第三讲数学思维的严密性(一稿)2[技巧]

1、第三讲数学思维的严密性二、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题 时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密 逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心 里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下 几个方面：概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的 要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概 念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种 思维形式。数学中的判

2、断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致 判断错误。例如，“函数y =（丄）乍是一个减函数”就是一个错误判断。3推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断 的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。例如，解不等式兀> 丄.x解 x > 丄，x2 > 1,xx > 1,或x < -1.这个推理是错误的。在由x>推导f1时，没有讨x论兀的正、负，理由不充分，所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。（1）有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“

3、正确理解数学概念是掌握数学 基础知识的前提。”中学数学教学大纲（试行草案）例1、 不等式 log（“+2）（3* -2兀-4）>log（“+2）（f -3兀 + 2）.错误解法 v %2 + 2 > 1,3x 2x 4x 3x + 2,2x + x 60, x > v 2.2错误分析 当x = 2时，真数x2-3x + 2 = 0且x = 2在所求的范围内（因2>-）, 2说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了 “对数的真数大于零”这 一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。正确解法 v x2 + 2 > 1 3x2-2x-4>0* x + 2

4、> 03x 2兀一4x 3兀 + 2x > 2或兀 < 一2.1 + v13 .1-v13兀 >或尢<33< x > 2或x < 1x一 v 22例2、 求过点(0,1)的直线，使它与抛物线，2 =2无仅有一个交点。错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y = fcc + l,则它与抛物线的交点为，消去y得：(匕+ 1)22x = 0卜=2兀整理得 k2x2 + (2k-2)x + l = 0.直线与抛物线仅有一个交点，. = 0,解得£=丄.所求直线为y =丄兀+ 12 2错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为y = kx

5、 + l时，没有考虑r=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上 述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相 切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零，即£工0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严 密。正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直兀轴，因为过a(0,1),所以x = 0,即y轴，它正好与抛物线y2 = 2x相切。当所求直线斜率为零时，

6、直线为y = 1,平行兀轴，它正好与抛物线y2 = 2x只有一 个交点。y = kx + y - 2x设所求的过点(0,1)的直线为y =也+1伙工0)则k2x2 + (2r 2)兀+1 = 0.令 = 0,解得k=-所求直线2为歹=丄x +1.综上，满足条件的直线为：y = l, x = 0, y =丄兀+ 1.2 2(2) 判断的训练造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。 注意定理、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解 题中难免出现错误。例3、实数加，使方程，+(加+ 47)兀+ 1 + 2加=0至少有一个实根。错误解法方程至

7、少有一个实根，a = (m + 4z)2 -4(1 + 2mz) = in2 - 20 > 0./. m > 2-/5,或 m < -2y/5.错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理, 在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判 别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二 次方程中，造成解法错误。正确解法 设a是方程的实数根，则a2 + (加 + 4i)a + 1 + 2m i = 0,a1 + ma +1 + (4° + 2m)z = 0.由于°、加都是实数，+加 +

8、 1 = 04a + 2m = 0解得 m = ±2.例4 已知双曲线的右准线为兀=4,右焦点f(10,0)，离心率e = 2,求双曲线方 程。2错解 1/ x = 4,c = 10,. a 40,/. b = c2 a2 60.故所求的双曲线方程为错解2 由焦点f(10,0)知c = 1(),'：e - - 2,. a 5,b2 = c2 -a2 = 75. a故所求的双曲线方程为错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉 中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条 件，都会产生错误解法。正解1 设p。,），）为双曲线上任

9、意一点，因为双曲线的右准线为x = 4,右焦点f（10,0），离心率£ = 2,由双曲线的定义知仏10)2+y2 二lx-41_整理得(x-2)2 y21648正解2 依题意，设双曲线的中心为（加,0）d = 4解得 c二8m = 2.m = 4 c< c + m = 10£ = 2.a所以 b2 =c2-a2 =64-16 = 4 &2 2故所求双曲线方程为 （x_2）丄1648 注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用我们知道：如果a成立，那么b成立,即则称人是3的充分条件。如果b成立，那么a成立，即b=> a,则称a是3的必要条件。如果a

10、o3,则称a是3的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件 的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会 出错。例5解不等式> x-3.错误解法要使原不等式成立，只需x-l>q< x-3>0,m<3<x<5.x 1 n (x 3)2a>q错误分析 不等式4a>b成立的充分必要条件是:b>0或 r "° ?s<0a>b2x-l>0 原不等式的解法只考虑了一种情况<x-3>0 x-l>(x-3)2而忽视了另一种情况

