湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)（精编版）

1、省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石! a、14 题， 根底送分题，做到不失一题！a1.集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为aa；空集是任何集合的子集，记为a；空集是任何非空集合的真子集；如果ba，同时ab，那么a = b如果cacbba，那么，【注意】：z= 整数 z =全体整数 集合s中a的补集是一个有限集，那么集合a也是有限集 空集的补集是全集假设集合a=集合b，那么 cba=，cab =cscab=d注：cab = 2、假设=123,na aaa，那么的子集有2n个，真子集有

2、21n个，非空真子集有22n个 . 3、 abcabacabcabac（）（）（） ,（）（）（）；abcabcabcabc（）（）, （）（）4、 de morgan 公式 :()uuucabc ac b；()uuucabc ac b. 【提醒】：数轴和韦恩图是进展交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。a2. 命题的否认与否命题*1. 命题pq的否认与它的否命题的区别：命题 pq 的否认是pq , 否命题是pq . 命题“p或q的否认是“p且q, “p且q的否认是“p或q. *2. 常考模式：全称命题p

3、：,( )xmp x；全称命题p 的否认p：,( )xmp x. 特称命题p：,( )xmp x；特称命题p 的否认p：,( )xmp x. a3. 复数运算*1. 运算律：mnm nzzz；()mnmnzz；1212()(,)mmmzzz zm nn. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用围. *2. 模的性质：1212| |z zzz；1122|zzzz；nnzz. *3. 重要结论：2222121212|2 |()zzzzzz；2212zzzz；212ii；11iii，11iii；i性质： t=4；1, 1,4342414nnnniiiiii. 【拓展】：3211101或13

4、i22. a4. 幂函数的的性质与图像变化规律：(1) 所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)0a时，幂函数的图像通过原点，并且在区间0,)上是增函数特别地，当1a时，幂函数的图像下凸；当 01a时，幂函数的图像上凸；(3)0a时，幂函数的图像在区间(0,)上是减函数 在第一象限， 当x从右边趋向原点时，图像在y轴12yx3yx12yxyx1xy1ocbau. . . . 1 / 49 右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握1 11,2,3,2 3a的这 5 类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(

5、0,1)，并且1x时图像都经过(1,1) ，把握好幂函数在第一象限的图像就可以了. a5. 统计1. 抽样方法：(1) 简单随机抽样 ( 抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2) 分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异. 共同点：每个个体被抽到的概率都相等nn. 2. 总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 总体估计掌握：一“表(频率分布表 ) ；两“图 ( 频率分布直方图和茎叶图). 频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小

6、组的频率大小.频率 =样本容量频数. 小长方形面积=组距组距频率=频率 . 所有小长方形面积的和=各组频率和 =1. 【提醒】： 直方图的纵轴( 小矩形的高 ) 一般是频率除以组距的商( 而不是频率 ) ，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. 茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字， 两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间局部像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3. 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数：12111()nniixxxxxnn4. 用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差( 方差大波

7、动差). (1) 一组数据123,nx xxx样本方差2222121()()() nsxxxxxxn222111111()()()nnniiiiiixxxxnnn；样本标准差2222121()()() nsxxxxxxn=211()niixxn(2) 两组数据123,nx xxx与123,ny yyy, 其中iyaxb,1,2,3,in. 那么yaxb, 它们的方差为222yxsa s, 标准差为|yxa假设12,nx xx的平均数为x，方差为2s，那么12,naxb axbaxb的平均数为axb，方差为22a s. 样本数据做如此变换：iixaxb，那么xaxb，222()sa s. b、(

8、5 9，中档题， 易丢分，防漏 / 多解 ) b1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：1当0a时，假设0axbyc表示直线l的右边， 假设0axbyc那么表示直线l的左边 . 2当0b时，假设0axbyc表示直线l的上方， 假设0axbyc那么表示直线l的下方 . 2、设曲线111222:()()0ca xb yca xb yc12120a a b b ，那么111222()()0axb yca xb yc或0所表示的平面区域：两直线1110axb yc和2220a xb yc所成的对顶角区域上下或左右两局部. 3、点000(,)p xy与曲线(),fx y的位置关系：假设曲线( ,)

