江苏省2022年高考数学考试真题与答案解析

江苏省2022年高考：数学卷考试真题与答案解析

一、选择题

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若集合〃="1五<4},N={x|3xNl},则()

A.{x|0<x<2}B.'x^<x<2>C.{x|3<x<16|D,<x1<x<16>

答案：D

［详解］Af={x10Vx<16},N={xIxN；},故〃ClN=Wx<16",

故选：D

2.若i(l-z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案：D

答案详解：由题设有l-z=；=/=_i,故z=l+i,故z+T=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

3.在“6。中，点。在边上，BD=2DA.记乱=玩，而=万，则赤=()

A.3万一2万B.—2而+3元C,3玩+2为D.2方+3元

答案：B

答案详解：因为点。在边力6上，BD=2DA,所以亦=2次，即而-赤=2(Z-①)，

所以而=3丽-20=312而=-2玩+3万.

故选：B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库

水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MO.Okn?;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积

为180.0匕/，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上

升到157.5m时,增加的水量约为(e=2.65)()

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

答案：c

答案详解：依题意可知棱台的高为脑V=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体

积L

棱台上底面积S=140.0km2=i40xl()6m2,=180.0km2=180xl06m2,

•展l"s+s，+唇)=9x(140x106+180x106+Ji40xi80xl0i2)

31

=3X(320+60V7)X106»(96+18x2.65)xl07=1.437xl09®1.4xl09(m3).

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

1112

A.-B.-C.TD.~

63J

答案：D

答案详解：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：⑵4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，

——21-72

故所求概率P=

故选：D.

/兀、2乃

6.记函数/(x)=sin[0x+]J+b(0＞O)的最小正周期为若^＜「＜乃，且＞=八对的图象关

于点仔，2)中心对称，则/图=()

35

A.1B.-C.-D.3

答案：A

2‘)7.2)22)2

答案详解：由函数的最小正周期乃茜足二<7〈万，彳导口~<一(万，解得2<0<3,

33CO

/31\37r

又因为函数图象关于点［彳，2)对称，所以春。+?TV=左肛％eZ,且b=2,

125

1571\.

---—x+—+2

32f(x)=sin24)

所以/(1)=sin((乃+?)+2=l.

故选：A

7.设a=O/e°」,b=<，c=-ln0.9,贝ij()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

答案：C

]x

答案详解：设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/(力="票—1=一下,

当XG(-1,0)时，/'(》)>0,当xe(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数/(x)=山(1+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

11

OO

故

所

所

以

<-1一0-<->

/(In999In—=-ln0.9即b〉c,

9，

191Q111

所以/(-历)</(0)=0,所以In历+正<°,故历<"，所以记e"<§,

故"b,

1(x2-11eA+1

设g(x)=xe、+ln(l-x)(0<x<l),则g,(x)=(x+l)ev+―-=-----—,

令〃(x)=ev(x2-l)+l,h\x)=e'(x2+2x-l),

当0<x<3-1时，"(x)<0,函数〃(x)=e'(x2—I)+l单调递减，

当庭—1<X<1时,，(x)>0,函数人(1=心(/-1)+1单调递增,

又〃(0)=0,

所以当0<x(正-1时，3)<°,

所以当0<x(夜一1时，g'(x)>。，函数g(x)=xe、+ln(l-x)单调递增，

所以g(O1)>g(O)=O,gpO.le0'>-ln0.9,所以

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36〃，且

3</<373,则该正四棱锥体积的取值范围是()

2781

A.B.

2764

D.[18,27]

C.彳T

答案：C

答案详解：••・球的体积为36万，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为筋,高为〃，

则『=2/+人2,32=2a2+(3-/?)2,

所以6"=/，2a2-I2—h2

112/4-1(广、

所以正四棱锥的体积/=§5%=3、4/、"=丁(/2_正》1=就/4_*

1(切但力

所以广=54/3-T

°7

当34”2c时，广>0,当2G<"36时，r<0,

所以当/=2几时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值为竽,

又/=3时，%=彳，/=3百时，V=—,

27

所以正四棱锥的体积厂的最小值为二,

2764

所以该正四棱锥体积的取值范围是yy

故选：C.

