2018年高考数学破解命题陷阱专题01集合的解题技巧

1、专题 01 集合的解题技巧 、命题陷阱设置 1. 元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱； 2. 造成集合中元素重复陷阱； 3隐含条件陷阱； 4代表元变化陷阱； 5.分类讨论陷阱； 6 子集中忽视空集陷阱； 7. 新定义问题； 8. 任意、存在问题中的最值陷阱 . 二、典例分析及训练. （一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例 1.已知 M 二0,1 , N 二x|x M则 A.M N B.N M C.N 三 M D.M 三 N 【答案】A 【解析J vJtf =0_, JV=x|xCAf 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集 合N用列举

2、法表示来. 练习 1.集合 M =x|x =5k -2,k Z, P =x|x =5n 3,n Z, S = x|x = 10m 3,m Z之间的关 系是（） A. s二 P 二M B. S=P 二 M C. s 二 P = M D. P = M 二 S 【答案】C 【解析】 M 二x |x = 5k -2,k Z, P 二x|x =5n 3,n Z, S 二x| x = 10m 3,m Z ,A M川卜7,-2,3,8,13,18川匚 P J|卜7,-2,3,8,13,18IS 川卜7,3,13,231 山，故 S 二 P 二 M，故选 C. 练习 2.对于集合A =2 ,4,6，若aw A

3、，则6- A，那么a的值是 _ . 【答案】2或4 【解析】2 A，则6一2 A,4A 则6一4=：2A,6 A，则6一6=：0A,舍去，因此a的值是2或 4 （二）集合中元素重复陷阱 例 2. a,b是实数，集合 A=a, b,1 ，B 二a2,a b,0，若 A 二 B，求 a2015+ b2016. a 【答案】1 【解析】；A= B, b=0, A=Ca,0,1, B= :a2, a,0?. a2=1，得a=_1.a=1时， A=1,仁 不满足互异性， 舍去；a=1时，满足题意 二 a2015+ b2016= 1 . 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元

4、素的互异性 练习 1.已知集合 A=1,2, m3, B =1,m, B 匸 A，则 m= _ . 【答案】0 或 2 或1 【解析】由BA得m，A，所以m=m3或m = 2，所以m = 2或m - -1或m=1或m = 0，又由集合中 元素的互异性知m =1.所以m =0 或 2 或一 1. 故答案为 0 或 2 或1 练习 2.已知集合 A = x, y |x -y T =0 f,集合 B = x, y y = x -1，集合 C =（x, y = Jy +1 请写出集合A, B, C之间的关系 _ . 【答案】B C A 丰 丰 【解析】集合 A = x, y |.、x-yT =0 表示

5、直线x-y-1=0上的所有点； 集合B x,y Ky = 表示直线x - y -1 =0上满足 x 一1 的点； y启0 集合C = ? x, y卜x = y 1 表示直线x - y -1 = 0上满足 x 0 的点 y乏13 故 B 二 C 二 A (三) 隐含条件陷阱 例 3.已知集合 A =x (x _2 )(x+1 )cO,B =x壬 Z 兰 x 兰仆，贝U Ac B=() A. 1,0 B. 。，仆 C. 1,0,1 D. 1,2 【答案】A 【解析】A = 2) )(x+ L) 0=x|-1 x2 , = xe Z|-l ,贝U /cE 二OJ选 B 陷阱预防：注意两个集合代表元的

6、条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件 练习 1.集合A =x f (x ) = x, B =x f (f (x )=x，则集合 A与集合B之间的关系( ) A. A B B. B A C. B? A D. A? B 【答案】A 【解析】设a A，则a=fa,. f | f a =fa=a,. aB，说明集合 A 的元素一定是集合 B 的元 素，则A B，选 A. 练习 2.已知集合 A = x x2 2x 3 A。，集合 B =x Z x2 兰4x，则(徐B=( ) A. x0 x3 B. 1,0,1,2,3 C. 0,1,2,3 D. 1,2 【答案】C 【解析】集合 Ax x2 2x 3