9、f x y为封闭曲线圆、椭圆、曲线|xaybm等 ，那么00(),0fx y，称点在曲线外部；假设( , )fx y为开放曲线抛物线、双曲线等，那么00(),0fxy，称点亦在曲线“外部. 4、直线:0laxbyc，目标函数zaxby. 当0b时，将直线l向上平移，那么z 的值越来越大；直线l向下平移，那么z 的值越来越小；当0b时，将直线l向上平移，那么z 的值越来越小；直线l向下平移，那么z 的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数方程的几何意义：1zaxby，假设0b，直线在 y 轴上的截距越大，z 越大，假设0b，直线在y 轴上的截距越大， z 越小 . 2ymxn表示过两点,x

10、 yn m 的直线的斜率，特别yx表示过原点和, n m 的直线的斜率. 322txmyn表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. 422yxmyn表示,x y 到点0,0的距离 . 5(cos ,sin)f；60022axbycdab；722aabb；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点)sin,(cos与余弦定理进展转化达到解题目的。b 2. 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为根底三角代换是以三角函数的值域

11、为根据，进展恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进展恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角 ( “配与“凑) 、函数名 ( 切割化弦 ) 、次数 ( 降与升 ) 、系数 ( 常值“ 1 ) 和 运算结构 ( 和与积 ) 的变换，其核心是“角的变换 . 角的变换主要有：角与特殊角的变换、角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等 . 具体地：1角的“配与“凑：掌握角的“和、“差、“倍和“半公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2，22；22，222；()()2

12、222；22()2()()()()()；2()，2()；154530 ,754530；424等. . . . . 3 / 49 2“降幂与“升幂次的变化利用二倍角公式2222cos2cossin2cos12sin1和二倍角公式的等价变形2cos2sin12，2sin 2cos12，可以进展“升与“降的变换，即“二次与“一次的互化 . 3切割化弦名的变化利用同角三角函数的根本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题. 经常用的手段是“切化弦和“弦化切. 4常值变换常值3321,1, 32232可作特殊角的三角函数值来代换. 此外，对常值“1”可作如下代换：22221sincosse

13、ctantancot2sin30tansincos042xxxxxx等. 5引入辅助角一般的，222222sincos(sincos)sin()ababababab，期中2222cos,sin,tanabbaabab. 特别的，sincos2 sin()4aaa; sin3 cos2sin()3xxx，3sincos2sin()6xxx等. 6特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简. 举例：22sin 20cos 50sin 20 cos50a，22cos 20sin 50cos20 sin50b可以通过12sin70 ,sin 702abab两式和，作进一步化简. 7整体代

14、换举例：sincosxxm22sincos1xxmsin()m，sin()n，可求出sincos,cossin整体值，作为代换之用. b 3. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1) 角的变换因为在abc 中， abc三角和定理 ，所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：三角都是锐角；三角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方. 即，sinsin()abc；coscos()abc；tantan()abc22sincosabc；22cossinabc；22tancota

15、bc. (2) 三角形边、角关系定理与面积公式，正弦定理，余弦定理面积公式：11sin()()()22asshabcrpp papapa. 其中r为三角形切圆半径，p为周长之半tantantantantantan1222222abbcca (3) 对任意abc ， ；在非直角abc 中， tantantantantantanabcabc (4) 在abc中，熟记并会证明：*1.,abc成等差数列的充分必要条件是60b*2.abc 是正三角形的充分必要条件是,abc成等差数列且, , ,a b c成等比数列* 3. 三边, ,a b c成等差数列2bac2sinsinsinabc1tantan2

16、23ac；3b. *4. 三边, , ,a b c成等比数列2bac2sinsinsinabc,3b. (5) 锐角abc 中,2absincos ,sincos,sincosabbcca，222abc；sinsinsincoscoscosabcabc . 【思考】：钝角abc 中的类比结论(6) 两角与其正弦值：在abc 中，sinsinabababcos2cos2ba，(7) 假设cba，那么2222cos2cos2cosxyzyzaxzbxyc. b 4. 三角恒等与不等式组一33sin33sin4sin,cos34cos3cos2222sinsinsinsincoscos323tant

