浅析一致收敛在数学中应用及作用

1、分类号： TP391学号： 1207140211学号： 12345678910本科毕业论文浅析一致收敛性在函数的解析性中的重要作用Uniform convergence analyses into the importantrole of analytical function姓名：韩 蕾1专业：数学与应用数学1指导教师姓名：南 广 仁1指导教师职称：讲 师12016年5月长春师范大学本科毕业论文摘要一致收敛性是数学分析中的一项极其重要的课题众所周知的，函数的解析性实际上就是指函数的连续性，可微性，可积性而函数列，函数项级数的一致收敛性又是保证其极限函数，和函数具有连续性，可微性，可积性的重要

2、条件鉴于以上所言，本文在前人已有的研究基础上，以连续性，可微性，可积性为基本切入点，列举两个一致收敛在解析函数中的应用，探讨一致收敛性在函数解析性中的作用本文主要内容大致包括以下三个部分：一，一致收敛性的概念，判定以及在函数的解析性中的几种应用；二，函数的解析性的内容，几项基本性质；三，一致收敛性在函数的解析性中的应用实例关键词：一致收敛性解析性连续性可微性可积性I长春师范大学本科毕业论文AbstractUniform convergence is a very important part in mathematical analysis. It is wellknown， function

3、 analytic actually refers to the continuity， the differentiability ， andtheintegrability of function. Which is an important condition to ensurea series of uniformconvergence and ensure the differentiability ， andthe integrability of the limit functionand the function continuity.This article， on the

4、basement of former research on continuity， differentiability ， and integrability ， cites two examples about application of the analytic function， explores the role of uniform convergence in the analytic function.In this paper， the main content includes the following three parts: first， the concept a

5、nd estimate of uniform convergence as well as some applications of analytic function； Second， the content of the analytic function ， several fundamental properties； Three， application and instances of uniform convergence in analytic function.Key words : Uniform convergence Analytic Continuity Differ

6、entiability IntegrabilityII长春师范大学本科毕业论文目录摘 要 .IAbstract .II第一章 绪 论 .11.1课题的研究背景及意义 .11.2一致收敛性在函数解析性中的应用概况.11.2.1一致收敛性简介 . .11.2.2一致收敛性在函数的解析性中的应用的应用概况 . .11.3全文研究内容及章节安排 .1第二章 一致收敛性的判定与性质 .32.1一致收敛性的内容 .32.2一致收敛性的判定 .32.3一致收敛的性质 .52.4小结 .6第三章 关于函数的解析性的初步认识 .83.1函数的连续性 .83.1.1函数连续性的定义 . .83.1.2一致收敛性在

7、函数的连续性中的应用 . .83.2函数的可积性 .83.2.1可积函数类 . .83.2.2一致收敛性在函数的可积性中的应用 . .83.3函数的可微性 .93.3.1函数的可微性的定义 . .93.3.2一致收敛性在函数的可微性中的应用 . .93.4小结 .9第四章 一致收敛性在函数的解析性中的应用.114.1利用函数列判断函数的解析性 .114.2利用幂级数求函数的积分 .11第五章 结 论 .12致 谢 .13参考文献 .14长春师范大学本科毕业论文（设计）原创性声明.15长春师范大学本科毕业论文（设计）版权使用授权书.15III长春师范大学本科毕业论文第一章绪论1.1 课题的研究背

8、景及意义随着人类对数学研究的不断深入，人类在数学上的研究越发成熟，对数学知识的应用也越发深入人类的生活与工作之中作为高等数学中重要的内容之一，函数有着悠久的历史以及广泛的应用其中函数的各项解析性质的涉及面非常的广泛，有很多复杂的计算都是用它来解决的函数的解析性理论在数论，电学，工程等方面都有重要的应用同时，它也已经深入到了微分方程， 积分方程，概率论和数论等多门学科当中 而在解决这类问题时，函数的一致收敛性都起着至关重要的作用这使得我们有足够的理由继续进行更深刻的研究，为整个社会经济发展和相关理论基础提供保障1.2 一致收敛性在函数解析性中的应用概况一致收敛是函数项级数中一项十分重要的知识，它

