《高等数学》电子课件（同济第六版）：第八章 第3节曲面及其方程

1、1祝同学们在新学期祝同学们在新学期 取得更好的成绩取得更好的成绩 磨璞见玉 砺剑生辉高等数学课件下载邮箱：密码：2211162第八章第八章 空间解析几何 6 6学时学时第十章第十章 重积分 1212学时学时第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分 1414学时学时第十二章第十二章 无穷级数 1818学时学时第七章第七章 微分方程 1414学时学时总复习 4 4学时学时第九章第九章 多元函数微分法及其应用 2020学时学时总计总计 88学时学时内容与学时内容与学时3曲面及其方程曲面及其方程节节第第3一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面五、小结及作业

2、五、小结及作业4一、曲面方程的概念平平面面上上)(xfy 表示一条平面曲线表示一条平面曲线xyo)(xfy 空间上空间上1222zyx表示单位球面方程表示单位球面方程xyz5如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系： （1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程； （2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程； 曲面方程的定义xyzo0),(zyxFs:注注;)( 平平面面是是曲曲面面的的特特例例1表示表示任一曲面都可由任一曲面都可由02),()(zyxF,反之不一定反之不一定01222zyx如如6例例

3、 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程. 解解RMM |0根据题意有根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx,),(是球面上一点是球面上一点设设zyxM7例例 2 2 求求与与原原点点 O及及),(4320M的的距距离离之之比比为为 21:的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程. 解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点， ,|210MMMO根据题意有根据题意有,21432222222zyxzyx.9116

4、34132222zyx所求方程为所求方程为8例例 3 3 已已知知),(321A，),(412 B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 设设),(zyxM是所求平面上任一点，是所求平面上任一点， 根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321zyx,222412zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262zyx解解9zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？12122)()(yxz根据题意有根据题意有1z用平面用平面cz 去截图形得圆：去截图形得圆： )()()(112122ccyx 当平面当平面cz 上下移动时，上下移动时，得到一系列圆得到一系列

5、圆 圆圆心心在在),(c21，半半径径为为c1 半半径径随随c的的增增大大而而增增大大. 图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c10以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程11二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称

6、为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴12xozy0),(zyF), 0(111zyM M),(zyxM设设11zz )(（2） 点点M到到 z轴轴的的距距离离 |122yyxd如图如图将将 代入代入2211yxyzz,011),(zyFd:问题问题.),(:轴旋转所成的曲面方程轴旋转所成的曲面方程绕绕面上一条曲线面上一条曲线求求zzyFCyoz0方法方法13将将 代入代入2211yxyzz,011),(zyF,022zyxF所所以以 0),(zyF绕绕 z轴轴旋旋转转曲曲面面方方程程. 得方程得方程同理：同理： 0),(zyF绕绕y轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程

7、 .,022zxyF,022zyxF类似类似 曲线曲线 C:0),(yxF绕绕 x轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程. .,022zyxF14 曲线曲线 C:0),(yxF绕绕 y轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程. ,022yzxF类类似似 曲曲线线 C:0),(zxF绕绕 z 轴轴旋旋转转曲曲面面方方程程. ,022zyxF 曲线曲线 C:0),(zxF绕绕 x轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程. .,022zyxF15例例5 5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程. 解解: :在yoz面上,直线 L的方程为cotyz 绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxaz

8、,cota令两边平方)(2222yxazxyzL), 0(zyM16例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面17绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面18三、柱面三、柱面在平面坐标系在平面坐标系圆圆表示中心在原点的单位表示中心在原点的单位122 yx:问题问题?在空间表示什么图形在空间表示什么图形122 yxxy

9、z移动而成移动而成面上的圆面上的圆沿沿轴的直线轴的直线它可以看成用平行于它可以看成用平行于122 yxxoyz19定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 L 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL20柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面21xyzo12222byax从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：22:一般地一般地000),(,),(,),(zxFzyFyxF.在空间

10、都表示一个柱面在空间都表示一个柱面.,轴平行表示此柱面与哪个坐标就量上面方程中缺少哪个变23二次曲面：二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面方法讨论二次曲面方法:截痕法截痕法： 特殊的二次曲面特殊的二次曲面:曲面方程曲面方程0),(zyxF11222zyx)(如如032zyx如如四、二次曲面24ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax25椭圆截面的大小随平

11、面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |126椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz 27,)2(cb

12、a 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为28（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.29与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都

13、在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线30与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qp31zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp32特殊地：当特殊地：当 时

14、，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz33zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo34（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与

15、曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax35与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz36 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲

16、线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b37,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.38单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两

17、对相交直线两对相交直线.ax 39双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo40曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF五、小结椭球面、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截痕法截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）413138P习题习题)3(11),4 , 1 (10),3 , 1 (9 ,3186532 , 1），（，42思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图

18、形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy43思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程44一、一、 填空题：填空题：1 1、 与与Z轴和点轴和点)1,3,1( A等距离的点的轨迹方程是等距离的点的轨迹方程是_；2 2、 以点以点)1,2,2( O为球心，且通过坐标原点的球面为球心，且通过坐标原点的球

19、面方程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是点点_，半径，半径 R _ _；4 4、 设曲面方程设曲面方程22ax+ +22by+ +22cz=1=1，当，当ba 时，曲面可由时，曲面可由xoz面上以曲线面上以曲线_绕绕_轴旋轴旋转面成，或由转面成，或由yoz面上以曲线面上以曲线_ 绕绕_轴旋转面成轴旋转面成 ; ;练练 习习 题题455 5、 若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特点是点是_；6 6、 曲面曲面1422 zyx是由是由_绕绕_轴放轴放置一周所形成的；置一周所形成的；7 7、 曲面曲面2

20、22)(yxaz 是由是由_绕绕_轴旋转一周所形成的；轴旋转一周所形成的；8 8、 方程方程2 x在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_在空在空间解析几何中表示间解析几何中表示_；9 9、 方 程方 程422 yx在 平 面 解 析 几 何 中 表 示在 平 面 解 析 几 何 中 表 示_ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示_._.46二二、 画画出出下下列列各各方方程程所所表表示示的的曲曲面面：1 1、222)2()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz . .47练习题答案练习题答案一、一、1 1、0112622

21、 zyxz； 2 2、0244222 zyxzyx；3 3、(1,-2,2),4(1,-2,2),4； 4 4、, 1, 1, 1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby, 12222 ； 5 5、不含与该坐标轴同名的变量；、不含与该坐标轴同名的变量； 6 6、xoy面上的双曲线面上的双曲线yyx, 1422 ； 7 7、面面yoz上的直线上的直线 zayz, ； 8 8、平、平y行于行于轴的一条直线轴的一条直线, ,与与面面yoz面平行的平面；面平行的平面； 9 9、圆心在原点、圆心在原点, ,半径为半径为 2 2 的圆的圆, ,轴为轴为轴轴z, ,半径为半径为 2

22、 2 的圆柱面的圆柱面. .48二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴49二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴50二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面

23、称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴51二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴52二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴53二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上

24、的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴54二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴55二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴56二、旋转

25、曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴57二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴58二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .

26、这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴59二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴60二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴61定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线

27、移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL62定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL63定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所

28、形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL64定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL65定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定

29、曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL66定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL67定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL68定义