7、A。二XX)3 或 x, C =(x, y) y = x2 +1,x 乏 R,则三个集合 的关系. 【答案】见解析 【解析】因为 Ax y =x2 +1,x R=R,B =y y = x2 +1,x R=1,址)，所以，A B ；又因为C的代表元是有序实数对 (x,y，所以它表示的是点集，因此，集合 没有关系 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集 练习 1.设集合 A = y y = 2x,x乏 R=R,B = x X 1 wO，则 AU B () A.(-1,1) B.(O,1) C.(-1, ：) D.(O,：) 【答案】C 【解析】A =y y = 2x, x R

8、4y y O ?. B x x2 一1 ：O1 二x| 一1 ：x : 1, AUB =（O, ：）u（-1,1） = （-1,：），故选 C A. 1-1,3 B. -1,3 1 C. （0, 1 D. （0, 3 【答案】D 【解析】由 0解得lx3所決= 由lgxcl解得所臥 x+1 V x+1 5-|IEX1 = (0J0)故 AnB=Ot3f 选 6 (五) 参数取值不完整造成漏解 例 5.已知集合M二xR|ax2 2x 0，若M中只有一个元素，则 a的值是() A. 0 B. -1 C. 0 或 -1 D. 0 或 1 【答案】C 【解析】当a = 0时，M x - R|2x -1

9、 =0 ，满足题意. 当a = 0时，要使集合M中只有一个元素，即方程ax2 2x-0有两个相等的实数根，则厶=4 4 0, 解得a = -1. 综上可得a = 0 或a -1.选 C. 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意二次项系数为 0 时，它不是一元二次方程.练习 2. 已知集合A二x | y二 .J； B 二x | Igx ： 1，贝U An 5 练习 1.已知函数f x=x1 2 3 - a 2 x 2-a，若集合A =x N|f x :：: 0 中有且只有一个元素，贝U实 数a的取值范围为 _ 【答案】1,2 03 【解析】T集合AxeNfx）0= + 8 -40 、方程；?一（口+

10、2）兀+2心=0的扌艮 花= 2 + a + a 2 + 8 a _ 4 又 7 f(0) 2 -a，若 f(0) 2 -a ：0,则 a 2，此时 x2 1 2 则集合二【X N|f x 0 /中有两个元素 0,1，不符题意；故 f（0） = 2-a_0, a乞2 此时集合N|f x ：0 中有且只有一个元素，需满足 f (0) 2 -a 工0 2 2 1 2 f (1 )0 即 1 (a+2)+2a0 解得一 a 2 + 2-a30 即答案丄,2 12 3 练习 2.关于x的不等式ax2 a-2 x-2-0 a，R的解集为-：，-1 L2, = f 1 ）求a的值； f 2）若关于x的不等

11、式x2 - 3c a x 2c c - a : 0解集是集合 A，不等式 2 - x x 1 0的解集是 集合B，若A B，求实数c的取值范围. 【答案】f 1) a =1 ； f2) c -1,1 . -2 【解析】（1）根据题意关于x的不等式ax2，a-x x-2-0 a，R的解集为 ：，-1.2,匸：,a 0 , 又由题意可知不等式对应方程的两个实数根为 -1和2 , 2+G J/ +% 4 2十 # + J/ + Eo - 4 二 2，解得 a = 1. a (2) ：a =1，原等式可转化为x 3c 1 x 2c c 1 0 , 即 x-2c x-c-1 : 0, .对应方程的根为x

12、1 = 2c, x2 =c 1 当c 1时，2c c 1,不等式的解集是 A = c 1,2c , 8= -1,2 . 2c _ 2, c_1, :A 二 B, c 1 ： ： -1, = c _ 2,二 c c 1, c 1, 当 c ：1 时，2c : c 1, A= 2c,c 1,B- -1,2 . 1 2c_-1, c - 1 :A B, c 1 乞2,二 C E1, c ： 1. c ： 1, c ： 1, 当c =1时，A =?,满足A B . 综合上述，-,1 . IL 2 1 练习 3.已知集合 A 二x|0 ： ax 仁 3，集合 B =x| x ： 2. 2 （1 ）若 a