9、不但本身是函数项级数的一项性质，还可以推导出函数项级数的许多其他性质同时，它还可以推导出和函数的各项解析性质级数以及级数的一致收敛性在函数的解析性中的许多地方都有广泛的应用，在函数的解析性中有着十分重要的地位一致收敛性简介在数学研究中， 一致收敛性是函数列与函数项级数的一种收敛定义 它比逐点收敛更强，同时又能保持连续性，可微，可积等重要的分析性质函数列与函数项级数一致收敛的几项定理还可以用于判别其极限函数与和函数的解析性质比如根据函数列每项的连续性来判断极限函数的连续性等等一致收敛性是保证其和函数连续与可微的重要条件， 而函数项级数又是研究函数性质时一个极其重要的方法与手段 一直以来不断地有科

10、学工作者投身于对一致收敛性的研究之中，一致收敛的性质以及应用越来越完备与广泛一致收敛性在函数的解析性中的应用的应用概况函数列，函数项级数一致收敛是保证其极限函数， 和函数连续的重要条件， 也是保证极限函数与和函数可积可微的重要条件 而连续性，可积性，可微性正是函数的解析性而函数项级数又是在研究函数的解析性时一项十分常用的手段， 由此可见一致收敛性在函数的解析性中的重要地位本文中就利用一致收敛性的相关定理判别解析性， 以及求收敛半径两方面举例说明了一致收敛性在函数解析性中的应用概况1.3 全文研究内容及章节安排本文阐述了一致收敛性在函数解析性中的应用以及作用，在分析了函数连续性，1长春师范大学本

11、科毕业论文可微性，可积性在二者间的串连得出结构如下：第一章 首先介绍了课题的研究背景及意义，其次简要说明一致收敛性在函数的解析性中的应用第二章本章介绍了一致收敛性的内容，判定与性质第三章本章介绍了函数的解析性的内容以及它所具有的几项简单性质第四章 本章通过实例证明一致收敛在函数的解析性中的应用，且选取的均为简单明了的例子，借应用来凸显作用第五章本章对前面的几章进行了归纳总结，通过对一致收敛性与函数的解析性的概念，性质的特点进行对比分析， 以第四章的实例为依据， 总结归纳出一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用本文通过先分述， 再举例，最后总述的方法系统的阐述了一致收敛在函数解析中的应用以及作

12、用2长春师范大学本科毕业论文第二章一致收敛性的判定与性质2.1 一致收敛性的内容想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用，我们首先就要了解什么是一致收敛性设函数列f n 与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数，总存在一正数N ，使得当 nN 时，对一切 xD ，都有fn xf x，则称函数列fn 在 D 上一致收敛于 f ，记作f n xfxn， xD 22.2 一致收敛性的判定为了研究一致收敛的性质， 首先简要的了解判定函数项级数的一致收敛性的几种方法，定义法在此不再赘述（ 1）定理证明法函数项级数un x 在数集 D 上一致收敛于 S x 的充要条件是lim sup R

13、n xlim sup S xSnx0（ 2.1）nx DnxD例 2.1 定义在,上的函数项级数 xn ，由于n= 0nnxnsup Sn xS xsupn1x 1nx1,1x 1,111nnn 1n，n1n知道级数 xn 在1,1上不一致收敛n= 0对任意a 0 a1()，supSn xS xsupxn1 xx a ,axa ,aan0n1a可得级数x n 在1,1上内闭一致收敛（ 2）魏尔斯特拉斯判别法3长春师范大学本科毕业论文设函数项级数un x 定义在数集D 上，M n 为收敛的正项级数，若对一切xD ，有un xM n ， n1,2,（ 2.2）则函数项级数un x 在 D 上一致收

