根与系数关系知识讲解及练习

1、根与系数关系知识讲解及练习韦达定理：对于一兀次方程ax?+bx + c = O(aHO)，如果方程有两个实数根X1,X2，则xx-b,x1xcaa说明：(1)定理成立的条件-0(2)注意公式重xi-P的负号与b的符号的区a别根系关系的几大用处 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次 方程的两根；例如：已知方程 x?-5x+6 = 0,下列是它两根的是()A . 3 , -2 B. -2, 3 C. -2-3 D. 3, 2 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于xi1 1和X2的代数式的值，如； 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求

2、出一元二次 方程的一般式 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另 一个数及未知数系数.(后二种为王)(1)计算代数式的值例 若Xi,X2是方程X2 2x2007 = 0的两个根，试求下列 各式的值：(1) xj x2? ；(2) X X ；(3) (Xi -5)(X2 一5)；X X2(4) | Xi 一 X2 | 解：由题意，根据根与系数的关系得：论 x2 - -2,x1x -2007(1) X12x22=(为x2)2-2xjX2=(-2)2-2(-2007) = 4018(2) 丄丄2 乙x1 x2x1x2-2007 2007(3) (为-5)(x2 -5) =Xj

3、X2 -5(xx2) 25 二-2007 -5(-2)25 二-1972(4)| X -X2 卜(Xi - X2)2 二(Xi X2)2 -4X1X2 = .(-2)2 -4(-2007) = 2,2008 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌 握以下等式变形：2Xix22 = (x1 x2 )2 -2XX211XX2r =X1x2X1X222(X1 -X2)=(X1 X2)- 4X1X2，|X1 _X2 |h*N X2)2 -4X1X2， X1X22 N2X2 =X1X2(X1 X2)，X13 X23 =(X1 X2)3-3X1X2(X X2)等等.韦达定理体现了 整体思想.(2)构造新方

4、程 理论：以两个数'为根的一元二次方程是-'H。例解方程组x+y=5xy=6解：显然，x, y是方程z2-5z+6 = 0 的两根由方程解得z i=2,z 2=3原方程组的解为xi=2,y 1=3x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程-'-的两根，第三边长为2,求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c,且a、 b为* l：的两根，贝U c=2由题意知 = k2-4 x 2X 2>0，k>4 或 k< -4a +| > 0,>0tlb = Ic - 2a-

5、b >c = 2r 上42a-b= yl(a + by2 - 4ab = + JF 二 IE <. c = 2, -4血 < k <. 4庞=】；为所求。【典型例题】例1已知关于x的方程 X? _(k +1)x +1 F +1 =0 ,根据下列4条件，分别求出k的值.(1) 方程两实根的积为5; (2)方程的两实 根 X1,X2满足 lx |=X2 .分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两 种可能，一是X1 =X2 0，二是-X1 =X2，所以要分类讨 论.解：(1) 方程两实根的积为52 1 2卜=-(k+1)2 -4(：k2 +1) A0二 k _ 一, k -

6、 _4住仆52L 4所以，当k=4时，方程两实根的积为5.(2) 由|X十X2得知：当XV0时，X/X2，所以方程有两相等实数根，故)=0二k = 一 ；由于0 =k 3，故ki不合题意，舍去.综上可得，k=|时，方程的两实根Xi,X2满足| Xi | = X2 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件， 求待定字母的值，务必要注意 方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 .：-0_例2已知为,X2是一兀二次方程4kX24kX k1=0的两 个实数根.（1）是否存在实数k，使（2X1 -X2）（X1 2X2）2成 立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明 理由.求使鱼空-2的值为整数的实数k的

7、整数X2X2X1值.解:假设存在实数k，使“旳化包）弓成立.I 一元二次方程4kX- 4kX k1 的两个实数根4k =02n k v 0，=(_4k)2 -4 4k(k 1) 一 -16k -04k x 4 k x ki 的两又X1,X2是一元二次方程 个实数根为 x2 = 1k 1|住=I4k(21 - X2 ) X1_22=)22i(2x? - ) Xi 5x22 (x? -)x 9x2k 93=_ 二4k 2不存在实数k ,使(2* -X2)(Xi -2X2)xj 冷2x1x1 x2x1 x2要使其值是整数，只需k 1能被4整除, 故 k+1=±1,=2,±4，注意

8、至要使鱼生-2X 生一2二X22 2X2(X1X2)2 二k : 0 ,的值为整数的实数k的整数值为-2, -3, -5 .说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求 出，贝U说明存在，否贝U即不存在.4(2)本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法.k 1 _一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1 .一元二次方程(1-k)x2x-1=0有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是()A k>2 B k£2,且21 C kv2D k>2,且k12. 若Xi,X2是方程2X6X 3"的两个根，则-的值X1 x2为()A 2 B. -2C.

9、 2D93. 已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交 于0点，且0A、OB的长分别是关于x的方程X2 ' (2m -1)x m2 3 =0 的根，则 m等于()A . _3B . 5C . 5 或一 3D .5 或 34. 若t是一元二次方程ax2 bx c=0 (a = 0)的根，则判别式$4ac和完全平方式M =(2at b)2的关系是()A A = M B>M C A< MD 大小关系不能确定5 若实数 a = b，且 a,b 满足 a2 一8a 5 = 0,b2 一 8b 5 =0，则 代数式口 口的值为()a-1 b-1A.一20B. 2C.2或一20D .2或

10、206 如果方程(bc)x2 (ca)x (ab)=0的两根相等，则a,b,c之间的关系是7 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x8x 7=0的两个根，则这个直角三角形的斜 边长是 8若方程2x2(k 1)x k 3=0的两根之差为1,则k的 值是 9 设花必是方程X2 px q = 0的两实根，x! 1,x2 1是关 于x的方程x2+qx + p=0的两实根，贝V p = , q =10 已知实数 a,b,c满足 a =6-b,c2 =ab-9 ,则 a = ,b = , c = 11 .对于二次三项式x2 -10x 36，小明得出如下结 论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10

11、.您 是否同意他的看法？请您说明理由.12若n 0,关于x的方程x2 _(m2 n)x -4 m n=0有两个 相等的的正实数根，求m的值.n13 已知关于x的一元二次方程 X2 (4m 1)x 2m 0 .(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不 相等的实数根；若方程的两根为xz ,且满足丄丄,求m捲 x22的值.14.已知关于X的方程X2(k+1)x + k2+1 = 0的两根是一 个矩形两边的长.(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值.B 组1 .已知关于x的方程(k-1)x2 (2k-3)x k 1 =0有两个不 相等的实数根MN .(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相 反数？如果存在，求出k的值