二、选择题

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正方体[88-48CQ,则（）

A.直线8a与所成的角为90°B.直线8G与所成的角为90°

C.直线8G与平面88Q。所成的角为45。D.直线8G与平面/I6C。所成的角为45°

答案：ABD

答案详解如图，连接6。、BQ,因为所以直线8G与6。所成的角即为直线8G

与所成的角，

因为四边形88CC为正方形，则故直线8G与所成的角为90。，A正确；

连接4°,因为44,平面8Gu平面88CC,则

因为8C，8G,44nBe=4,所以8G，平面44C,

又4CU平面48C,所以8G~LC4,故B正确；

连接4G,设4。043=°,连接8。，

因为_L平面44CQ,G。u平面4B£Di,则C,01B】B,

因为B[DiCB[B=Bi,所以G。，平面B8Q。，

所以NCR。为直线BC、与平面B8QZ）所成的角，

设正方体棱长为则孝，BC\=6,

1,sinZC15O=1^=1j

所以，直线8G与平面85QO所成的角为30。，故C错误；

因为平面Z8CO,所以NG8C为直线8G与平面Z6C。所成的角，易得NC；8C=45。,

故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/(x)=x3—x+1,则()

A.有两个极值点B.〃x)有三个零点

C•点(0,1)是曲线y=〃x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

答案：AC

答案详解：由题，/(x)=3x~-1,令/(x)〉0得x>；•或xc-1",

令1f(x)<0得

所以“X)在(-理，理)上单调递减，在(-8,-弓)，(弓,+«))上单调递增，

所以x=±］是极值点，故A正确；

因/(—乎)=1+乎>0,/(q)=1一半>0,2)=—5<0,

3y3y

所以，函数/(x)在-8,-乎)上有一个零点，

当时，/(%)>./'［^>0,即函数/(X)在j坐，也［上无零点，

综上所述，函数"X)有一个零点，故B错误；

令九(x)=x3—x,该函数的定义域为R,/?(—X)=(—X》—(―x)=-Y+x=-A(x),

则〃(x)是奇函数，(0,0)是〃(x)的对称中心，

将Mx)的图象向上移动一个单位得到-a)的图象，

所以点(°，1)是曲线y=〃x)的对称中心，故C正确；

令/(X)=3F—1=2,可得X=±1,又/(1)=〃-1)=1,

当切点为(1』)时，切线方程为N=2XT,当切点为(7,1)时，切线方程为N=2x+3,

故D错误.

故选：AC

11.已知。为坐标原点，点41，1）在抛物线U/=2勿（p>0）上，过点8（0,-1）的直线交C于

P,Q两点，贝U（）

A.C的准线为V=-lB.直线与C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA^

答案：BCD

答案详解将点A的代入抛物线方程得1=2。，所以抛物线方程为-=九故准线方程为y=~,

A错误；

的3=TV=2,所以直线45的方程为y=2x-l,

1—u

y=2x-l

联立[2„，可得F-2x+l=0,解得x=l,故B正确；

[X=y

设过3的直线为/,若直线/与J'轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁=依-1,尸（西,乂）,。（》242）,

[y=Ax-1

联立丫2„,得f一丘+1=0,

△=〃一4>0

所以彳为+》2=左，所以左>2或左<—2,必为=（芭々）2=1,

X|X2=1

又|OP|=,|O0|=J1+*=,

所以。尸卜。。|-《必为。+必+必）=故正确;

II）（1Jgxkx?=1kl>2=|OAI",C

因为15Pl=VT7F|xj,1521=71^1^1,

所以|8尸|・|80|=（1+左2）|项马1=1+左2>5,而|民4『=5,故D正确.

