2018年秋高中数学课时分层作业7函数的最大(小)值与导数新人教A版选修2-2

1、 课时分层作业(七)函数的最大(小)值与导数 (建议用时：40 分钟) 基础达标练 、选择题 1. 已知函数f(x), g(x)均为a, b上的可导函数，在a, b上连续且f (x) vg(x), 则f(x) g(x)的最大值为( ) B. f(b) g(b) C- f (a) g( b) D. f(b) g(a) A 令 F(x) = f(x) g(x)，则 F(x) = f (x) g(x), 又 f (x) v g(x)，故 F(x) v 0, F(x)在a, b上单调递减， F( x) maxW F(a) = f (a) g(a). In x 2. 函数y=的最大值为( ) x 1 A

2、. e B. e D. 11； x x ln x x 2 x 解得 x= e.当 xe 时，yv 0；当 0vxv e 时，y 0. 1 y极大值=f (e)=；,在定义域(0 ,+)内只有一个极值， 1 所以 ymax=. e 2 x丰1 3. 函数f (x) = x e , x 2,1的最大值为( ) 【导学号：31062064】 1 A. 4e B. 1 2 2 C. e D. 3e C v f(x) = (x2 + 2x)e x+1 = x(x + 2)ex+1, f(x) = 0 得 x= 2 或 x= 0. 又当 x 2,1时，ex+10, 当一 2vxv 0 时，f (x) v

3、0; 当 0 v xv 1 时 f (x) 0. f(x)在(一 2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增. A- f (a) - g( a) C. 1 ln 2 x =0( x 0), 一 1 2 又 f ( 2) = 4e , f(1) = e , f(x)的最大值为 e2. 3 4. 已知函数f(x)= x - 12x+ 8 在区间3,3上的最大值与最小值分别为 M m贝 U M m的值为( ) A. 16 B. 12 C. 32 D. 6 C f (x) = 3x2 12= 3( x+ 2)( x 2)，由 f( 3) = 17, f(3) = 1 , f( 2) = 24 , f(

4、2) = 8, 可知 M- m= 24 ( 8) = 32. 5. 函数f(x) = x3 3ax a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A. Ow a1 B. 0a1 1 C. 1a1 D. 0a2 B T f (x) = 3x2 3a,则 f (x) = 0 有解，可得 a= x2. 又 x (0,1) , 0a0 时，f (x) 2恒成立，则实数 a的取值范围是 解析由 f(x) = 4+ 2ln x 得 f (x)=- z. 2 x a x ，又函数f (x)的定义域为(0，+a), 且 a0,令 f (x) = 0,得 x= a(舍去)或 x= a.当 0 x _ a时，

5、f ( x) a时, f (x)0.故x = a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且 f(a) = In a+ 1.要使 f(x) 2恒成立，需 In a+12恒成立，则ae. 答案e ,+R) 三、解答题 _ 2 9.设函数 f (x) = ln(2 x+ 3) + x . (1)讨论f (x)的单调性； 求f(x)在区间4, 1 上的最大值和最小值. 解易知f(x)的定义域为 一3 ,+ . , 2 4x2 + 6x + 2 (1) f (x) = + 2x= 2x+ 3 2x + 3 2 2x+l x+1 2x + 3 当一|x0 ; 1 当一 1x 2 时，f (x) 2 时，f

6、(x)0, 所以f(x)在区间3, 4 上的最大值为 r 1 1 7 f = + ln . 4 16 2 10.已知函数 f(x) = x3+ 3x2+ 9x+ a. (1)求f(x)的单调递减区间； 若f(x) 2 017 对于？ x 2,2恒成立，求a的取值范围. 解(1) f (x) = 3x2 + 6x+ 9. 由 f (x)0 ,得 x3, 所以函数f (x)的单调递减区间为(， 1) , (3 ,+s). 从而f (x)在区间 (2)由(1)知f(x)在区间4, 1 1 的最小值为 f i 2 = 1 In 2 + 4. 丄16 3 1 1 =ln7+ 2= 21 ln 49 6

7、2 017 对于？ x 2,2 恒成立，只需 f (x)min = 5 + a 2 017，解得 a 2 022. 能力提升练 1. 已知函数 f(x) = x + ax 4 在 x= 2 处取得极值，若 mn 1,1，则 f(m + f ( n) 的最小值是( ) A. 13 B. 15 C. 10 D. 15 A 对函数 f (x)求导得 f (x) = 3x + 2ax, 由函数f (x)在x= 2 处取得极值知f (2) = 0, 即一 3 x 4+ 2a x 2 = 0 , a = 3. 由此可得 f (x) = x3+ 3x2 4, f ( x) = 3x2 + 6x, 易知f(x

8、)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增， 当 mE 1,1时，f ( n) min = f (0) = 4. 又T f ( x) = 3x2 + 6x的图象开口向下， 且对称轴为x= 1，当nE 1,1时， f (n)min = f ( 1) = 9 , 故f(m + f(n)的最小值为一 13. 3 2 2. 若函数f (x) = 3x x在区间(a 12, a)上有最小值，贝 U 实数a的取值范围是( ) A. ( 1 , 11) B. ( 1,4) C. ( 1,2 D. ( 1,2) C 由 f (x) = 3 3x = 0，得 x = 1. 当x变化时，f (x)及f (x)的

9、变化情况如下表： x (m， 1) 1 (1,1) 1 (1 , +m) f(X) 一 0 + 0 一 f(x) ll 2 z 2 | 2 由此得 a 12 v 1 v a, 解得1 v av 11. 又当 xE (1 ,+s)时，f(x)单调递减，且当 x = 2 时，f(x) = 2. aw2. 综上，1 v a w 2. 3 2 . . 3. _ 已知aw4x+ 4x + 1 对任意x 1,1都成立，则实数 a的取值范围是 _ . 【导学号：31062067】 3 2 2 解析 设 f (x) = 4x + 4x + 1，则 f ( x) = 12x + 8x= 4x(3x+ 2) 2

10、由 f (x) = 0 得 x= 3 或 x= 0. 故f (x)在1,1上的最小值为 1. 故 aw 1. 答案(汽 1 3 9 2 4. 已知函数f (x) = x 歹+ 6x + a,若？ X。 1,4，使f(X。)= 2a成立，则实数 a 的取值范围是 _ 3 9 2 解析/ f(x) = 2a,即 X0 尹+ 6x0+ a= 2a, 3 9 2 可化为 X0 尹0+ 6x0= a, 3 9 2 2 设 g(x) = x 於 + 6x,贝U g(x) = 3x 9x+ 6 = 3(x 1)( x 2) = 0,得 x= 1 或 x= 2. 5 23 g(1) = 2, g(2) = 2, g( 1) =y, g(4) = 16 由题意，g(x) min a g(x)max, 23 a 16. 答案 ；23 - 23, 16J 5.已知函数 f(x) = (x k)ex. (1)求f(x)的单调区间； 求f(x)在区间0,1上的最小值【导学号：31062068】 解(1) f (x) = (x k+ 1)ex. 令 f (x) = 0,得 x= k 1. 令x变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表： x