17、antan3tantan() tan()13tan33组二tantantantantantanabcabcsinsinsin4coscoscos222abcabccoscoscos14sinsinsin222abcabc222sinsinsin22coscos cosabcabc组三常见三角不等式(1) 假设(0,)2x，那么sintanxxx；(2) 假设(0,)2x，那么1sincos2xx；(3) |sin|cos| 1xx；(4)xxxfsin)(在), 0(上是减函数；b5.概率的计算公式：古典概型：()ap a包含的基本事件的个数基本事件的总数；等可能事件的概率计算公式：( )()

18、( )mcard ap ancard i；互斥事件的概率计算公式：p(a+b) p(a)+p(b) ；对立事件的概率计算公式是：p(a)=1 p(a) ；独立事件同时发生的概率计算公式是：p(a?b) p(a)?p(b) ；独立事件重复试验的概率计算公式是：( )(1)kknknnp kc pp( 是二项展开式 (1 p)+pn的第 (k+1)项). 几何概型：假设记事件a=任取一个样本点，它落在区域g ，那么 a的概率定义为( )gap a的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）注意： 探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解( 分类

19、或分步 )转化思想处理： 把所求的事件. . . . 5 / 49 转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ；转化为假设干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率， 转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率， 但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.【说明】：条件概率 ：称)()()|(apabpabp为在事件a发生的条件下，事件b发生的概率。注意：0(|)1p b a； p(b c|a)=p(b|a)+p(c|a)。b6. 排列、组合1解决有限制条件的( 有序排列，无序组合

20、) 问题方法是：直接法：位置分析法元素分析法用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手. 2解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置。间接法对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉)。相邻问题捆绑法把相邻的假设干个特殊元素“捆绑为一个大元素，然后再与其余“普通元素全排列，最后再“松绑，将特殊元素在这些位置上全排列。不相邻 (相间 ) 问题插空法 某些元素不能相邻

21、或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。一样元素分组可采用隔板法。? 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类. 3分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以!n . b7.最值定理,0,2x yxyxy由，假设积()xyp定值，那么当xy时和xy有最小值2p；,0,2x yxyxy由，假设和()xys定值，那么当xy是积xy有最大值214s.【推广】：ryx,，那么有xyyxyx2)()(22. 1假设

22、积xy是定值，那么当|yx最大时，|yx最大；当|yx最小时，|yx最小 . 2假设和|yx是定值，那么当|yx最大时，| xy最小；当|yx最小时，| xy最大 . , , ,ra x b y，假设1axby，那么有：21111()()2 ()byaxaxbyababababxyxyxy, , ,ra x b y，假设1abxy那么有：2()2()aybxxyxyabababxyb8. 求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间, m n上的最值；二是求区间定动，对称轴动定的最值问题。求二次函数的最值问

23、题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系 . 逆求法：通过反解，用y来表示x，再由x的取值围，通过解不等式，得出y的取值围，型如,(, )axbyxm ncxd的函数值域；换元法： 化繁为间， 构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法： 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法： 利用根本不等式2( ,)abab a br求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值， 型

24、如)0(kxkxy，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法： 函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、 距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；别离常数法： 对于分子、 分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数别离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域判别式法：对于形如21112222a xb xcya xb xc1a,2a不同时为0的函数常采用此法【说明】：对分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进展求解

25、，不必拘泥在判别式法上，也可先通过局部分式后，再利用均值不等式：1.2bykx型，可直接用不等式性质；2.2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式；3.22xm xnyxmxn型，通常用判别式法；4.2xm xnymxn型，可用判别式法或均值不等式法；? 导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. b9.函数值域的题型( 一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段. 常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数. ( 二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域. 解题步骤： (1) 换元变形；(2) 求变形完的常规函数的自变量取值围；(3) 画图像，定

26、区间，截段。( 三) 分式函数求值域：四种题型(1)cxdyaxb(0)a：那么cya且yr. (2)(2)cxdyxaxb：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的围解不等式求y 的围 . (3)2223261xxyxx：(21)(2)21()(21)(31)312xxxyxxxx，那么1y13y且且yr. (4) 求2211xyxx的值域，当xr时，用判别式法求值域。2211xyxx2(2)10yxyxy，2(2)4 (1)0yy y值域 . . . . . 7 / 49 ( 四) 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段. 判断单调性的方法：选择填空题首选

