性

27、 taat 1)( （4）微积分性质tttd)(d)()(d)(tt（5）冲激偶 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )0(d)()(ftttf 第66页/共629页第六十七页，共630页。)(k 这两个序列是普通(ptng)序列-非奇异函数1. 单位(dnwi)(样值)序列(k) 0, 00, 1)(defkkk 取样性质：f(k)(k) = f(0)(k)0()()(fkkfk f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例?)( kk ?)()5( kkk ?)( iik 定义k1-1-2201第67页/共629页第六十八页，共630页。

28、0, 00, 1)(defkkk o11-1k (k)23(k)与(k)的关系(gun x)(k) = (k) (k 1) kiik)()( 或 0)()(jjkk (k) = (k)+ (k 1)+定义(dngy)第68页/共629页第六十九页，共630页。l 系统的分类(fn li)l 系统的数学模型l 系统的框图描述第69页/共629页第七十页，共630页。1.广义定义：是一个由若干个有相互(xingh)关联的单元组合而成的具有(jyu)特定功能的整体。如：通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意其概念很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面课程：电路、网络、系统通用2.系统的分类： 可以从多

29、种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。第70页/共629页第七十一页，共630页。 连续系统(xtng)与离散系统(xtng) 动态系统(xtng)与即时系统(xtng) 但输入单输出与多输入多输出系统(xtng) 线性系统(xtng)与非线性系统(xtng) 时不变与时变系统(xtng) 因果系统(xtng)与非因果系统(xtng) 稳定系统(xtng)与不稳定系统(xtng)常用(chn yn)分类方法：第71页/共629页第七十二页，共630页。 连续(时间)系统：系统的激励(jl)和响应均为连续信号； 离散(时间)系统：系统的激励(jl)和响应均为离散信号； 混合

30、系统：连续系统与离散系统的组合；是连续信号，一个为离散信号。 如A/D，D/A变换器，系统的激励和响应一个是.连续系统与离散系统第72页/共629页第七十三页，共630页。 若系统在任一时刻的响应不仅(bjn)与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况(zhungkung)有关，则称为动态系统或记忆系统。 如：含有记忆元件(电容、电感等)的电路是动态系统 否则称：即时系统或无记忆系统（电阻串并联）。 .动态系统与即时系统课程：动态系统 第73页/共629页第七十四页，共630页。 连续系统解析(ji x)描述：微分方程 离散系统解析(ji x)描述：差分方程第74页/共629页第七十五页，共6

31、30页。 图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为(zuwi)响应，由KVL和VAR列方程，并整理得22dddd(0 )(0 )CCCSCCuuLCRCuuttuu，二阶常系数(xsh)线性微分方程)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统第75页/共629页第七十六页，共630页。其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移(wiy)，f(t)为初始外力。其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM 能用相同方程描述的系统(

32、xtng)称为：物理系统不同： 数学模型相同第76页/共629页第七十七页，共630页。例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则 y(k)= y(k-1)+y(k-1)+f(k) 即： y(k)-(1+)y(k-1) = f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成(guchng)的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为

33、差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统(xtng)称为n阶系统(xtng)。第77页/共629页第七十八页，共630页。l 连续系统的基本(jbn)单元l 离散系统的基本(jbn)单元l 系统模拟系统的模型(mxng)（微分方程、差分方程）：微分差分运算包含表示单元符号并连接成系统加法乘法第78页/共629页第七十九页，共630页。延时器加法器积分器数乘器乘法器注意：没有(mi yu)微分器？实际(shj)：用积分单元代替第79页/共629页第八十页，共630页。加法器迟延(chyn)单元数乘器第80页/共629页第八十一页，共630页。实际系统方程模拟框图 实验室实现(

34、shxin)（模拟系统）指导实际系统设计例1例2例3例4方程框图用变换域方法和梅森公式简单(jindn)，后面讨论。第81页/共629页第八十二页，共630页。由微分方程画框(hu kun)图例1例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图(kungt)。解：将方程(fngchng)写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)第82页/共629页第八十三页，共630页。由微分方程画框(hu kun)图例2例2 请画出如下微分方程所代表的系统(xtng)的系统(xtng)框图。)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tfttftyttytty)(d)(d)(

