《高等数学》电子课件（自编教材）：03第九章第3节三重积分

1、1三重积分第三节一、三重积分的概念一、三重积分的概念二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、小结三、小结2一、一、 三重积分的概念三重积分的概念采用kkkkvf),( ),(kkkkv 引例：引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质， 密度函数为,),(Czyxf求分布在 内的物质的质量 M . 可得nk 10 limM“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限”3定义定义: 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim 10存在 ,),(zyxfvdzyxf),(称为体积元素体积元素 vdzdydxd若对 作任意分割任意分割, 及任意取点任意取点 , 下

2、列“乘积和式”的极限则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下也常写作记作记作vdzyxf),(即即kkknkkvf),(lim 104性质性质中值定理中值定理: 设 在有界闭域 上连续,),(zyxf),(使得dvzyxf),(其中V为 的体积.三重积分的性质与二重积分相似 , 例如计算方法计算方法dvzyxf),(Vf),(xyz),(则存在一点.法法计算三重积分有四种方计算三重积分有四种方51、直角坐标系中将三重积分化为三次积分、直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy

3、),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在若闭区域若闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz在直角坐标系下dxdydzdv dvzyxf),(dxdydzzyxf),(6化三重积分为三次积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yxdxdydzzyxf),(dxdydzzyxfxyDyxzyxz ),(),(),(21dxdydzzyxfbaxyxyyxzyxz ),()()(),(),(2121.),()()(),

4、(),(baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx2121.其它公式类似其它公式类似7其中为三个坐标面及平面例例1. 计算三重积分zdydxdx12zyx所围成的闭区域 . 1xyz121解解:xdxdydz)()(xydyxxdx10102121yxdz2101032241xdxxx)(yxz210)(xy102110 x )(xdy102110 xdx4818解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx9故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI10例例3 化三重积分化三重积分 dx

5、dydzzyxfI),(为为三三 次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所围所围 成的空间闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，11z、截面法、截面法2计算公式计算公式)(3dvzyxf),(dzdxdyzyxfccDz 21),(.,),(无关时此法较简单无关时此法较简单与与当当yxzyxf12例例 1 1 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. 解

6、解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy11113例例 2 2 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解14)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 12222

7、22czbyax 原式原式xyzozD15,0,20.z3、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzPxoyMzyxM,),(规定：规定：xyzo),(zyxM),(P16.,sin,coszzyx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数z为常数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(Pzxyzo17dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzddzf dxyzodzdd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dz

8、dddv18其中为由柱面例例1. 计算三重积分zdydxdyxz22xyx222,0z所围成半圆柱体.解解: 在柱面坐标系下:cos202dzdydxdyxz22da2032cos34cos2020az 0及平面0, )0(yaazcos2axyzo2zdddvd20dazdz0zdddz2298a19例例2. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下oxyhz:221yxzdydxdhzd42hdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020hd202120d,122yxzdydxdzyx422)0(hhz所围成 .与平面其中由抛物面42zdddvd20例例3 计算计算 zdx

9、dydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体. 解解zz34222, 3, 1z知交线为知交线为.,sin,coszzyx由2123242030zdzddI.413面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22，z22例例 4 计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体. 解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,22

10、2zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 23:2D, 422 yx.222020:22z:1D,1622 yx,824020:21z所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D24,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII128221DdzddI,345222222DdzddI,625 原式原式 I 345 625 336.82402022dzdd22202022dzdd251另解另解8220220dzddI82422202dzdd3362另解另解dxdyyxdzIzD)(2282dddzz2032082336264、利用球面坐标计算三重积分的

11、球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA27,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分

12、别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面28 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则29 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，30例例1. 计算三重积分,)(222z

13、dydxdzyx 其中为22yxz2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zdydxdzyx)(222Rrdr04)22(515R所围立体.40Rr 02040sind20d锥面与球面xyzo4Rr 22yxzddrdrvdsin231例例 2 2 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar32 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.1

14、05a 33解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22aadzdd2020ada03)(254254aaa.105a222zyx , z,20,0,:aaz34解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar例例3 求球体求球体 与锥体与锥体 公共部分的体积公共部分的体积.35由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 36三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直

15、角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结37（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结38练习与思考题练习与思考题;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212

16、 xxdzzyxfdydxD3939例例2: 计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx22解法一解法一:采用先对z积分,将Izdzxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上区域投影到xoy200:20:xxyDxzyx40解法二解法二;采用先对0yzx222020:0:xxzDxyzxIzdzxx20sinydyx0 xd20 xdx2021zdzxx)(sin20241.面上区域投影到xozy积分,将2、计算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.41412020:2:22yyzDzxyzyIzdy220 xdzxzy22sinydy20241