等差数列前n项和最值问题的快速解法

1、等差数列前n项和最值问题的快速解法等差数列前n项和公式是s”+,+咛少+"分“5,记住抛物线对称轴方程二d一厅 1 a亠二= 吗最值一定在离对称轴最近的整数中取到.2启 2 cl2图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出关系式s肿s“,则马上知道抛物线的对称轴方程为%=学 半！关于s”的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程，设抛物线顶点的横坐标为,则抛物线的两个零点为0和2兀°,则可设(图像中x轴对应n轴，y轴对应s”轴，等差s”最值问题要立刻想到这2个图像！)例1等差数列陽中，a=25, s7=s9,问此数列前多少项和最

2、大？并 求此最大值。速解：s门=sgn抛物线对称轴方程为斤=12土2 = 13,则可设sn = pn(n-26), 由 s = q = pxlx(1 26) = 25 n p = -1一 =13时，(5)max=513 =-1x13x(13-26) = 169例2在等差数列”中，已知 =20,前兄项和为s”，nsi()=s5,求当料取 何值时，s”有最大值，并求它的最大值。解：s0 = s15 =抛物线对称轴方程为 =12.5 ,则可设sn = pn（n_ 25）由s=a、= pxlx（l-25） = 20=> p = ,则 =-nn-25） 6o所以 n二 12 或 13 时，（s“）

3、= sf =rx12x（12-25） = 130o例3等差数列%屮，qvo, s9 = s12,该数列前多少项的和最小？9 + 1791解 .s9=s|2, »的图像所在的抛物线的对称轴为n = = ,又 2 2nwn* , <0, :. atl的前10项或前11项的和最小。变式：等差数列中，q>0, s3 = s10 ,该数列前多少项的和最大？解：53 = 510 =>抛物线的对称轴为二上巴= 6.5, 乂nw n,所以n=6 or 7例4设等差数列%的前n项和为s”,已知=12,512 >0,513 <0（1）求公差d的取值范围（2）指出sps2,.

4、,s12中哪一个值最大,并说明理由.解：（1） $ = 12 => a+ 2d = 12 => q| = 12 2dg c 12x11 -.24s -> > 0 => 12q hd > 0 d >1212713x112&3 <0=>123q+ d<0=>d<-3（24的取值范围是-兰3j 7>（2）由（1）知d0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为兀，则抛物线的两个零点为0和2兀，因s12>0,s13<0,则2勺丘（12,13）=如丘（6,6.5）,故s&的值最人.例5设等差数列%的前

5、n项和为s”，且s尸s、,s产s"则k二8解：抛物线对称轴n - 士til = 7 + " => e = 8例6 设等差数列色的前n项和为s”,且s/s”,求兀+“的值解：抛物线对称轴方程为%）= 也则抛物线两个零点为0和2n（） =m + n,所以 s卄二0例6已知等差数列an的通项为an=ll-2n,g tv*,则使得sn最大的n的值是?a = 7 2x1 = 1 5*"（d就是一次项n的系数！ why?）,抛物线d = -2开口向下，有最大值，由抛物线对称轴方程= 8,故答案为&2 d 2 -2例7设等差数列匕满足3禺二5知，月申0,则前n项和s”中最大的是（）'iobsh解:a393as =5°|3 = 3（d| +7）= 5（® +12）=> =-d<2q0抛物线开口向下,由对称轴= 20, /.520最大，选择c例8（ 2010福建理科3 ）设等差数列色的前n项和为s”，若4 =-11,偽+。6 =-6，则当s”取最小值时,n等于（）a. 6b.