故选：BCD

12.已知函数〃x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/[-2，，g(2+x)

均为偶函数，贝IJ()

A./(0)=0B.g[-|j=0C./(-1)=/(4)D.g(-D=g⑵

答案：BC

(3、

答案详解：因为/弓-2x,g(2+x)均为偶函数，

所以/[|'_2》)=/('|+2》加/(|•-x)=/('|+x,g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C正确;

3

函数/*),g(x)的图象分别关于直线x=5，x=2对称，

又ga)=ra),且函数/a)可导，

所以8《卜―。-力=-g(x).

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=_g(x+l)=g(x),

所以g(一;)=g1||=°,g(T)=g0)=-g(2),故B正确，D错误；

若函数/(X)满足题设条件，则函数〃x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定,(X)

的函数值，故A错误.

故选：BC.

三、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11-三|(》+处的展开式中。6的系数为(用数字作答).

答案：-28

答案详解：因为[1一?1》+少)8=(》+力8-9(》+#:

所以1l—£|(x+V)'的展开式中含》2歹6的项为艮=-28/歹6,

(1一51x+力*的展开式中X2/的系数为-28

故答案为：-28

14.写出与圆/+产=1和（x-»+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程________________.

35725,

答案：二一个十々或"正a五或'=

答案详解：圆f+y2=i的圆心为。（o,O）,半径为1,圆（x—3）2+3—4）2=16的圆心g为

34）,半径为4,

两圆圆心距为,32+4?=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为/时，因为%q二§,所以勺=一]，设方程为y=-1X+W>°）

d=——=1535

。到/的距离,解得/=1,所以/的方程为y=-1X+z，

当切线为“时，设直线方程为依+y+p=o,其中2>0,左<0,

㈤=iL__Z

上IJl+公,I--24_725

由题意+4+p|_，解得，_25,）；~24A~24

・飞武=4[°=五

当切线为〃时，易知切线方程为x=-l,

35725

故答案为：y=-4X+4^y=24X~24^X=~1-

15.若曲线V=（x+a）e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________.

答案：（一8,一4）"0,+力）

答案详解：..,■y=（x+a）e'，.,.：/=（x+l+a）e'，

设切点为（%，％），则%=（%+。）物,切线斜率%=伉+1+a）铲，

切线方程为：y_（xo+a）e'。=（/+1+4）小卜―/）,

・•・切线过原点，・.・一（工。+。）*=（%+1+。）△（-5）,

整理得：X；+ax。-a=0,

切线有两条，.•・6=。2+4。>0,解得4<一4或4〉0,

。的取值范围是（一0°，-4）5°，+动，

故答案为：（-咫-4）u（O,+力）

V*2V2.

16.已知椭圆C：/+%=l（a>b>0）,C的上顶点为“，两个焦点为耳，离心率为一过

耳且垂直于工工的直线与C交于。，E两点，1°色=6,则的周长是

答案：13

c1

答案详解：...椭圆的离心率为e=-=w，二。=2。，.•.〃=/一C2=3C2,二椭圆的方程为

a2

22

2+^=1，BP3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为6,右焦点为B,如图所示，V

兀

AFi=«»°E=c，a=2c,二△/乃为正三角形，•.•过百且垂直于N巴的直

线与C交于。E两点，OE为线段“鸟的垂直平分线，，直线的斜率为日，斜率倒数为

右，直线。E的方程：x=^3y-c,代入椭圆方程3犬+4/-12,2=0,整理化简得到：

13/-6V3cy-9c2=0,

判别式.二仅石。）+4x13x9c2=62xl6xc2,

|。。|=Jl+（百）比-夕2〕=2x4=2x6x4x^=6,

c二得pa=2nc=113,

8，

.・.。£为线段/工的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,/£=%，二”OK的周长等于

△BDE的周长，利用椭圆的定义得到△月。£周长为

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFi|+|EF}|=|DFy|+|DF2\+\EF}\+\EF2\=2a+2a=4a=13^

故答案为：13.