35、2d)(d3d)(d22tfttftyttytty解：ttfttfttyttytyd)(d)(d)(2d)(3)( 32 第83页/共629页第八十四页，共630页。解2：该方程含f(t)的导数，可引入辅助(fzh)函数画出框图。设辅助(fzh)函数x(t)满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = x(t) + x(t)，它满足原方程。第84页/共629页第八十五页，共630页。例3由框图(kungt)写微分方程例3：已知框图，写出系统(xtng)的微分方程。设辅助(fzh)变量x(t)如图x(t)x(t)x”(t)x”(t) = f(t) 2x(t

36、) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t)第85页/共629页第八十六页，共630页。例4由框图写差分(ch fn)方程例4：已知框图(kungt)，写出系统的差分方程。解：设辅助(fzh)变量x(k)如图x(k)x(k-1)x(k-2)即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1

37、) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)第86页/共629页第八十七页，共630页。l 系统(xtng)的特性l 系统(xtng)的分析方法第87页/共629页第八十八页，共630页。 连续(linx)系统与离散系统 动态系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统常用(chn yn)分类方法： 系统的特性 线性性质 时不变性 因果性 稳定性第88页/共629页第八十九页，共630页。 y(t):系统(xtng)的响应、f(t):系统(xtng)的激励 线性性质(xngzh

38、)：齐次性和可加性可加性：齐次性：f() y() y() = T f () f () y() a f() a y() f1() y1() f2() y2() f1() +f2() y1()+y2() af1() +bf2() ay1()+by2() 综合(zngh)，线性性质：第89页/共629页第九十页，共630页。 动态系统响应(xingyng)不仅与激励 f () 有关，而且与可分解性 零状态(zhungti)线性 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零输入线性 动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：系统的初始状态

39、x(0)有关, 初始状态也称“内部激励”。第90页/共629页第九十一页，共630页。可分解性： y () = yzi()+ yzs() 零状态(zhungti)线性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零输入(shr)线性：T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)举例1举例2线性系统（连续、离散） 线性微分（差分）方程 第91页/共629页第九十二页，共630页。判断(pndun)线

40、性系统举例例1：判断(pndun)下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1显然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；由于(yuy) Ta f

41、(t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。（3） yzi(t) = x2(0)，T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。第92页/共629页第九十三页，共630页。xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解：xxfxtyxtytzstzid)()sin()(),0(e)(0y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足(mnz)可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(02

42、01021= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足(mnz)零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。第93页/共629页第九十四页，共630页。 时不变系统：系统参数不随时间(shjin)变化线性系统时不变常系数(xsh)微分方程时变(sh bin)变系数微分方程线性时不变系统：yzs() = T f () , 0yzs( t-td) = T f (t-td) , 0yzs(k-kd) = T

43、f (k-kd) , 0第94页/共629页第九十五页，共630页。 f(t - td) yzs(t - td) f(t ) yzs(t ) 举例(j l)第95页/共629页第九十六页，共630页。判断时不变系统(xtng)举例例：判断下列系统(xtng)是否为时不变系统(xtng)？ （1） yzs(k) = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f ( t)解 (1) 令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yzs (k kd) = f

44、 (k kd) f (kkd 1) 显然(xinrn) T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yzs (t td)= (t td) f (t td) 显然(xinrn)T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统第96页/共629页第九十七页，共630页。(3) yzs(t) = f ( t) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yzs (t td) = f ( t td

45、) 显然(xinrn) T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统直观判断(pndun)方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 第97页/共629页第九十八页，共630页。本课程重点(zhngdin)：讨论线性时不变系统。（2）微分(wi fn)特性： 证明(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。（1）线性性质：齐次性和可加性(3) 积分特性：若 f (t) yzs(t) f (t) yzs (t) 若 f (t) yzs(t) ttzsdxxydxxf)()(第98页/共629页第九十九页，共630页。 因果(yng

