曲线的凹凸性与拐点

1、第六节第六节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 内容提要内容提要 1.函数的凹凸性及其判别方法函数的凹凸性及其判别方法; 2.拐点及其求法拐点及其求法. 教学要求教学要求 掌握函数的凹凸性及其判别方法掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法拐点及其求法. 一、曲线凹向的定义一、曲线凹向的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo)(xfy 曲线弧位于任一曲线弧位于任一切线下方切线下方xyo)(xfy 曲线弧位于任一曲线弧位于任一切线上方切线上方ABC曲线的凹凸曲线的凹凸,可以用函数的二阶导数的符号来判定可以用函数的二阶导数的符号来判定.定理定理.,)(, 0

2、)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 定义定义1 设函数设函数f (x)在在a，b上连续上连续,在在 可导，在曲可导，在曲线上任取一点做切线，曲线弧位于任一切线上方线上任取一点做切线，曲线弧位于任一切线上方,则称则称曲线在曲线在a，b上是上是凹的凹的；如果；如果曲线弧位于任一切线下方曲线弧位于任一切线下方,则称曲线在则称曲线在a，b上是上是凸的凸的.),(ba说明：说明：（1）曲线凹凸的

3、判定图形解释曲线凹凸的判定图形解释xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则：）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则：+ ,0 y,0 y cbxaxy 2),( 0 y0 y例例1 利用二阶导数验证二次函数利用二阶导数验证二次函数曲线的凹凸性曲线的凹凸性.解：函数的定义域为解：函数的定义域为当当a0时时,抛物线开口向上抛物线开口向上,曲线是凹的曲线是凹的.当当a0 xyoa0时时,如下表如下表解：函数的定义域为解：函数的定义域为 ab3, ,3ab)(xfy y x令令0 y，得，得abx3

4、ab3 内内凸凸的的在在 aby3,.,3,内内凹凹的的在在 ab0 xyoa0ab3 当当a0时时,如下表如下表 ab3, ,3ab)(xfy y xab3 内内凹凹的的在在 aby3,.,3,内内凸凸的的在在 aba0 xyoab3 0 abxabaxy3626二、曲线的拐点及其求法二、曲线的拐点及其求法定义定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点的拐点.拐点的求法拐点的求法:;)(,),()2(的的符符号号每每个个小小区区间间上上考考察察再再在在分分成成小小区区间间大大依依次次将将用用上上述述各各点点按按照照从从小小到到xfba .,)()

5、(,(,), 2 , 1 , 0()(3)否否则则不不是是的的拐拐点点是是曲曲线线则则两两侧侧近近旁旁异异号号在在某某点点若若xfyxfxixxfiii ;)(0)(),(),(1)不不存存在在的的点点的的点点和和内内使使找找出出在在先先求求xfxfbaxf .)(0)(,)(,(,.)(,000不不存存在在的的点点的的点点或或只只可可能能是是使使的的横横坐坐标标曲曲线线拐拐点点因因此此必必然然异异号号近近旁旁所所以以拐拐点点左左右右两两侧侧分分界界点点由由于于拐拐点点是是曲曲线线凹凹凸凸的的xfxfxxfxxf 注意注意: 1434 xxy),( 23124xxy 21224122 xxxx

6、y例例3 求曲线求曲线的凹、凸区间及拐点的凹、凸区间及拐点0, 01 xy得得22 x若令若令解：函数的定义域为解：函数的定义域为,列表列表所以所以, y在区间在区间(,0)及及(2,)上是凹的上是凹的, 在在(0,2)上是凸的上是凸的, 拐点有拐点有(0,1)和和(2, 15).y (,0)0(0，2)2(2,)+00+拐点拐点拐点拐点xy.3的的凹凹凸凸性性并并求求其其拐拐点点讨讨论论曲曲线线xy ,3132 xy,9435 xy.,0不不存存在在时时 yx 解解例例4.3），的定义域为（的定义域为（函数函数 xy), 0(x)(xy )(xfy )0 ,(0所以所以, y在区间在区间(,

7、0)是凹的是凹的, 在在 (0,)上是凸的上是凸的,(0,0)是拐点是拐点.0不存在不存在+说明说明2:.)(,)(000）也也可可能能是是拐拐点点（处处二二阶阶不不可可导导在在若若xfxxxf.0,31拐拐点点处处二二阶阶不不可可导导，但但它它是是在在如如 xxy.000)0(,)(4）不不是是拐拐点点，但但（如如 fxxf说明说明1:函数有二阶导数函数有二阶导数.)(,00）是是拐拐点点（xfx0)(0 xf说明说明3:.0)(:xxxf不不可可导导点点及及二二阶阶的的点点拐拐点点横横坐坐标标的的可可疑疑点点 注注:求求凹凸凹凸 区间及区间及拐点的步骤：拐点的步骤：.)1(求求定定义义域域.)2(y 求求.0:)3