27、复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性局部知识讲解. ( 五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域. ( 六) 值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与值域对照求字母取值或围. b10. 应用根本不等式求最值的“八种变形技巧：凑系数乘、除变量系数. 例 1. 当04x时，求函的数(82 )yxx最大值 . 凑项加、减常数项：例 2.54x，求函数1( )4245f xxx的最大值 . 调整分子：例3. 求函数2710( )(1)1xxf xxx的值域； 变 用 公 式 ： 根 本 不

28、 等 式2abab有 几 个 常 用 变 形 ：222abab,2()2abab，2222abab，222()22abab. 前两个变形很直接，后两个变形那么不易想到，应重视；例4. 求函数152152 ()22yxxx的最大值；连用公式：例5.0ab，求216()yab ab的最小值；对数变换：例6.1,12xy，且xye，求ln(2 )ytx的最大值；三角变换：例7.20yx，且tan3tanxy，求txy的最大值；常数代换逆用条件：例 8.0,0ab，且21ab，求11tab的最小值 . b11. “单调性补了“根本不等式的漏洞：平方和为定值假设22xyaa为定值，0a ，可设cos ,

29、sin,xaya，其中02. ( , )sincos2sin()4f x yxyaaa在150,2 )44上 是 增 函 数 ， 在15,44上是减函数；1( ,)sin 22g x yxya在13570,2 )4444上是增函数， 在1357,4444上是减函数；11sincos( ,)sincosxym x yxyxya.令sincos2 sin()4ta，其中2, 1)( 1,1)(1,2t.由212sincost，得22sincos1t，从而222( , )1(1)()tm x ya ta tt在2, 1)( 1,1)(1,2上是减函数 . 和为定值假设xybb为定值，0b ，那么.y

30、bx2( , )g x yxyxbx在(,2b上是增函数，在,)2b上是减函数；211( ,)xybm x yxyxyxbx. 当0b时，在(,0),(0,2b上是减函数，在, ),( ,)2bbb上是增函数；当0b时，在(, ),( ,2bbb上是减函数，在,0),(0,)2b上是增函数 .2222( , )22n x yxyxbxb在(,2b上是减函数，在,)2b上是增函数；积为定值假设xycc为定值，0c ，那么.cyx( ,)cf x yxyxx. 当0c时，在,0),(0,cc上是减函数，在(,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数；111( , )()xycm

31、x yxxyxycx. 当0c时 ， 在,0),(0,cc上 是 减 函 数 ， 在(,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数；222222( , )()2ccn x yxyxxcxx在(,),(0,cc上是减函数，在(,0,)cc上是增函数 . 倒数和为定值假设112xydd为定值，1 11,x dy ，那么.cyx成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中1zd，那么1111,zzxdyd得,.11ddxydzdz. 222( )1df xxyd z. 当0d时，在11(,),(,0dd上是减函数，在110,),(,)dd上是增函数；当0d时，在11(,),(,0dd上是

32、增函数，在110,),(,)dd上减函数；222( ,).1dg x yxyd z. 当0d时，在11(,),(,0dd上是减函数，在110,),(,)dd上是增函数；当0d时，在11(,),(,0dd上是减函数，在110,),(,)dd上是增函数；222222222(1)( , ).(1)dd zn x yxyd z.令221td z，其中1t且2t，从而22222( ,)4(2)4d tdn x yttt在1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数 . b 12. 理解几组概念*1. 广义判别式设( )f x是关于实数x的一个解析式，, ca b都是与x有关或无关的实数且0a， 那么240b

33、ac是方程2( )( )0a f xbf xc有实根的 必要条件 ，称“为广义判别式. *2. 解决数学问题的两类方法：一是从具体条件入手, 运用有关性质,数据 , 进展计算推导, 从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构 , 找出某些本质属性, 进展恰当的核算, 从而使问题容易解决, 这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数设有两个独立的变量x与 y 在其给定的变域中d中，任取一组数值时， 第三个变量z就以某一确定的法那么有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x 与 y 的二元函数 . 记作：( ,)zfx y. 其中 x 与 y. . . . 9 / 49 称为自变量，函数z

