壳定理（精编版）

1、牛頓的萬有引力定律：221rmmgf，這個定律只能適用於質點嗎如果 m1、m2不是質點，而是有實際大小的物體（如長棒、圓球等等） ，那怎麼算呢我們先來計算由一個具有相當大小的物體對於在p點質量mp的質點所造成的重力f。將此物體分割成許多無限小的質量素dm ，如圖，每一質量素dm所提供的重力：2rdmgmdfp現在要計算在 p點的總重力，因此要把所有的dm積分，2rdmgmdffp，不同位置的dm，所對應的 r 是不一樣的，因此要積分需先將dm以長度 ( r)表示，這和求質心及轉動慣量的方法是一樣的。我們現在來算在p點每單位質量所受的萬有引力，也就是計算這一大塊質量在 p點產生的重力場21rdm

2、gdfmmfgpp例題 1質量m長度l的薄長棒在 p點（相距 d，如圖）所造成的萬有引力場是多少解：將dm以長度x( 在這裡，我們將代表長度的r 換成x) 表示，令dm= dx,是線密度（單位長度的質量，=m/l），每個質量素 dm所提供的萬有引力場為：2xdxgdg因此總力場：)(112dldgmdldlgdldgxdxgdggdld由上可知，將一個質量為mp的質點放在 p點處，質點所受到長棒的萬有引力為：)(dldmgmfp想一想長棒的重心，不是應該在棒子的中心（即距離p點 d+l/2 的地方）嗎那為什麼算出來的萬有引力是)(dldmgmfp，而不是2)2/(ldmgmfp呢類題 1（解答

3、在此份講義的最後面）設質量 m 、半徑 r之半圓環的線密度為（單位：kg/m） ，求圓心位置處之重力場強度。長棒的重心不是在長棒的中心（質心） ，那圓球的重心是在球心位置嗎蘋果和地球之間的萬有引力 ，可以將地球的萬有引力視為質量集中在地心處嗎牛頓先生用微積分解決了這個問題。牛頓先生提出一個殼層定理 (shell theorem)，內容是說：由物質構成的均勻球殼對球殼外一質點的吸引力，可以視為球殼質量集中於球心時對該質點的吸引力 。 。一層一層的球殼疊起來就是一個球，因此這個定理可以延伸為點質量定理（point mass theorem） ，也就是： 質量均勻分佈的球對外部質點的吸引力，看起來像

4、所有質量都集中在球心一樣。現在我們就來做下面的例題：例題 2球殼半徑為r，面密度（單位： kg/m2） ，試求出均勻球殼作用在一質點（質量m）上的力，以證明牛頓先生的殼層定理解：因球殼上各點的作用力方向大小均不一致，故上面所說的定理並非顯而易見。事實上，它給牛頓帶來許多困擾。我們先求一個質量m ，半徑為 a 的環在 p點產生的重力場。環上的每一個質量素dm在 p點產生的萬有引力是一個向量，分為x方向和 y 方向，而且每一個y 座標為 +y 的質點所產生的重力場，均會有一對應之質量素，其y 座標為 -y ，提供另一反方向的場將之抵銷。由對稱性可知，圓環在p點位置產生的萬有引力並無y 分量只有x

5、分量。我們現在來算圓環在p點處所產生的力場：coscos2sdmgdgdggx環我們來找、 s、x 這幾個變數之間的關係：22,cosaxssx，其中 s、x 這二個變數和積分無關，可以提到積分符號外，因此，33sgmxdmsxgg環（方向： x 方向）類題 2上式中22axs，因此上式也可以寫成2/3223)(axgxmdmsxgg環請利用這個結果，將一個個圓環積分，證明質量 m 、半徑 r的圓盤，在距離盤心x 的地方所產生的重力場)1(2)1 (222222rxxrgmrxxgg。（推導過程請參考halliday, fundamentals of physics,6th,22-7）（上面二

6、個圖是從 22-7 copy 過來的，有一個小小錯誤，老師沒給它改過來，萬有引力是吸引力，所以圖上的力的方向畫反了。你會自己改過來吧！）現在我們將這些環積分，積成一個球殼，3sxdmgdgg環球殼在這個積分式裡，dm= 2r(r d)= 2(rsin)(r d)，是球殼的面積密度， r 會隨著改變， r=r sin。所以，32sin2sdxrgdgg環球殼積分裡有三個變數， s、x、，它們彼此之間有關係，因此我們要先把它們的關係找到：由餘弦定理： s2 = r2 + d2 - 2rdcos，左右二邊微分得sds = rd sind，另外，drdsrdsdrrdrdx2)2(cos222222，

7、將找到的這二個關係代入上面的積分式，得到rdsdssdrdsrgsdxrgdgg322223212)(2sin2環球殼現在積分裡面只剩下一個變數s 了，從 d-r積到 dr，積分的值會等於22d(這個積分，就留給你慢慢積喔！)。因此，222222)2)(4(2)2(2dgmdrmrgdrgg球殼若 p點處有一質量為 m 的質點，那麼半徑r質量 m的球殼對此質點的萬有引力為2dmmgf，d為球殼心到質點的距離，這就是牛頓先生所說的殼層定理想一想如果點是在球殼的內部，那麼積分就要從r-d積到 rd，先猜猜看，積出來的萬有引力大小為多少答案是零，你猜對了嗎積積看，看答案是不是真的是零。想一想，球殼在

