湘教版数学选修2-2分层训练：6-3(2)数学归纳法(二)含解析

1、6.3数学归纳法 (二)一、基础达标n3n4(nN* )，验证1用数学归纳法证明等式 1 2 3 (n 3)2n1 时，左边应取的项是()A1B12C123D1234答案 D解析等式左边的数是从1 加到 n3.当 n1 时， n34，故此时左边的数为从1 加到 4.2用数学归纳法证明“ 2n>n21 对于 nn0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取()A2B 3C 5D6答案C解析当 n 取 1、2、3、4 时 2n>n21 不成立，当 n5 时， 2532>52 1，第一个能使 n 21 的 n 值为 5，故选 C.262 >n3用数学归纳法证

2、明不等式111127*)成立，其初始值至1 n164(nN242少应取()A7B8C 9D10答案B11111 n1解析2左边 1 n11 2 n1，代入验证可知 n 的最小242212值是 8.11111*4用数学归纳法证明不等式 n 1 n 2 2n>24(nN)的过程中，由 nk递推到 nk1 时，下列说法正确的是()A增加了一项12 k1B增加了两项112k 1和2 k1C增加了 B 中的两项，但又减少了一项1k1D增加了 A 中的一项，但又减少了一项1k 1答案C111解析当 n k 时，不等式左边为 k1k2 2k，当 n k1 时，不等式左边为11111，故选 C.k2k3

3、 2k2k12k 2用数学归纳法证明“3(n1)3 (n2)3*)能被9整除”，要利用归纳5n(nN假设证 nk1 时的情况，只需展开 _答案(k3)3解析假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3(k 1)3(k 2)3 能被 9 整除当nk1 时， (k1)3(k2)3(k3)3 为了能用上面的归纳假设，只需将(k 3)3 展开，让其出现k3 即可6已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN* )依次计算出 S1，S2， S3，S4 后，可猜想 Sn 的表达式为 _2n答案Snn 143682n解析S11，S23，S324，S45，猜想 Sn .n1已知正数

4、数列*)中，前 n项和为n，且 2Snan 1 ，用数学归纳法7 an( nNSan证明： annn 1.1 1证明 (1)当 n1 时 a1S1 2 a1a1 ，2 a11(an>0)， a11，又101， n 1 时，结论成立(2)假设 n k(k N* )时，结论成立，即akkk1.当 nk 1 时， ak 1Sk1Sk1 ak1 11ak 12ak 12ak1 ak1111k 1kk12a2k k 1112 ak1ak 1 k2 ak12 kak 1 1 0，解得 ak 1 k 1 k(an，>0) n k1 时，结论成立由 (1)(2)可知，对 nN* 都有 an n n

5、1.二、能力提升8k(k3，k N*)棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k 1)为()Af(k) k 1Cf(k) kBf(k) k1Df(k)k2答案A解析三棱柱有0 个对角面，四棱柱有2 个对角面 0 20(31) ；五棱柱有5 个对角面2 3 2 (4 1) ；六棱柱有9 个对角面545(51) ； .猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 (k1)棱柱有 f(k)k 1 个对角面9对于不等式n2nn1(nN* )，某学生的证明过程如下：当n1 时，12 1 1 1，不等式成立假设 n k(nN* )时，不等式成立，即k2 k k 1，则 n k 1 时，12

6、k1 k2 3k2< k23k2 k 2 k2 2(k 1)1，k所以当 nk1 时，不等式成立，上述证法()A过程全部正确Bn1 验证不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 n k 1 的推理不正确答案D解析从 n k 到 nk1 的推理中没有使用归纳假设， 不符合数学归纳法的证题要求11111.假设 nk 时，不等式成10用数学归纳法证明 2232 2>22n 1n立则当 n k 1 时，应推证的目标不等式是 _答案1111212>2232 k2k1k 21 12k3解析观察不等式中的分母变化知，111111222k122> 23kk221k3.111511求证： n

7、 1 n 2 3n>6(n2，nN* )(1)当 n2 时，左边1111 5证明3456>6，不等式成立*111 5(2)假设当 nk(k2，k N )时命题成立，即 k 1 k 2 3k>6.则当 nk1 时，11 1 11111 1 k1 23k3k1 3k1 k2k 12 3 k 1 k1111153k 3k13k23k3k 1 6111153k13k 23k3k1 6115 6，3× 3k3 k1所以当 nk1 时不等式也成立由 (1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN* 均成立12已知数列2 an 中， a1 3，其前n 项和Sn 满足an Sn 1

8、2(n 2)，计算SnS1， S2，S3， S4，猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法加以证明1解当 n2 时， an SnSn 1SnSn2.1 SnSn 12(n2)2则有： S1 a1 3，1 3S2 S12 4，1 4S3 S22 5，S41 5，326S由此猜想： Sn n 1* n 2(nN )用数学归纳法证明：2(1)当 n1 时， S1 3 a1，猜想成立(2)假设 n k(k N* )猜想成立，k1即 Sk k2成立，1那么 nk1 时， Sk1 Sk 21k1 k22k 2k1 1 k 3 k1 2.即 nk 1 时猜想成立由 (1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论均

9、成立三、探究与创新13已知递增等差数列n满足： 11，且 a1，a2， a4 成等比数列 a a(1)求数列 an 的通项公式 an；(2)若不等式111111 m对任意nN*，试猜想出2a1·2a2· ·2an2an1实数 m 的最小值，并证明解 (1)设数列 an 公差为 d(d0)，由题意可知 a1·a4a22，即 1(13d)(1 d)2，解得 d1 或 d 0(舍去 )所以， an 1 (n1) ·1n.1 3 52n1m，(2)不等式等价于 ··· ·2n2 4 62n1335当 n1 时， m2 ；当 n2 时， m8；3353而 2 8 ，所以猜想， m 的最小值为2 .3下面证不等式1 3 52n 12*恒成立··· ·2n对任意 nN2 4 62n1下面用数学归纳法证明：3证明(1)当 n1 时，1 2 1，成立23231 3 52k12成立，(2)假设当 nk 时，不等式， ··· ·2k2 4 62k131 3 52k1 2k 122k 1当 nk 1 时，··· ·2k··，2 4 6222k2k