13、 =1 ;求 CAB ； （2）若A * B =A，求实数a的取值范围. 1 【答案】（1） CAB =x| -V： x 或 x = 2 ; （2） -： 4 - 12,: 2 【解析】（1） 若 a =1，则 A =x| -1 ： x _2， 1 故 CAB 二x| -1 ：x 或 X =2 （2）7 A - B二A,. A B ,不等式0 ： ax 1 3解集分三种情况讨论: a =0，则A = R, A乂 B不成立;7 a O 则 A=xl-丄岂x ： 2, a a 综上所述：a的取值范围为 -：，-4 一2,亠 （六）子集中的空集陷阱 例 6.已知 A =x x2 -2x-3 c。,

14、B =x|x -1| a 2 2 -:2, a 3l+a 1 a 3a + 4,贝j 当0H0时， 22 + 4 j 贝ij 4 由 ArB = 0 侍J + 4幻. 或第;解得“2 或奔 f |、女 练习 2.设全集 U = R? A=x2x4tB=x 2心 . (1) 求 A - B, CUA B ; (2) 若集合c2X a Of，且B - C二C，求a的取值范围.综上可知, 的取值范围是 9 /1 ?x 【解析】(1)由23x- _丄 得3x-7_8-2x , 飞2丿 解得x _ 3, B 二x | x _ 3。 .A B = x|2 _ x ： 4 一 x | x _ 3 = x |

15、 x _ 2。 又 CU A = x|x : 2或 x _ 4 二 CU A B=x|x ：2或x _4 x|x _3 =x |x _ 4 由题意得C = 邓cA彳 -BC = Ct A-3, 2 解得a 二实数的取值范围为(6,-W) ). (七) 新定义 1 11】 例 5.若X，A，则一 A，就称A是伙伴关系集合，集合 M二-1,0, , ,2,3的所有非空子集中具有伙 x . 2 3 伴关系的集合的个数是 A. 31 B. 7 C. 3 D. 1 【答案】B r 1 1 1 I解析】集合M，1,2,3 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为: | 丨 f 1 11 f 1 1 1，1 2

16、13，-F33， 故选 B. 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答 练习 1.给定全集U，非空集合A, B满足A二U， B二U，且集合A中的最大元素小于集合 B中的最小 元素，则称 A,B为U的一个有序子集对，若 U =3,5,7,9,11 ，则U的有序子集对的个数为（） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】B 【解析】A二 时，B的个数是C4 C42 C43 C4 -15, A = 5时，B 的个数是 C3+C/+C；=7, A = 7时，B的个数是C；+C；=3 , 时，B的个数是 1 A 二3,5时，B 的个数是 C3 C3

17、2 CS = 7, A二；3丁：时，B的个数是C2 C| =3 A二3,9时，B的个数是 1, A 5,7乃寸，B的个数是C； =3 A5,时，B的个数是 1 A 一7,9?时，B的个数是 1 A 3,5,7 ?时，B 的个数是 C； Cf =3 A =35,9?时，B的个数是 1、 A二3,7,9 1时，B的个数是 1 A5,7,9?时，B的个数是 1 A = *35,7,9 时，B的个数是 1 -U 的有序子集对的个数为 49 个， 练习 2.对于函数f x ,若存在实数对（a,b）,使得等式f a，x f a-x二b对定义域中的每一个 x都 11 成立，则称函数f x是“（a,b）型函数

18、” （1）判断函数fl x =x是否为 “（a,b）型函数”，并说明理由； 若函数f2 x =4x是“（a,b）型函数”，求出满足条件的一组实数对 a,b ； 已知函数g x是“（a, b）型函数”，对应的实数对 a,b为（1,4）.当x：= 0,1时,g x=x4 5 -m x1 i T （m 0）,若当x ：= 10,2 1时，都有1込g x 由题意得 4 ffi + l4 从而 上的值域为 亠4 ,则由题意，得 m 1 -卬- 4 m +1 兰 4 2 m +1 _ 匹兰1 1 C I 且 4 ,解得1兰m兰2 ；当兰一，即0*m兰1时，g（x ）的值域为| g.印|, “ 4、. 2

