高数D一元函数微分学学习教案

1、会计学1高数高数D一元函数微分学一元函数微分学第一页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 (一)导数与微分若令1.导数定义:则2.左右导数:左导数:右导数:第1页/共37页第二页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 导函数简称导数,且有函数 y = f (x) 在点4.导数的几何意义:处的导数表示曲线y = f (x)在点处的切线斜率.即有曲线的切线方程为3.导函数的定义:曲线的法线方程为yxo0y0 x00()M x ,yTN第2页/共37页第三页，编辑于星期三：七点 十七分。 是 x0时比x 高阶的无穷小量,并称Ax为f (x)在其中

2、A是与x 无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+ ,则称 y = f (x) 在点 x 处可微 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 记为dy ,即dy=Ax .5.微分的定义:由于x=dx ,所以6.微分的几何意义:点 x 处的微分,yxoxTxxdyy当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.第3页/共37页第四页，编辑于星期三：七点 十七分。定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导定理4.(函数与其反函数的导数的关系)可微反函数的导数等于直接函数导数的

3、倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)第4页/共37页第五页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5)(6)(7)设 及(4) 均为可导函数,则复合函数 可导, 且或 (微分形式不变性)8.运算法则(1)(3)(2)第5页/共37页第六页，编辑于星期三：七点 十七分。(3)(1)(2)(4)(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5)(6)(7)(9)第6页/共37页第七页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)第7页/共37页第八页，编辑于星期三：七点 十七分。10

4、.二阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.方程确定的隐函数的导数例例1.设函数 y= y (x) 由方程确定,求解法1:方程两边对x 求导数得:解得方程两边微分得:解法2:sin()sin()x yx ydyyxye.dxexxy解得:第8页/共37页第九页，编辑于星期三：七点 十七分。例例2. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法.例例3. 设第9页/共37页第十页，编辑于星期三：七点 十七分。取对数取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 等式两边对 x 求导数:则有:例例3. 设y.求解法解法2:作

5、作指数对数恒等变形指数对数恒等变形:第10页/共37页第十一页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设则有解解y.求取对数等式两边对 x 求导数:第11页/共37页第十二页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.罗尔定理(1)在闭区间a , b上连续;(3) 且 f (a) = f (b) ;成立.(2)在开区间(a , b)内可导;若函数 f (x) 满足条件:则在开区间(a , b)内至少存在一点 使2.拉格朗日中值定理若函数 f (x) 满足条件:(1)在闭区间a , b上连续;(2)在开区间(a , b)内可导;则在开区

6、间(a , b)内至少存在一点 使等式第12页/共37页第十三页，编辑于星期三：七点 十七分。3. 柯西中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 成立.若函数 f (x) ,F (x) 满足条件:(1)在闭区间a , b上连续;(2)在开区间(a , b)内可导且则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式(三)导数的应用定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导,1. 函数的单调性若对都有则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .第13页/共37页第十四页，编辑于星期三：七点 十七分。设函数 f (x) 在0 x内有定义,x 为该邻域内异于机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、 的任意一点,若恒有(或则称为 f (x) 在该邻域的极大(小)值.极大值与极小值统称为函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2. (函数取得极值的必要条件) 的根称为函数 f (x) 的驻点.则有设函数 f (x)在点 处可导,(可导函数的极值点必为驻点)且在该点处取得极值,0 x第14页/共37页第十五页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第一充分条件)设函数 f (x)在内可导,0()U x(或 f (x)在点0 x处连续但不可导).(1) 若当x 由左至右经过时由“+”变“”,则0()f x为函数的极大值.(2)若当x由左至右经

8、过时由“-”变“+”,(3) 若当x由左至右经过为函数的极小值.则0 x则不变号,不是0()f x0 x时( )f x0()f x函数的极值.第15页/共37页第十六页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第二充分条件)设函数 f (x)在0 x处0() = 0,f x且(1) 若则0()f x为函数 f (x)的极大值.(2) 若则为函数 f (x)的极小值.3.函数的最值求连续函数 f (x)在a , b上的最值的步骤:(1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述

9、函数值,其中最大者为最大值,最小者为最大值.第16页/共37页第十七页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 恒有(弧在弦的下方)(或则称曲线 f (x)在(a , b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点4.函数曲线的凹凸性和拐点设函数 f (x)在(a , b)内连续,若对于(a , b)内任意两点(弧在弦的上方)xyoxyo1x2x122xxxyo1x2x122xx称为曲线的拐点.第17页/共37页第十八页，编辑于星期三：七点 十七分。若在(a , b)上机动 目录 上页 下页 返回 结束 则曲线 y = f (x) 在0 x当x 自左至右经过定理2.(曲线

10、拐点的判定定理) 若在处0 x时变号,则是曲线y = f (x) 的拐点.(a , b) 上为凹(凸)弧.第18页/共37页第十九页，编辑于星期三：七点 十七分。应填1.已知则机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 注释注释:本题考查导数的定义.例例5.第19页/共37页第二十页，编辑于星期三：七点 十七分。设例例6.在在处可导处可导,求求分析分析应满足在应满足在1x 处处连续连续且且可导可导,即即解解 1.由由由由再代入再代入(1)得得2.第20页/共37页第二十一页，编辑于星期三：七点 十七分。设f (x)可导,则是F (x)在x=0可导的( ).(A) 充分必要条件 ;机动 目录 上