14、敛例 2.2 函数项级数sin nx，cosnx22nn在,上一致收敛，因为对一切x,有sin nx1， |cos nx|1，|2|222nnnn1而正项级数 n2 是收敛的此类判别法是根据级数各项的特点来判别级数是否一致收敛（ 3）阿贝尔判别法设（）un x 在区间 I 上一致收敛；（）对于每一个x I ， vn x是单调的；（） vn x在 I 上一致有界，即存在正数 M对一切 x I 和正整数 n ，使得vn x M ，则级数un x vnx 在 I 上一致收敛证 由（），任给0 ，存在某正数 N ，使得当 nN 及任何正整数 p ，对一切 x I ，有un 1 xun p x又由（），

15、（）及阿贝尔引理得到un 1 x vn 1 xun p x vn p xvn 1 x 2 vn p x3M （ 4）狄利克雷判别法设（）un x 的部分和函数列nU n （ x ）= uk （ x ）（ n =1，2， ）k=1在 I 上一致有界；4长春师范大学本科毕业论文（）对于每一个x I ， vn x是单调的；（）在 I 上 vn x 一致收敛于 0 n，则级数un x vn x 在 I 上一致收敛此定理证法与一致，故此不在多加赘述2.3 一致收敛的性质本文想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用， 对一致收敛性的性质进行了解是极其必要的本章节列举了一致收敛函数列及函数项级数的几项性质在

16、开始了解一致收敛性的性质前首先了解一条定理定 理 设 函 数列 f n 在 a, x0x0 , b上一 致 收敛 于 f x ， 且对 每 个 n ，lim f n xan ，则 lim an 和 lim f x 均存在且相等 8 xx0nn（ 1）函数列的连续性若函数列 f n 在区间 I 上一致收敛，且每一项在 I 上都连续，则其极限函数 f 在 I上也连续由以上性质可得到以下推论：若连续函数列 fn 在区间 I 上内闭一致收敛于 f ，且每一项在 I 上都连续，则 f 在I 上连续 10而函数的连续性正是函数的解析性中的一项性质例 2.3fn xxn 在1,1 上不一致收敛，但内闭一致收

17、敛， 其极限函数在1,1上是连续的（ 2）可积性若函数列 f n 在 a, b 上一致收敛，且每一项都连续，则blim f n x dxb（ 2.3）alimf n x dx nna这一项定理表明在一致收敛的条件下，函数列的极限运算与积分运算的顺序是可以交换的 11（ 3）可微性设 f n 为定义在 a, b 上的函数列，若 xa, b为 fn 的收敛点， fn 的每一项在a,b 上有连续的导数，且f n' 在 a, b 上一致收敛，则dlim f n xlim d f n x （ 2.4）dxnndx例 2.4 函数列f n x1 ln 1 n2 x2 ， n 1,2,2n5长春师范

18、大学本科毕业论文与'xnx，n1,2,fn1n2x2在 0,1 上都收敛于 0 ，由于lim max f n'xf 'x1 ，nx0 ,12所以导函数列在 0,1上不一致收敛，但对任意0，supfn' xf 'x1n0n，x 0,1n2所以fn' 在 0,1 上内闭一致收敛且在 0,1 上， limfn' xlim f n x'仍成立nn事实上， lim fn' x0 ， lim fn' x'0 ， lim f n xlim f n x 在 0,1 上都成立nnnn（ 4）函数项级数的连续性若函数项级数 u

19、n x 在区间 a, b 上一致收敛，且每一项在 a,b 上都连续，则其和函数在 a, b 上也连续在此定理的基础上，我们可以知道在保证一致收敛的前提下，无限项的求和运算与求极限运算可以交换顺序9 而且我们也可以看出， 由函数项级数的连续性可以直接的判断出它的和函数的连续性，借此应用于函数的解析性当中（ 5）逐项求积若函数项级数unx 在 a,b 上一致收敛，且每一项 un x 在 a, b 上都连续，则bb（ 2.5）un x dxaun x dx a（ 6）逐项求导若函数项级数unx 在 a,b 上每一项都有连续的导函数， x0a, b 为un x 的收敛点，且 u' x在 a,b