四、解答题

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

[S]1

17.记S,为数列｛。,｝的前〃项和，已知q=L:是公差为可的等差数歹上

（1）求｛4｝的通项公式；

111c

（2）证明：—+—+—<2.

%。2%

答案：（1）4=笠'（2）见解析

第（1）题解析：

S

・二%=1,£=%=1,二心=1,

S]1

又「:是公差为a的等差数列，

S〃11/1、〃+2(〃+2)氏

・—=l+-(n-l)=------•v='____人上

7'一〃

''an3'33

.•・当〃"时，S,~J

(〃+2)/(〃+(%

整理得：(〃一I)%=(〃+i)q

a〃+1

即二nF

•a=ax—

a\aia,.-2%

,34nn+\»(M+1)

=1x—x—x…x------x--------=--------

23n-2M-12

显然对于〃=1也成立，

.••{%}的通项公式％=及=9；

第(2)题解析：

1==2nn

an+1〃n+lj

…一cosAsin25

18-记"8C的内角4&c的对边分别为ab,C,已知

「24

(1)若0=彳，求卅

2.J2

(2)求丁的最小值•

答案：(1)，(2)4&-5.

第(1)题解析:

cosAsin252sin5cos5sin5

闵--------=----------=-------------=------

1+sin/1+cos252cos2Bcos5

兀c兀

即sinB=cosAcos8-sin4sinB=cos(4+8)=-cosC而。B所以8=7；

2<<5

第(2)题解析:

7C八c兀

由(1)知，sinS=-cosC>0所以5<。<兀,0<3<5,

而sin5=-cosC=sinC--

TTTT

所以。=万+8,即有工=5一28.

「a1+Z)2sin2/I+sin2Bcos225+1-cos2B

所以——=----一=------------rr--------

csinCcosB

222

(2cos5-1)4-1-cosBc2r-r-

-----------------------------=4COS25+--——5>2V8-5=4V2-5-

cos-B----------------cos-B

nr212

当且仅当cos2^=当时取等号，所以的最小值为40-5.

2c

19.如图，直三棱柱ZBC-44G的体积为4,△48C的面积为2VT

(1)求力到平面48c的距离；

(2)设。为4c的中点，AA=AB,平面48c•1平面N844,求二面角8。-C的正弦

值.

A

答案：（1）72;（2）看

第（1）题解析：

在直三棱柱中，设点/到平面48c的距离为h,

解得人=亚,

所以点/到平面48c的距离为行；

第（2）题解析：

取48的中点£连接如图，因为所以ZE_L48,

又平面ABCI平面ABB.A,,平面A,BCA平面ABBXAX=A.B,

且NEu平面所以NE，平面48。，

在直三棱柱中，8用,平面48。，

由8Cu平面4BC,8Cu平面N8C可得4EJ.8C,BBJBC,

又AE，BB\u平面/且相交，所以8C_L平面,

所以8C,氏4,84两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由（］）得AE=6,所以14=/3=2,48=2狡，所以8C=2,

则/(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点。(1,1,1),

则丽=(1,1,1),直=(0,2,0),Z=(2,0,0),

—m-BD=x+y+z=0

设平面/田的一个法向量加=(x),z),贝方一.，

m-BA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

一Im-BD=67+ft+c=0

设平面8。。的一个法向量〃=(见"c),贝一

[m-BC=2Q=0

可取;7=(0』,一1),

/----\m-n11

则叫私〃)=丽=不近=5,

所以二面角-。的正弦值为

2

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不

够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，力表示事件“选到的人卫生习惯不够良好"，8表示事件"选

P(B|A)P(B\A)

到的人患有该疾病”.p(9।与尸,।团的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为启

P(J|B)P(A|B)

(i)证明.Rn=---—~-=^■

')证明,P(A\B)P(A15),

(ii)利用该数据，给出P(小6)，P(m8)的估计值，并利用(i)的结果给出用的估计值.

