二重积分习题总结学习教案

1、会计学1二重积分习题二重积分习题(xt)总结总结第一页，共29页。定定 义义几何几何(j h)(j h)意义意义性性 质质计算计算(j sun)(j sun)法法二重积分二重积分一、主要一、主要(zhyo)内容内容第1页/共28页第二页，共29页。无关）无关）与分法无关、点的取法与分法无关、点的取法(),(lim),(10 niiiiDyxfdyxf 性质性质与定积分相类似的性质（线性性、对称性与定积分相类似的性质（线性性、对称性 对区域对区域(qy)的可加性、比较性、估值、中值）的可加性、比较性、估值、中值）计算计算(j sun)化化二二次次积积分分利利用用变变量量代代换换利利用用极极坐坐标

2、标利利用用直直角角坐坐标标选选择择坐坐标标 定义定义第2页/共28页第三页，共29页。 ),(),(0),(),(),(2),(1yxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD当当当当则则 D关于关于x轴对称（轴对称（x轴上方轴上方(shn fn)部分为部分为D1)D关于关于y轴对称（轴对称（y轴右边轴右边(yu bian)部分为部分为D1) ),(),(0),(),(),(2),(1yxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD当当当当则则 第3页/共28页第四页，共29页。D关于关于x轴、轴、y轴均对称（第一轴均对称（第一(dy)象限部分为象限部分为D1) ),(),(),(0),(),(),

3、(4),(1yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD，或或当当，当当则则 第4页/共28页第五页，共29页。二重积分的计算二重积分的计算(j sun)(j sun),:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行穿过区域且平行于于y轴的直线与区域边界相交不多于两轴的直线与区域边界相交不多于两个个(lin )交点交点.（）直角坐标（）直角坐标(zh jio zu bio)系下系下第5页/共28页第六页，共29页。 Y型区域型区域(qy)的特点：穿过区域的特点：穿过区域(q

4、y)且平行于且平行于x轴的直线与区域轴的直线与区域(qy)边界相交边界相交不多于两个交点不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型第6页/共28页第七页，共29页。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下第7页/共28页第八页，共29页。.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrr

5、rfd,20:3 D).(0 r第8页/共28页第九页，共29页。(3)(3)二重积分的换元法：二重积分的换元法：.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理第9

6、页/共28页第十页，共29页。注意注意(zh y)以下几点以下几点1 根据被积函数和积分区域根据被积函数和积分区域(qy)的特点，合理的特点，合理选择坐标系和积分次序。选择坐标系和积分次序。)()(),(D22yxfyxf 、极坐标给出、极坐标给出或一部分或一部分圆周圆周极坐标系极坐标系直线、抛物线、双曲线直线、抛物线、双曲线直角坐标系直角坐标系被积函数被积函数的边界的边界坐标系坐标系第10页/共28页第十一页，共29页。注意注意(zh y)以下几点以下几点2 积分积分(jfn)的关键是定限，定限的关键是将的关键是定限，定限的关键是将D用联立不等式表示出来。用联立不等式表示出来。（1）直角坐标

7、系：先判断区域的类型，若）直角坐标系：先判断区域的类型，若为为X型，先将区域型，先将区域D投影到投影到x轴上，定出轴上，定出x的的变化范围变化范围a,b, 然后然后(rnhu)用过用过a,b内任内任意点且平行于意点且平行于y轴的直线去穿轴的直线去穿D,得到得到).()(21xyx ,:bxaD ).()(21xyx 第11页/共28页第十二页，共29页。注意注意(zh y)以下几点以下几点2 积分的关键积分的关键(gunjin)是定限，定限的关键是定限，定限的关键(gunjin)是将是将D用联立不等式表示出来。用联立不等式表示出来。（2）极坐标系：先定出）极坐标系：先定出 的变化范围的变化范围

8、 然然后以后以 内任意角为极角，从原点引一条射内任意角为极角，从原点引一条射线去穿线去穿D, 得到得到 ).()(21 r , ,第12页/共28页第十三页，共29页。注意注意(zh y)以下几点以下几点利用利用(lyng)函数的奇偶性与积分区域的对函数的奇偶性与积分区域的对称性称性 计算。计算。 DDDdyxfyxfyxfdyxfdyxfyxfyxfDDD0),(),(),(),(2),(),(),(x)1(11 的上半部分，的上半部分，是是轴对称，轴对称，关于关于第13页/共28页第十四页，共29页。二、典型二、典型(dinxng)例题例题利用重积分利用重积分(jfn)的性质或交换积分的性

9、质或交换积分(jfn)次序次序来来 证明等式或不等式。证明等式或不等式。2 重积分重积分(jfn)与二次积分与二次积分(jfn)的转化。的转化。3 重积分的计算。重积分的计算。第14页/共28页第十五页，共29页。设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题第15页/共28页第十六页，共29页。 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答(jid)则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdx

10、xf第16页/共28页第十七页，共29页。故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 第17页/共28页第十八页，共29页。例例1 1。有有界界区区域域，求求围围成成的的平平面面及及是是由由曲曲线线其其中中满满足足设设连连续续函函数数),(),()cos(),(),(2yxfxyxyDdxdyyxfxyxexyxfyxfDy 解解332),()cos(),(),(102aedxdyadyxedxdxdyyxfaaxyxexyxfadxdyyxfDxxyDyD 239ea 第18页/

11、共28页第十九页，共29页。239)cos(),(exyxexyxfy 第19页/共28页第二十页，共29页。1、计算、计算(j sun)二重积分二重积分所围；所围；其中其中、所围；所围；其中其中、1, 1,:,)(1(2,31:,1322222 xyxyDdyxyfxyxyyDdyxyDD 2ln21123 25 第20页/共28页第二十一页，共29页。2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉先去掉(q dio)绝对值符号，绝对值符号，如图如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxd

12、x.1511 第21页/共28页第二十二页，共29页。xyxDdxdyyxD2:,)(3222 ：计算：计算答案答案(d n)：23 累次积分；累次积分；为极坐标系中的为极坐标系中的、化、化dyyxfdxx 2010),(4第22页/共28页第二十三页，共29页。5 5解解）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a第23页/共28页第二十四页，共29页。6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybnd

13、yyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf1)(11)(.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa第24页/共28页第二十五页，共29页。7 7解解所围成所围成及及由由其中其中计算计算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即第25页/共28页第二十六页，共29页。),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv第26页/共28页第二十七页，共29页。8 8、9、 1)(1)(:1 , 0)(,1 , 0C)(1010 dxxfdxxfxfxf证明证明上不变号，上不变号，在在且且设设.)(lim, 0)0()(3220222tdxdyyxfftftyxt 求求可微，且可微，且设设第27页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结会计学。