46、u)系统：即因果系统: 激励是原因(yunyn)，响应是结果，响应是不输出(shch)不超前于输入。 判断方法：举例综合举例指零状态响应不会出现在激励之前的系统。有t t0 ，yzs(t) = 0t =t0时f(t)加入： 可能在激励施加之前出现的。第99页/共629页第一百页，共630页。因果(yngu)系统判断举例如下列(xili)系统均为因果系统： txxftyzsd)()(yzs(t) = 3f(t 1)而下列(xili)系统为非因果系统：(1) yzs(t) = 2f(t + 1)(2) yzs(t) = f(2t)因为，令t=1时，有yzs(1) = 2f(2)因为，若f(t) =

47、 0， t t0 ，有yzs(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。第100页/共629页第一百零一页，共630页。 实际的物理(wl)可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离(jl)、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 因果信号( )( ) ( )f tf tt0,( )0tf t可表示为：t = 0接入系统的信号称为因果信号。第101页/共629页第一百零二页，共630页。 一个(y )系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界

48、输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其yzs (.)0后：. 起始(q sh)条件yzi(0+)若有，利用函数匹配法t0后：有输入微分方程=右端有没有函数其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定 yzi（j) (0+) = yzi (j)(0-) = y (j)(0-)类似电路中的换路定则yzs(0+)由 0-、f(t)共同决定零输入响应 nitzijziieCy1 f(t)=0 t=0-yzi(j) (0-)存在第124页/共629页第一百二十五页，共630页。零输入响应零输入响应(xingyng)和零状态和零状态响应响应(xingyng)举例举例例1：描述某系统(xtng)

49、的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t) 求该系统(xtng)的零输入响应和零状态响应。 解yzi(t)形式(xngsh)同齐次方程： yzi ”(t) + 3yzi (t) + 2yzi (t) = 0齐次方程的特征根为 ： 1， 2 yzi ,(0+)=yzi ,(0-)= y,(0-) yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)零输入响应： yzi (t) = Czi1e t + Czi2e 2t Czi1 Czi2 由 yzi ,(0+)、yzi(0+)决定解得系数：Czi1=4

50、,Czi2= 2（1）零输入响应yzi(t)第125页/共629页第一百二十六页，共630页。零状态零状态(zhungti)(zhungti)响应响应yzs(t)yzs(t)yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 （2）零状态响应yzs(t) 满足下列(xili)方程y zs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分(b fen)组成形式同齐次方程的解特解（满足非齐次方程）yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C (对t0后y zs”(t) + 3yzs (t) + 2yzs(t) = 6) yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t

51、) yzs(0-) = yzs(0-) = 0 第126页/共629页第一百二十七页，共630页。零状态零状态(zhungti)(zhungti)响应响应yzs(t)yzs(t)Czs1 Czs2 : 由yzs(0+) 及yzs ,(0+)定y zs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs (t) = 6yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C yzs(t)中有3各系数(xsh)待定：Czs1 , Czs2 , CC 应满足(mnz)：带入方程求得： C=3 yzs (0+) = ？yzs (0+) = ？由函数匹配法定： 法一：分析+直接积分第127页/共629页第一百二十

52、八页，共630页。 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 右端有(t)微分方程(wi fn fn chn)积分得：yzs”(t)含有(hn yu)(t)yzs(t)跃变yzs(t)在t = 0连续yzs(0+)yzs(0-)yzs(0+) = yzs(0-) = 0yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs (0+)- yzs(0-)+2 0000)(62)(dttdttyzs 因此，yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2 第128页/共629页第一百二十九页，共630页。 对t0时: yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t)

53、 = 6 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2 注意(zh y)：yzi(t)、yzs(t) 顺序问题？第129页/共629页第一百三十页，共630页。例1：已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求该系统的零输入响应(xingyng)和零状态响应(xingyng)。 已知y(0+)=3，y(0+)=1，f(t)=(t) 描述某系统(xtng)的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 例2： 零输入响应：y