n(ad-bc)2

附片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案：(1)答案见解析(2)(i)证明见解析；(ii)A=6;

第(1)题解析：

叱2n(ad-bc)2200(40x90-60xlO)2»

由日知K-=-------------------------=----------------------—24

卬=初(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

yP(^2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

第(2)题解析：

_P(g|N)P团*)/(/8)P(eP(")pp)

⑴因为~P(B\A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB),

/甲P(邛)

所以一P(B)P(AB)P(耳)P(A月)

m/K-p。网p(mg)

所以P(A\B)P(AI5),

(ii)

由已知P(加5)=崔，尸(川与)=瑞,

—60——90

又P(m3)=而，P(A\B)=

100'

P(A\B)P(A\B)

所以H==----------=—o

尸"么P(*B)P{A\B)

r2v2

21.已知点42,1)在双曲线C：r—*=l(a>l)上，直线/交C于尺。两点，直线为P/。

a"a-1

的斜率之和为0.

（1）求/的斜率；

（2）若tanNP/0=20,求△4。的面积.

答案：（1）T；⑵啜

第（1）题解析：

r2V241

因为点4（2,1）在双曲线==上，所以=一二二=1,解得/=2,即双曲线

a~aaa

C-.—-y2=1

2.

易知直线/的斜率存在，设/：V=H+m,。&,乂）,。（吃）2）,

y=kx-\-m

联立后-2=1可得，（1一2左2）12-4mkx-2m2-2=0

所以，再+》2=-粤7，中2=桨［,A=16加&+4（2*+2）（2公-1）>0=/一1+2r>0

2.K—12k—1

所以由3P+与/>=°可得，之三+芸=°，

即（须一2）（去2+〃?-1）+（工2-2）（hq+/H-1）=0,

即2kxix2+（〃?一1一2人）（玉+x2）-4（/n-1）=0,

所以2人器+（加一「2左）/券卜4（〃?-1）=。,

乙K—11乙K—1J

化简得，8F+44-4+4加（左+1）=0,即/+1）（2左-1+加）=0,

所以左=一1或加=1一2左，

当〃?=1-2左时，直线/:y=履+加=左（》-2）+1过点4（2,1）,与题意不符，舍去，

故％=T.

第（2）题解析：

不妨设直线P4P8的倾斜角为4/7（&</），因为储「+牖-=°,所以。+£=兀,

因为tan/R40=2后，所以tan（夕一e）=2&,即tan2a=-2应，

即41tan2a-tan«-V2=0,解得tanQ=后,

于是，直线P4：尸行（x-2）+1,直线P8:y=-后（工-2）+1,

y=V2(x-2)+l

联立J-可得，芦+2（1-2及）x+10-4G0,

因为方程有一个根为2,所以％,力=’学

FBrg10+4/、，_-472-5

同理可得，XQ=---,yQ=---

所以P0：x+y-；=O,|P0|=g,

2+14|2V2,

点A到直线也的距离［=

3

故△时的面积为全会手=苧

22.已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ar-lnx有相同的最小值.

(1)求(7；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=〃x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左

到右的三个交点的横坐标成等差数列.

答案：(1)4=1(2)见解析

第(1)题解析：

/(X)=e、—4X的定义域为R,而f'(x)=e*-a,

若a«0,则/'(x)>0,此时/(x)无最小值，故。>0.

g(x)=ax-Inx的定义域为(0,+oo),而gQ)=。_=竺二1.

XX

当x<lna时，/'(x)<0,故“X)在(-*Ina)上为减函数，

当x>lna时，/'(x)〉°,故/(X)在(Ina,+8)上为增函数，

故/（x）min=/（lna）=a—alna

当。时，g'(x)<。，故g(x)在J上为减函数,

当X>：时，g'(x)>。，故蚣)在g+oo]上为增函数,故g(X『g用=1-*

因为/(x)=e、一办和g(x)=ax-inx有相同的最小值,

..1.Q—11

故ITn1="—alna