20、 上一致收敛，则ndd（ 2.6）dx un xdxun x 以上两项性质指出， 在一致收敛的条件下， 逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导 11 2.4 小结本章系统地介绍了一致收敛性的概念，判定方法及性质本章所介绍的六项性质不但可以应用于求函数列的极限函数以及函数项级数的6长春师范大学本科毕业论文和函数，同时还可以通过这六项定理， 由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性例如我们由一个函数项级数的连续性就可以看出它的和函数的连续性，且和函数求积求导也可以利用函数项级数逐项求积求导的方式来进行运算而函数项级数un x 逐项求积求导也是和un x 与u'n x 是否一

21、致收敛紧密相关的而把函数转化为级数，利用逐项求积的性质对函数的解析性进行证明与判断也是函数的解析性中极为常用的手段由此我们也可以看出一致收敛性在函数的解析性中拥有着极其重要的作用7长春师范大学本科毕业论文第三章关于函数的解析性的初步认识想要了解一致收敛性在函数的解析性中的重要作用 除了要了解什么是一致收敛性，如何判别它，它有什么性质之外，还要了解课题中的另一关键点， 函数的解析性而函数的解析性即为函数的连续性，可积性，可微性本章简要地介绍了函数的连续性， 可积性，可微性的定义， 以及简要的性质与证明方法3.1 函数的连续性3.1.1 函数连续性的定义设函数 fx在点 x0 的某个邻域内有定义，

22、 若 limf xf x0 ，则称 fx 在点 x0 处xxo连续；若函数 fx 在区间 I 上的每一点都连续，则称函数f x 在区间 I 上连续3.1.2 一致收敛性在函数的连续性中的应用证明：函数 f xsin nx在,上连续sin nx1n3证 由sin nx在,上一致收敛n3n3 知3nsin nx'cosnxcosnx11cos nx因，而，由收敛知,上一n3n2222n2在nnn致收敛又 cos nxn1,2,在,上连续，由函数项级数逐项可导定理知f x 具有n2连续的导数，从而 fx 也连续3.2 函数的可积性函数的解析性中包含了连续性， 可积性，可微性，本章节简要地介绍

23、了函数的可积性可积函数类（ 1）若函数 f 在区间 a,b 上连续，则函数f 在区间 a, b 上可积；（ 2）若有界函数f 在区间 a,b 上仅有有限个间断点，则函数f 在区间 a, b 上可积；（ 3）若函数 f 在区间 a,b 上单调，则函数 f 在区间 a, b 上可积以上定理通常称为积分的充分条件，即为可积函数类一致收敛性在函数的可积性中的应用例 3.1 设 un x13 ln 1 n2 x2 ， n 1,2, .已知函数项级数un x 在 0,1 上n一致收敛，讨论其和函数的可积性8长春师范大学本科毕业论文解 由于un x 在 0,1 上一致收敛，每一个un x 在 0,1 上连续

24、，由函数项级数的连续性定理以及逐项可积定理可知，un x 的和函数 S x 在 0,1 上连续且可积3.3 函数的可微性本章的前两节已经初步阐述了函数的连续性与可积性， 本节就函数的可微性进行简单的讨论3.3.1 函数的可微性的定义设函数 zf x, y 在点 P0x0 , y0 的某邻域 U P0 上有定义，对于U P0 中的点P x, yx0x, y0y ，若函数 f 在点 P0 处的全增量 z可表示为zf x0x, y0yf x0 , y0AxB y o（ 3.1）其中 A ， B 仅是与点 P0 有关的常数，x2y2 ， o是较高阶的无穷小量，则称 f 在点 P0 可微并称上式中关于x