11、:需，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件,其错误解法的实质，是充分条件当成了充分必要条件。 正确解法要使原不等式成立，则兀1 n o$ 兀1 n ox-3>0 或°lx-3<0尢一1 n (x 3).3 < x < 5 ,或 1 5 x w 3.原不等式的解集为xl 1 < x < 5例6 (轨迹问题)求与y轴相切于右侧,的轨迹方程。错误解法如图3-2-1所示,oc:x2 + y2-6x = 0也相切的圆的圆心已知oc的方程为u-3)2+y2 =9.设点p(x, y)(x > 0)为所求轨迹上任意一点，并且op与y轴相

12、切于m点，与oc相切于n点。根据已知条件得i cp 1=1 pa/ i +3 ,即7(x-3)2+y2 =x + 3.化简得 y2 = 12x (% > 0).错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性(即所求的轨迹上的点都满足条 件)，而没有考虑所求轨迹的完备性(即满足条件的点都在所求的轨迹上)。事实 上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可 以发现以兀轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径(不等于3)的 圆也符合条件，所以y = 0 (x>o.ftx3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方 程是)卫=12兀(x>0)和y = 0 (兀>

13、;0且兀工3)。因此，在求轨迹时，一定要完整 的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 防止以偏概全的错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题 的全部答案，从而表现出思维的不严密性。例7设等比数列的全项和为s,若53 + 56 = 259,求数列的公比q错误解法 53+s6 =2s9,.d|(l-v) + e(l-护)=2 ©(i -/)i-ql-ql-q整理得 /(2护q3)=0.cbgho 得方程 2/_1 = 0 . (23 +1)(3 -1) = 0,g=_¥ 或 g=i错误分析 在错解中，由山(1一/)+山

14、(1一/)=2 °一1 - q1 - q1 一 q整理得q2q6-q3-l) =0.时，应有如工0和ghl.在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨论公比g = l的情况，再在 纟工1的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若q = l,则有 =3t/ps6 =6tzj,s9 =9tzj.但 4 h 0 ,即得s3 +s62s”与题设矛盾，故q h 1又依题意s3 +sg = 2s”可得°1（1一/） °|（1一护）©（i-/）+ = 2 -l-q1-ql-q整理得q2q6 亍1） =0.即（2/ +1）（/ -1） = 0,因

15、为qzl,所以护_1工0,所以2/+1二0.所以v4 q =.2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21 ）题，不少考生的解法 同错误解法，根据评分标准而痛失2分。 避免直观代替论证我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观 联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。（3）推理的训练数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的 核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当 的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须 注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），

16、做到思考缜 密、推理严密。例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率幺=,已知点 2p（o,-）到这个椭圆上的最远距离是v7,求这个椭圆的方程。22 2错误解法 依题意可设椭圆方程为二+ + = l（dbo） cth2 3u = 4b i所以 ?卩 a = 2b.er 4设椭圆上的点(x, y)到点p的距离为d ,则 d2 =x2 +(y-)2-2? y279=/(1一_“八彳一b24= -3(y + )2 + 4b2 +3.所以当y =-丄时，沪有最大值，从而d也有最大值。所以 4/?2+3 = (v7)2,由此解得：b2 =,a2 =4.2于是所求椭圆的方程为+ y2 =1.4错解

17、分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结 果正确只是碰巧而已。由当)丄时，有最大值，这步推理是错误的，没有 考虑y到的取值范围。事实上，由于点(x,y)在椭圆上，所以有-bsysb,因此 在求d?的最大值时，应分类讨论。即：若bv丄，则当y = -b时，沪(从而)有最大值。于是(")2 = + 3)2,从而解得b =厲_2丄，与b v丄矛盾。2 2 2 2所以必有b>,此时当)心-丄时，d2 (从而d)有最大值,2 2所以 4fe2+3 = (t7)2,解得b2 =,a2 =4.2于是所求椭圆的方程为+ y2 = 1.4例10求的最小值 sinr cos x错解18 _ 8 cos2 xi sin xcosx i斗斗圧sirr 兀 cos x v sirr x16i sin 2x ini6, ymin=16.错2y = ( + sin2 x) + (卜cos2 x)-l > 22 + 28 -1 = -1 + 6-2.sin-兀cos x错误分析 在解法1中，y = 16的充要条件是一=且丨sin 2x1=1.sin x cos* x即lrgxl=-_£llsinxl=l.这是自相矛盾的。)需丰16.在解法2中