34、也叫做因变量，自变量x 与 y 的变域d称为函数的定义域. 把自变量x 、 y 与因变量z当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面作出函数( ,)zf x y的定义域d；再过d域中得任一点( ,)mx y作垂直于 xoy 平面的有向线段mp，使其值为与( ,)x y对应的函数值z；当m点在d中变动时，对应的p点的轨迹就是函数( ,)zf x y的几何图形 . 它通常是一曲面，其定义域d就是此曲面在xoy平面上的投影. *4. 格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点又称整数点. 在数论中， 有所谓格点估计问题. 在直角坐标系中， 如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多

35、边形. 特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个根本概念. *5. 连续点我们通常把连续点分成两类：如果0 x 是函数( )f x的连续点，且其左、右极限都存在，我们把0 x 称为函数( )f x的第一类连续点；不是第一类连续点的任何连续点，称为第二类连续点. *6. 拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点. 如果( )yf x在区间( , )a b具有二阶导数，我们可按以下步骤来判定( )yf x的拐点 . (1) 求( )fx；(2) 令( )0fx，解出此方程在区间( , )a b实根；(3) 对于 (2) 中解出的每一个实根0 x，检查( )fx在0 x左、右两侧邻近

36、的符号，假设符号相反， 那么此点是拐点，假设一样，那么不是拐点. *7. 驻点曲线( )f x在它的极值点0 x处的切线都平行于x轴，即0()0f x. 这说明， 可导函数的极值点一定是它的驻点 ( 又称稳定点、临界点) ；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性定义在d上的函数()fx，如果满足： 对任意2,x xd1的都有221()()()22xxffxf x11，那么称是()fx上的凸函数. 定义在d上的函数如果满足：对任意的2,x xd1都有221()()()22xxff xfx11，那么称( )f xd是上的凹函数 . 【注】：一次函数的图像直线既是凸的又是

37、凹的上面不等式中的等号成立. 假设曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，那么称这段弧是凹的；假设曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，那么称这段弧是凸的. 连续曲线凹与凸局部的分界点称为曲线的拐点. b13. 了解几个定理*1. 拉格朗日中值定理:如果函数( )yf x在闭区间 , a b上连续，在开区间( , )a b可导，那末在( , )a b至少有一点c，使( )( )()( )f bf abafc成立 . 这个定理的特殊情形，即：( )( )f bf a的情形 . 描述如下：假设( )x在闭区间 , a b上连续， 在开区间( , )a b可导， 且( )( )ab，那么在( , )a

38、 b至少有一点 c ，使( )0c成立 . *2. 零点定理 ：设函数）（xf在闭区间,ba上连续，且( )( )0f af b 那么在开区间),(ba至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点 ab使0)(f*3. 介值定理 ：设函数)(xf在闭区间,ba上连续，且在这区间的端点取不同函数值，bbfaaf)(,)(，那么对于ba,之间任意的一个数c ，在开区间),(ba至少有一点，使得cf)( a b *4. 夹逼定理 ：设当00|xx时，有( )g x( )fx)(xh，且axhxgxxxx)(lim)(lim00，那么必有.)(lim0axfxx【注】 ：0|xx：表示以0 x为的极限，

39、那么|0 xx就无限趋近于零 为最小整数c、 1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力c1.线段的定比分点公式设111(,)p x y，222(,)p xy，( ,)p x y是线段12pp的分点，是实数，且12pppp 或p2p=1p1p ，那么121211xxxyyy121opopop12(1)optopt op 11t推广 1：当1时，得线段21pp的中点公式：121222yyyxxx推广 2：mbam那么1pbpapm对应终点向量 三角形重心坐标公式：abc的顶点332211,yxcyxbyxa，重心坐标yxg,：12312333xxxxyyyy注意：在 abc中，假设0 为