19、2 12厂 ,g，即 -1 m 1 a1 a?日3 1( an 4 ：； n， - 1 2 祈 m+1丄,2U2,即 4 _ m m+1 - - 4 解得0 : m空1 综上所述,所求m的取值范围是0 ： m乞3 练习 3.对于集合A - 印，a?II,a* f n _ 2, n N ，如果印a? 411色=a1 a? V ，则称集合具有 性质P，给出下列结论： 集合土逅，土逅 具有性质p ； I 2 2丿 若印，a R，且 Q, a?具有性质P，则a1龟 4 ； 若印，a N，则 罔耳餐不可能具有性质 P ； 当n =3时，若a N* i =1,2,3，则具有性质P的集合A有且仅有一个 其中

20、正确的结论是 _ . 【答案】 _1_1 _亦 _1十75 _1_V5 【解析】_- 5二 5工-1，故正确; 2 2 2 2 不妨设a1 a2 =日a2 =t，则由韦达定理可知： a1， a2是方程x2 -tx t =0的两个根， 由；0，可得：t ：0或t 4，故错误; 不妨设 A 中 a1 : a2 : a3 ”：丨 I ( : an， 由 a1 a2 日3 Jlan =a1 a2 J H an : nan，得:,2 则 g(x)在 0,2 上的值域为 - m2 m +1 4 2 m 1 一匕 2 m m 1 - 4 1 4 15 当 n = 2 时，a 2 , T ai 三 N , 二

21、 6=1，于是有 a1 a2 二 a1a= 1 a2 二 a2, a2 无解， 即不存在满足条件的集合 A，故正确； 由可知：当n=3时，a1a2 0),在卜1,刃上的值M分别対取禺由题意可知：A=-l, a + 2 1 1 1 3 ? B= -a+2 2a+2 jp ! :.a- 0 a 2c+2 |(ex ) -e 2 x 2 令 y 二 ex -ex 由命題“P7 为真命题广PW 为假命题知P&直一假, a2 当卩真g假时，则f 1，此不等式组无解孑 a 4 a 2 当戸假真时，则 1 ，解得一-a 4 4 综上所述-： 农2 4 故实数口的取值范围为 I 4丿 3 练习 3.命

22、题 p ： - x R,ax2 ax T ： 0，命题 q : 1 ： 0 a1 (1) 若“ p或q ”为假命题，求实数 a的取值范围； (2) 若“非q ”是“：Im,m - 11”的必要不充分条件，求实数 m的取值范围. 【答案】(1) a _-4或a_1； (2) m _-3或m_1. 【解析】(1 )关于命题p : 一 x R, ax2 ax -1 ： 0 , a 0时，显然不成立， a=0时成立， a 0时，只需厶=a2 4a : 0 即可，解得： 一4 ： a ： 0 , 故p为真时：i 4,0 I 3 q - 10 关于命题 H ，解得：-2 a .若 AQ B =1，则 E=

23、() A.q,3? B. 1,0? C. “,3? D. ,5l 【答案】C 【解析】由A n = 1得1 B，即x =1是方程X2 -4x m = 0的根，所以1-4，m = 0,m = 3, B = J,3， 故选 C. 3. 已知集合A=：(x,y)| x2 y2二仁,B=、(x, y)| y ，则B中元素的个数为( ) 【解析】集合中的元素为点集由題意，结合山表示U(o,o)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的 集合集合丘表示直线J = x上所有的点组成的集合，圆 + /=1与直线y = x相交于两A(L1). (-l-i),则盘ri中有两个元爲故选且 4. 设集合 A = , x2

24、x3A0,则 A B =( (A) 一3，弓(B) -3,2 (C) 1,| (D) 2,3 【答案】D 2 3 【解析】因为 A = x|x -4x 3 0= x|1 ： x ： 3, B= x|x ,所以 2 A Cl B 二x|1 ： x ： 3 Pl x|x - = x| : x ： 3,故选 D. 2 2 5. 设集合 S .x|(x-2)(x-3)-0?,T J.x|x 0?,则 S“T 二( )A. A QB 二x | x : 0 B. AUB 二 R A. 3 【答案】B B. 2 C. 1 D. 0 21 【答案】D 【解析】由(x_2)(x_3)_0解得x_3或x乞2，所以S=x|x乞2或x_3, 所以 S 二x| 0