11、页 下页 返回 结束 (B) 充分条件但非必要条件;(C) 必要条件但非充分条件;解解:直接计算解此题.由于A(D) 既非充分条件又非必要条件.而f (x)可导,所以F (x)的可导性与( )( )(1sin)F xf x|x|的可导性相同.第21页/共37页第二十二页，编辑于星期三：七点 十七分。故选项(A)正确. (x)在 x = 0 处可导的充分必要条件是机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:即f (0) = 0 .本题考查函数在一点处可导的充要条件.令由导数的定义知解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.第22页/共37页第二十三页，编辑于星期三：七点 十七分。曲线在点(0,1

12、)处的切线方程是_.曲线在点(0,1)的切线方程为解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释: 两边对x求导得:即为将 x = 0, y = 1 代入式得:本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.第23页/共37页第二十四页，编辑于星期三：七点 十七分。例例9 设函数设函数由方程由方程确定确定,求求解解 由由由原方程得由原方程得代入代入(1)得得再将再将0,1,xy代入代入(2)得得注释注释本题考查求隐函数在求隐函数在一点一点处的一阶、二阶导数处的一阶、二阶导数.注意求导数时注意求导数时,不必写出导函数不必写出导函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共37页第二十五页，编辑

13、于星期三：七点 十七分。处( ).设y=f (x)是方程则函数f (x)在点且机动 目录 上页 下页 返回 结束 (C) 某邻域内单调增加;(B) 取得极小值;的一个解,(A) 取得极大值;解解: :0 x(D) 某邻域内单调减少.由于y = f (x) 是方程240yyy的一个解,所以有即有将0()0f x,代入上式得所以函数f (x)在点0 x处取得极大值.A选项(A)正确.第25页/共37页第二十六页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.且设 f (x)有二阶连续导数,则( ).(A) f (0) 是 f (x)的极大值;(B) f (0) 是 f

14、(x)的极小值;(C) (0,f (0) )是曲线y= f (x)的拐点;(D) f (0)不是 f (x) 的极值点,(0,f (0) )也不是曲线y= f (x)的拐点.解解:由于由极限的保号性知存在 x= 0的某去心邻域,在此邻域内有即有B第26页/共37页第二十七页，编辑于星期三：七点 十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于当x 0时, 由极值的第一充分条件知 f (x)在 x = 0 处取得极小值.即有 又由极限的保号性有注释注释:本题考查极限的保号性和极值的判定法则.函数 f (x)单调增.故选项(B)正确.第27页/共37页第二十八页，编辑于星期三：七点 十七分。由于x

15、 =1 是 (x)在(0,+)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 (x) 在x=1处取得极小值.又 (1) = 0 ,即则当x 0 时,则 (x) 在x=1处取得区间(0,+)试证:当x 0 时,22(1)ln(1)xxx.证证: 令 易知 (1) = 0 .内的唯一的极小值点,上的最小值.证毕.第28页/共37页第二十九页，编辑于星期三：七点 十七分。求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一解法一原式=则注释注释:本题考查洛必达法则求未定式极限.由于x0时,解法二解法二原式=0coslimxxexx0sinlim1xxex1.解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.第29页/

16、共37页第三十页，编辑于星期三：七点 十七分。原式=解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:本题考查洛必达法则求未定式极限.应填解题过程中应特别注意应用无穷小代换以简化计算.添空题第30页/共37页第三十一页，编辑于星期三：七点 十七分。 设函数 f (x)在闭区间0 , 1上可微 , 函数f (x)的值都在开区间(0,1) 内,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 对于0 , 1证明在(0,1)区间内有且仅有一个x ,使得 f (x) = x .证法证法1:由题设知 F(x) 在0 ,1上连续,又 F(0) = f (0) 0 , F(1) = f (1) 1 0 ,

17、由连续函数的零点定理知,使 F (x) = 0 ,即 f (x) = x .上的每一个 x ,第31页/共37页第三十二页，编辑于星期三：七点 十七分。用反证法,假设使得 f (x) = x 的 x 不不妨设为机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一,则至少应有两个,由罗尔使即这与原题设这就证明了根的唯一性.矛盾.证毕.证法证法2:定理知满足f (x) = x 的 x 的存在性证法与上面相同.而唯一性可利用结论:则方程f (x) =0在(a ,b)内最多有n个根”.由于则F (x) = 0 在 (0,1) 内最多有一个根,原命题得证.“若在(a , b )内第32页/共37页第三十三页，编辑于

18、星期三：七点 十七分。(1)存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 试证明:(1) 令且则 (x) 在0,1上连续,使得已知函数 f (x) 在0,1上连续,在(0,1)内可导, 且 f (0) = 0 , f (1) = 1 .(2)存在两个不同的点 证证:所以存在使得第33页/共37页第三十四页，编辑于星期三：七点 十七分。第二节 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:证毕.本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用.本题(1)考查连续函数零点定理的应用;(2) 由拉格朗日中值定理,存在第34页/共37页第三十五页，编辑于星期三：七点 十七分。若函数 f (x) 在a b上连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. ()证明拉格朗日中值定理: 在(a b) 内可导,使得() 若函数 f (x) 在