40、重心，那么0ocoboa，这是充要条件【公式理解】 ：*1. 是关键 (1) ( 分) 0 (外分) 0 ( -1) (外分) 0 (-10)假设 p与 p1重合， =0 p与 p2重合， 不存在 p 离 p2 p1无穷远，=1*2. 中点公式是定比分点公式1的特例；*3. 始点终点很重要，如假设p分21pp的定比 =21，那么 p分12pp的定比 =2；*4.12, ,x x x知三求一；*5. 利用有界性可求一些分式函数取值围；*6.op12oaob那么121是三点、 、pab共线的充要条件. c 2. 抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件如函数的定义域

41、、单调性、 奇偶性、解析递推式等的函数问题. 求解抽象函数问题的常用方法是：(1) 借助模型函数探究抽象函数：正比例函数型：( )f xcx()( )( ),(1)f xyf xf yfc. 指数函数型：( )xf xa( )()()()( )( ),(1,)0f xf xyfyf xyf x f yfa. 对数函数型：( )logaf xx()( )(),()( )( ),( )1(0,1)xffxfyyf xyf xfyf aaa. 幂函数型：( )f xx()( )( ),(1)f xyf x fyf,( )()()xf xfyfy. 三角函数型：( )cosf xx,( )sing x

42、x,()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y,0sin(0)1,lim1xxfx. ( )f xtanx,( )()()1( )( )f xfyf xyfx fy. obap?1pp2p1p2pp?2p1pp?. . . . 11 / 49 2利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等进展演绎探究：3利用一些方法如赋值法令x0 或 1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等 、递推法、反证法等进展逻辑探究。c 3. 函数图像的对称性(1) 一个函数图像自身的对称性性质 1：对于函数( )yf x，假设存在常数, ,a b使得函数定义域的任意x ，都有的图像关于

43、直线2abx对称. 【注】 ：()()(0)f amxf bmxm亦然 . 【特例】，当ab时，()()( )f axf axf x的图像关于直线xa对称 . 【注】 ：( )(2)f xfax亦然 . 性质 2： 对于函数( )yfx， 假设存在常数, ,a b使得函数定义域的任意x ， 都有()()f axf bx( )fx的图像关于点(, 0)2ab对称 . 【特例】：当ab时，()()( )f axf axfx的图像关于点( ,0)a对称 . 【注】 ：( )(2)f xfax亦然 . 事实上，上述结论是广义奇( 偶 ) 函数的性质 . 性质 3：设函数( )yfx，如果对于定义域任意

44、的x ，都有()()f amxf bmx ( , ,0)a b mrm且，那么( )yf x的图像关于直线2abx对称 .( 这实际上是偶函数的一般情形) 广义偶函数 . 性质 4：设函数( )yf x，如果对于定义域任意的x，都有()()f amxf bmx( , ,0)a b mrm且，那么( )yf x的图像关于点(2ab,0)对称 .( 实际上是奇函数的一般情形) 广义奇函数 . 【小结】函数对称性的充要条件函数关系式 ( xr ) 对称性( )()ffxx函数( )f x图像是奇函数( )()ffxx函数( )f x图像是偶函数( )(2)f xfax或()()f axf ax函数(

45、 )f x图像关于直线xa对称( )2(2)f xbfax或()2()f axbf ax函数( )f x图像关于点( , )p a b对称【注】： 这里代数关系式中两个“f 对应法那么 的“x 变量 前的正负号相异， 如果把两个“f放在“的两边，那么“f前的正负号也相异. 因为对称性关乎翻转. (2) 两个函数图像之间的对称性1. 函数( )yf x与( )yfx的图像关于直线0y对称 . 2. 函数( )yf x与()yfx的图像关于直线0 x对称 . 3. 函数( )yf x与()yfx的图像关于原点(0,0)对称 . 4. 函数( )yf x与它的反函数1( )yfx 的图像关于直线yx

46、 对称 . 5. 函数()yf amx与()yf bmx的图像, ,0a b mr m()关于直线2baxm对称 . 特别地，函数()yf ax与()yf bx的图像关于直线2bax对称 . c4.几个函数方程的周期( 约定0a) (1) 假设( )()fxfxa，或()()22af xf xa，那么( )f x的周期 ta ；(2) 假设( )()0f xf xa，或1( )()1( )f xf xaf x，或()()22ffaaxx，或fxafxa，或1fxafx( ( )0)f x，或faxfaxfx为偶函数，或faxfaxfx为奇函数，或faxfaxfx为偶函数，或21( )( )()

