高二空间向量知识点归纳总结（精编版）

1、一知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。babaoaob；baoboaba；)(raop运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则3. 共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。（2）共线向量定理： 空间任意两个向

2、量a、b（b0） ，ababacabobyoaxoc1yxa|aa共面向量：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的条件是存在实数,x y使。byaxp（3）四点共面：若a、b、c 、p四点共面 acyabxap oczobyoaxop，其中1zyx5. 空间向量基本定理：如果三个向量cba,不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组zyx,，使czbyaxp。若三向量cba,不共面，我们cba,把叫做空间的一个基底，cba,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量

3、都可以构成空间的一个基底。推 论 ： 设,o a b c是 不 共 面 的 四 点 ， 则 对 空 间 任 一 点p， 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数, ,x y z， 使oczobyoaxop。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系oxyz中，对空间任一点a，存在唯一的有序实数组( , , )x y z，使zkyixioa，有序实数组( , , )x y z叫作向量a在空间直角坐标系oxyz中的坐标，记作( , , )a x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点 a （x,y,z ）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),

4、关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/ 平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yoz 中的点设为 (0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 , , i j k表示。空间中任一向量),(zyxkzjyi xa（3）空间向量的直角坐标运算律：若),(321aaaa，),(321bbbb，则),(332211babababa，),(332211babababa，)(,(321raaaa，332211babababa，)(,/332211rbabababa0332211bab

5、ababa若),(1,11zyxa，),(222zyxb，则),(121212zzyyxxab。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。中点坐标公式：若111(,)a x y z，222(,)b xyz，当 p 为 ab中点时，)2,2,2(212121zzyyxxpabc中，),(1,11zyxa，),(222zyxb，),(333zyxc， 三角形重心p坐标为)3,3,3(321321321zzzyyyxxxp（4）模长公式：若123(,)aa a a，123(,)bb b b，则232221|aaaaaa，222123|bb bbbb（5）夹角公

6、式：1 1223 3222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb。abc中0? acaba为锐角0? acaba为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若111(,)a xy z，222(,)b xyz，则2222212121|()()()ababxxyyzz，7. 空间向量的数量积：（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点o，作,oaa obb，则aob叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。（2）向量的模：设oaa，则有向线段oa的长度叫做向量a的

7、长度或模，记作：|a。（ 3 ） 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 向 量,a b， 则| | cos,aba b叫 做,a b的 数 量 积 ， 记 作a b， 即a b| | | cos,aba b。（4）空间向量数量积的性质：0baba22|aaaa。（5）空间向量数量积运算律：()()()aba bab。a bb a（交换律）。()abca ba c（分配律）。不满足乘法结合律：)()(cbacba二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2. 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3. 线线夹角（共面与异面）90,0oo两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角，|,cos|cos21nn3-1 线面夹角90,0oo：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量ap与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.|,cos|sinnap3-2 面面夹角（二面角）180,0oo：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1nn的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的