25、 ， y 的线性函数 A xB y 为函数 f 在点 P0 的全微分，记作dz Pdf x0 , y0A xB y （ 3.2）0一致收敛性在函数的可微性中的应用函数的解析性中就包含了函数的可微性， 而欲要证明函数的可微性， 一致收敛性是一个十分实用的手段例 3.2 设 un x13 ln 1 n2 x2 ， n 1,2, . 已知函数项级数un x 在 0,1 上一致n收敛，讨论其和函数的可微性证 已知函数项级数un x 在 0,1 上一致收敛，由于每一个 un x 在 0,1 上连续，由un' x2x2x2n22nx2x212 ，n 1,2, ，n 1n1 nn即 12 也是 u&

26、#39;n x 的优级数 n故 un' x 也在 0,1 上一致收敛由逐项可导定理可知， S x 在 0,1 上可微3.4 小结本章系统地介绍了函数的解析性的内容， 即函数的连续性， 可积性，可微性的定义，简单性质以及证明方法在函数的解析性的概念中， 我们不难看出函数的解析性是可以和它的可微性等性质等同的由此为切入点，可看出一致收敛性在函数的解析性中有极其重要的作用9长春师范大学本科毕业论文函数的解析性实际上也就是函数的连续性，可积性，可微性而在对函数的解析性进行证明时， 一致收敛性都是一项十分实用的工具无论是函数列， 函数项级数自己本身的一致收敛性， 还是由其衍生出的六大定理在探讨函

27、数的解析性时都是十分重要的理论10长春师范大学本科毕业论文第四章一致收敛性在函数的解析性中的应用4.1 利用函数列判断函数的解析性例 4.1试讨论函数列 fnxnx在区间 xa,a 0 上的一致收敛性以及nx1其极限函数的连续性，可积性，可微性解 limf nx 1fx ， xa,nsupf n xfxsupnx1xx1nxa ,a,sup11，1nx10 nxa ,na所以nx一致收敛于 1n， xa, a 01nx由 fx1知 fx 在 a,上连续，可微，不可积4.2利用幂级数求函数的积分例 4.2 设 S xxn 1， x1,1 ，计算积分x2S t dt n 1n0解xn 11x1,1

28、 ，由 M 判别法知xn 1在 1,1上一致收敛，显然n2n2n2xn 1xx t n 1xnn2n1,2,L在1,1 上连续，由逐项可积定理可知0S t dtn 10 n2 dtn 1 n3 4.3 小结在本章中，通过两个具体的应用例子说明了一致收敛性在函数的解析性中的应用在 4.1 中利用函数列的一致收敛性来判断函数的解析性；而在4.2 中利用函数项级数求其和函数的积分由此可见一致收敛性及其各种性质在函数的解析性中应用范围之广泛而往往一项知识是否重要都是由它应用的是否广泛来决定的，一致收敛性在函数的解析性中应用之广泛足以证明它在函数的解析性中有着举足轻重的重要地位11长春师范大学本科毕业论

29、文第五章结论本文主要研究了一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用， 论文主要做了以下几个方面的工作：（ 1）首先介绍了一致收敛性的概念，几种证明方法以及性质；（ 2）其次介绍了函数的解析性的内容以及一些一致收敛性的简单应用；（ 3）在以上两点的基础上，通过一些例子观察出一致收敛性在函数的解析性中的应用以上三点结合起来总结出一致收敛性在函数的解析性中的重要作用就是本文的探究方向首先，我们由第二章可以看出， 由函数列与函数项级数的一致收敛性可以判别其极限函数与和函数是否连续，可积，可微紧接着，在第三章中， 首先我们就可以看出一个函数的可微性等性质是等同于它的解析性的而有些时候我们在判别一个函数的解析性时我们是可以把它转换为函数列或函数项级数进行判断的在第四章中，我们对利用函数列判别其极限函数函数的解析性以及通过函数项级数求其和函数的积分两点都进行了举例由以上几点可知， 在研究函数的解析性时， 一致收敛性有着极其重要的作用 它可以直接应用于对一个函数的解析性的判别， 也可以应用于函数的解析性的许多分支之中可以说一致收敛性是一项对函数的解析性极其基本且重要的知识12长春师范大学本科毕业论文致谢在论文的最后，要感谢给予我支持的导师，家人以及同学在导师孜孜不倦的指导和