47、, ( )0,1 )2f xfxf xaf x，那么( )f x的周期2ta ；(3) 假设1( )1( )0)()fxf xf xa，那么( )f x的周期3ta；(4) 假设faxfaxfx为偶函数，或faxfaxfx为奇函数，或fxafxa，或1( )()1( )f xf xaf x，或1( )()1( )f xf xaf x，或121212()()()1()()f xf xf xxf xf x且1212( )1( ()()1,0|2 )f af xf xxxa ，那么( )f x的周期4ta ；(5) 假设( )()(2 )(3 )(4 )f xf xaf xaf xaf xa( )(

48、)(2 )(3 )(4 )f xf xaf xaf xaf xa ，那么( )f x的周期5ta；(6) 假设()( )()f xaf xf xa，那么( )f x的周期6ta. 【说明】函数yfx满足对定义域任一实数x其中a为常数 , 都有等式成立. 上述结论可以通过反复运用条件来证明. c5.对称性与周期性的关系定理 1：假设定义在r上的函数( )f x的图像关于直线xa和xb ()ab对称， 那么( )f x是周期函数， 且2 ab是它的一个周期. 推论 1：假设函数( )f x满足()()f axf ax与()()f bxf bx()ab， 那么( )f x是以2 ab为周期的周期函数

49、. 定理 2：假设定义在r上的函数( )f x的图像关于点( ,0)a和直线xb ()ab对称， 那么( )f x是周期函数，且4 ab是它的一个周期. 推论 2： 假设函数( )fx满足()()f axf ax与()()f bxf bx()ab， 那么( )fx是以4 ab为周期的周期函数. 定理 3：假设定义在r上的函数( )fx的图像关于点0( ,)a y和0( ,)b y()ab对称，那么( )f x是周期函数，且2 ab是它的一个周期. 推论 3：假设函数( )f x满足0()()2f axf axy与0()()2f bxf bxy()ab，那么( )f x是以2 ab为周期的周期函

50、数. c6.函数图象的对称轴和对称中心举例函 数 满 足 的 条 件对称轴 ( 中心 ) 满足xafxaf的函数xfy的图像或xafxfxafxf2,2 ax满足faxf ax的函数xfy的图像或2,2fxfaxfxfax ,0a满足xbfxaf的函数xfy的图像2bax满足faxf bx的函数xfy的图像,02ab满足xfxf的函数xfy的图像 ( 偶函数 ) 0 x满足fxfx的函数xfy的图像 ( 奇函数 ) 0,0. . . . 13 / 49 满足xafy与xbfy的两个函数的图像2abx满足xfy与xfy的两个函数的图像0 x满足xfy与xfy的两个函数的图像0yc7.函数周期性、

51、对称性与奇偶性的关系1、定义在r上的函数( )f x, 假设同时关于直线xa和2xa对称 , 即对于任意的实数x, 函数( )f x同时满足()()f a xf ax，(2)(2)faxfax，那么函数( )f x是以2ta为周期的周期函数，且是偶函数 . 2、定义在r上的函数( )f x, 假设同时关于直线xa和点(2 ,0)a对称 , 即对于任意的实数x, 函数( )f x同时满足()()f axf ax，(2)(2)faxfax，那么函数( )f x是以4ta为周期的周期函数，且是奇函数 . 3、定义在r上的函数( )f x, 假设同时关于点( ,0)a和直线2xa对称 , 即对于任意的

52、实数x, 函数( )f x同时满足()()f axf ax，(2)(2)faxfa x，那么函数( )f x是以4ta为周期的周期函数，且是偶函数 . 4、定义在r上的函数( )f x, 假设同时关于点( ,0)a和点(2 ,0)a对称 , 即对于任意的实数x, 函数( )f x同时满足()()f axf ax，(2)(2)fa xfa x，那么函数( )f x是以2ta为周期的周期函数，且是奇函数 . 5、假设偶函数( )fx关于直线xa对称，即对于任意的实数x, 函数( )f x满足()()f axf ax，那么( )fx是以2ta为周期的周期函数. 6、假设偶函数( )f x关于点( ,