54、x (t) = Cx1e t + Cx2e 2t 零状态响应：yf(t)=Cf1e-t + Cf2e -2t+C 其中Cx1 Cx2 由 yx (0+)、yx(0+)决定，而 yx（j) (0+) = yx (j)(0-) = y (j)(0-) 其中 Cf1 Cf2 由 yf (0+)、yf (0+)决定yf (j)(0+)利用函数匹配法例1微分方程yf(j)(0-)=0 与y(j)(0)无关第130页/共629页第一百三十一页，共630页。同例1 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+) 例2 首先(shu

55、xin)求出yf(t)yf(j)(0+)yx(j)(0+) 解： 零状态(zhungti)响应yf (t) 求得： yf(0+)= 0 yf/(0+)=2 利用(lyng) y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+)求得： yx(0+)= 3 yx/(0+)=-1 yx (t) = Cx1e t + Cx2e 2t 零输入响应yx(t)第131页/共629页第一百三十二页，共630页。yx (t) = 4e t 2e 2t ,t 0 例3：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) f(t)=(t)时， 求零状

56、态(zhungti)响应。 分析(fnx)：LTI 系统零状态响应：线性和微分特性 设f(t) 作用于系统(xtng)：零状态响应yf1(t)根据LTI系统微分特性： yf1(t) = T0, f(t) 即：满足y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = f(t) yf1/ (t) = T0, f /(t) 根据LTI系统线性特性： yf(t)= 2yf1/ (t)+6yf1 (t) 第132页/共629页第一百三十三页，共630页。冲激响应求解冲激响应求解(qi ji)举举例例2解 （1）零输入(shr)响应同上：例1：描述(mio sh)某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t)

57、+ 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t) 求该系统的零输入响应和零状态响应。 故令 yzs”(t) = a (t) + r1(t) yzs(t) = r2(t) yzs(t) = r3(t) ri(t) 为不含(t) 的某函数代入式(1)，有 （2）零状态响应yzs(t)满足方程 -方法二 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) (1) yzs(0-) = yzs(0-) = 0 第133页/共629页第一百三十四页，共630页。利用(lyng)(t) 系数匹配，得 a =2 所以 yzs(

58、t) = r3(t) （2） yzs(t) = r2(t) （3） yzs”(t) = 2(t)+ r1(t) （4）对式(3)从0-到0+积分(jfn)得 yzs(0+) yzs(0-) =0对式(4)从0-到0+积分(jfn)得 yzs(0+) yzs(0-) =2故 yzs(0+) = 0， yzs(0+) =2a(t) + r1(t) + 3r2(t) + 2r3(t)=2(t)+6(t)yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(

59、t) (1) yzs(0-) = yzs(0-) = 0 第134页/共629页第一百三十五页，共630页。概述(i sh)：1. 学习(xux)了2种求LTI系统响应的方法自由响应+强迫响应零输入相应+零状态响应 下面一节的内容，针对零状态响应的求取，找寻一种好方法。第135页/共629页第一百三十六页，共630页。2. 把一激励信号（函数），分解(fnji)为冲击函数或阶 冲击(chngj)响应 阶跃响应跃函数之和(积分(jfn)），只要求出了系统对冲击函数或阶跃函数的响应，利用LTI 系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就是下面要

60、学习的内容。第136页/共629页第一百三十七页，共630页。1定义(dngy) 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应(xingyng)称为单位冲激响应(xingyng)，简称冲激响应(xingyng)，记为h(t)。 h(t)=T0,(t) 第137页/共629页第一百三十八页，共630页。冲激响应的数学模型对于(duy)LTI系统,可以用一n阶微分方程表示 )()()()()()()()(0111101111tbtbtbtbthathathathmmmmnnn令 f(t)=(t) 则 y(t)=h(t)响应(xingyng)及其各阶导数(最高阶为n次)激励及其各阶导数(最高阶为m次)(d