8、其內部一點所產生的重力場為零，這代表什麼物理意義呢習題 1：(halliday, fundamentals of physics,8th, ch13,problem24)two concentric shells of uniform density having masses m1and m2are situated as shown in the figure. find the magnitude of the net gravitational force on a particle of mass m, due to the shells, when the particle is

9、located at (a) point a, at distance r = a from the center, (b) point b at r= b, and (c) point cat r= c. the distance ris measured from the center of the shells.(answer.(a)f=g(m1+m2)m/a2 (b)f=gm1m/b2(c)zero)習題 2：(halliday, fundamentals of physics,8th, ch13,problem27)a solid sphere of uniform density

10、has a mass of 104 kg and a radius of m. what is the magnitude of the gravitational force due to the sphere on a particle of mass mlocated at a distance of (a) m and (b) m from the center of the sphere (c) write a general expression for the magnitude of the gravitational force on theparticle at a dis

11、tance r m from the center of the sphere.習題 3：(halliday, fundamentals of physics,8th, ch13,problem80)a uniform solid sphere of radius r produces a gravitational acceleration of agon its surface. at what two distances from the center of the sphere is the gravitational acceleration ag/3 (hint: consider

12、 distances both inside and outside the sphere.)3/rr3rr萬有引力（或力場）是一個向量，在積分時必須考慮它的方向，以這一題為例，我們要先選擇適當的座標系，讓所要積分的東西有對稱性，讓 y 方向都抵銷掉，因此積分時只要積x 方向。記得u= - df/dx嗎如果我們能利用 重力位能 （或重力位） 來積分，因為它是純量，積分時可以不必考慮方向性，積完之後再微分加個負號，就可以得到力，我們來試試看！例題 3球殼半徑為r，面密度（單位： kg/m2） ，試求出均勻球殼和一質點（質量m）之間的重力位能，再微分求力，以證明牛頓先生的殼層定理先計算質點 m跟此

13、質量素間的位能會顯得更簡單我們可以將球殼細分成寬度rd的許多環，而每一質量素 dm上的諸點與場點間的距離均相同。sdmgmdup質量素 dm可以寫成rdrdmsin2由餘弦定理cos2222rddrs，微分得drdsdssin將以上關係式代入得：dsrdrgmsdrgmduupp)1(2sin222變數s的範圍由s=d-r到s = d+r，且面密度24 rm，故總位能：把重力位能 u除以 p點質點的質量mp，即 u/mp，就是單位質量的重力位能，這個物理量稱為 重力位。 重力位能和重力位相當於電磁學裡的電位和電力位能 ；dmgmrrmdrgmrdrddrgmdsrdrgmuppprdrdp)2

14、)(4(22222d是球殼中心和質點間的距離，習慣上我們以 r 來表示：即rmgmrup)(因此萬有引力可以寫成：2)()(rmgmdrrdurfp球殼作用在質點mp上距離（ r=d 時）的重力為：2ddmgmfpr如果要算質量均勻分佈的整個球體，可以看成是許多球殼的合成，故可適用相同的結論，這就是牛頓所稱的點質量定理。想一想變換s的積分區間為由rd到rd ，可以證明球殼內部之位能為常數。球殼內部任一點的位能為常數是什麼意思呢能不能由此求得球殼在其內部一點所產生的重力場是多少呢例題 4證明密度為（單位： kg/m3） ，半徑為 r的均勻實心球體，其重力場隨距離的關係如下圖。解：若 p點在球內，

15、 (rr) ，則可將整個球體視為是許多球殼的合成，也就是牛頓所稱的點質量定理。2rgmg考慮重力是一個向量，方向指向球心，若有一質量mp的質點在球外距離球心 r 的地方，此質點所受到這個實心球（半徑r質量 m ）產生的重力為2rmgmfp例題 5 (halliday, fundamentals of physics,6th,sample problem14-4)設地球為均勻的圓球體，半徑r質量 m ，若有一通道貫穿地球的南北極，則質量 mp的質點在這個通道上，距地心r 的地方（ rr）所受的重力為何這個質點在這個通道上會做什麼運動解：根據上面的推論 ，質點所受的力為krrrmgmfp3負號表示重力 f的方向與位移 r 的方向相反，這正是虎克定律，因此，此質點在這個通道上做簡諧運動。事實上，地球內部的重力場強度比地表還要大的。原因在於地球並非是均勻球體，每一殼層的密度並不相同，越靠近地心，密度越稠密。地球內部場的變化情形見圖b。此外，地球不是正球形，且地球會自轉都會影響實際的g 值。類題 1設質量 m 、半徑 r之半圓環的線密度為（單位：kg/m） ，求圓心位置處之重力場強度。解：每一個質量素dm在圓心位置產生的萬有引力是一個向量，分為x 方向和 y 方向，而且每一個 x 座標為 +x 的質量素所產生的重力場，