53、0)a对称，即对于任意的实数x, 函数( )f x满足()()f axf ax，那么( )fx是以4ta为周期的周期函数. 7、假设奇函数( )fx关于直线xa对称，即对于任意的实数x, 函数( )f x满足()()f axf ax，那么( )fx是以4ta为周期的周期函数. 8、假设奇函数( )fx关于点( ,0)a对称，即对于任意的实数x, 函数( )f x满足()()f axf ax，那么( )fx是以2ta为周期的周期函数. 【拓展】：1、假设函数()yf xa为偶函数，那么函数)(xfy的图像关于直线xa对称 . 2、假设函数()yf xa为奇函数，那么函数)(xfy的图像关于点(

54、,0)a对称 . 3、定义在r上的函数( )f x满足()()f axf ax，且方程( )0f x恰有2n个实根，那么这2n个实根的和为2na. 4、定义在r上的函数)(xfy满足()()( , ,)f axf bxc a b c为常数，那么函数)(xfy的图像关于点(, )22a b c对称 . c8.关于奇偶性与单调性的关系. 如果奇函数)(xfy在区间0,上是递增的 , 那么函数)(xfy在区间,0上也是递增的 ; 如果偶函数)(xfy在区间0,上是递增的 , 那么函数)(xfy在区间,0上是递减的 ; 【思考】：结论推导c 9. 几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉与到几何体的棱、

55、侧面、对角面、截面等数量关系与几何性质. 1. 在长方体( , , )a b c中：体对角线长为222cba，外接球直径2222rabc；棱长总和为4()abc；全 ( 表) 面积为2()abbcca，体积vabc；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,那么有cos2+cos2+cos2=1， sin2+sin2+sin2=2. 体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,那么有a33a36a3212va63a1arccos33arccos3c b a pcos2+cos2+cos2=2， sin2+sin2+sin2=1. 2. 在正三棱锥中：侧棱长相等( 侧棱与底面所成角相等)顶点在

56、底上射影为底面外心；侧棱两两垂直( 两对对棱垂直 )顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等( 侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面顶点在底上射影为底面心. 3. 在正四面体中：设棱长为a，那么正四面体中的一些数量关系：全面积23sa；体积3212va；对棱间的距离22da；相邻面所成二面角13arccos；外接球半径64ra；切球半径612ra；正四面体任一点到各面距离之和为定值63ha. 4. 在立方体中：设正方体的棱长为a，那么体对角线长为a3，全面积为26a，体积3va，切球半径为1r, 外接球半径为2r, 与十二条棱均相切的球半径为3r, 那么12ra,223ra,222ra, 且1

57、23123rrr:【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体. 貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、 三棱柱、 球体等问题时， 如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征， 构造相应的“正方体，将问题化归到根本几何体中，会有意想不到的效果. 5. 在球体中：球是一种常见的简单几何体球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小球包括球面与球面围成的空间区域的所有的点球面是到球心的距离等于定长( 半径 ) 的点的集合球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，

58、计算球面距离的关键是“根据经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长球心和截面圆的距离d 与球的半径r与截面圆半径r之间的关系是22rrd. 掌握球面上两点a、b间的距离求法：计算线段ab的长；计算球心角aob 的弧度数；用弧长公式计算劣弧ab的长 . 【注】：“经度是小小半径所成角，纬度是大小半径的夹角. 【补充】：一、四面体1对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的接球的球心

59、；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为 31；12 个面角之和为720，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为1802直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形 在直角四面体中，记v、 l 、s、r、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、外表积、外接球半径、切球半径与侧面上的高，那么有空间勾股定理：s2abc+s2bcd+s2 abd=s2acd 3等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端

60、点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体在等腰四面体abcd 中，记 bc = ad =a，ac = bd = b ，ab = cd = c ，体积为 v，外接球半径为r，接球半径为r ，高为 h ，那么有等腰四面体的体积可表示为22231222222222cbabacacbv；. . . . 15 / 49 等腰四面体的外接球半径可表示为22242cbar；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232cbam；h = 4r二、空间正余弦定理空间正弦定理：sin abd/sin a-bc-d=sin abc/sin a-bd-c=sin