2019届江苏南通市高三数学模拟试题和答案详细解析

1、南通市2019届高三第三次调研测试1.已知集合 U 1,0,2 3, A 0,3,则 eUA 2.已知复数z a_L （i是虚数单位）是纯虚数，则实数1 3ia的值为 3.右图是一个算法流程图.若输出y的值为4,则输入x的值为 4.已知一组数据6, 6, 9, x , y的平均数是8,且xy90,则该组数据的方差5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球.从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为（第3题）6.已知函数f（x）2x2x2x , x> 0,2x, x 0,则不等式f(x)f（ x）的解集为 k7.已知an是等比数列,前 n项和为Sn.育a34

2、 , a4 16,则S3的值为8.2在平面直角坐标系 xOy中，双曲线与 a2L 1 b20 ,b 0）的右准线与两条渐近线分别交于A, B两点.若 AOB勺面积为ab ,则该双曲线的离心率为49.已知直角梯形 ABCD3, AB/ CD ABL BC AB=3 cm, BG1 cm, C!=2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm 3.10.在平面直角坐标系 xOy中，若曲线y sin2x与y 1 tanx在82,上交点的横坐标为则sin2的值为二11. 如图，正六边形ABCDEF12. 如图,uurADuurACuuuAER ),的值有一壁画，最高点

3、A处离地面B处离地面3.5 m .若从离地高2 m的C处观赏它，则离墙 m时，视角最大.13 .已知函数 f(x) x2 2x 3a, g(x)uur uurBA BCuur uuu 4CA CB , 315.在ABC ,a,b,c分别为角 A B, C所对边的长，a(sin A sin B)(c b)(sinB sinC).得f (x1) < g(x2)成立，则实数a的值为,4 uuu uuir14 .在平面四边形 ABCD, BAD 90 , AB 2 , AD 1 .若 AB AC则CB 2 CD的最小值为(1)求角C的值；(2)若a 4b,求sinB的值.16 .如图，在四棱锥

4、P ABCDK 底面 ABCO平行四边形，平面 BPCL平面DPCBP BC, E, F分别是PC AD的中点.求证：(1) BEX CD(2) EF/平面PAB17 .如图，在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆b21 ( a b 0)的上顶点为a 0, 73 ,圆o ：x22弓经过点M 04(1)求椭圆C的方程;(2)过点M作直线1i交椭圆C于PQ两点，过点M作直线1i的垂线l2AMxP(第17题)Q交圆。于另一点N .若 PQN勺面积为3,求直线l1的斜率.18 .南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长 2 m,宽1.5 m的长方形牛皮纸 ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB

5、 AD上取点E, F,将三角形AEF沿直线EF翻折AEF处，点A落在牛皮纸上，沿AE, A F裁剪并展开,得到风筝面 AEAF ,如图1 .(1)若点E恰好与点B重合，且点 A在BD上，如图2,求风筝面ABAF的面积;(2)当风筝面AEA F的面积为J3m2时，求点A到AB距离的最大值.(图1)(图2)19.已知数列an满足(nan 12)an (2an 1)an 1 ( n>2), bn ( n N ). an(1)若a1=3,证明：bn是等比数列;(2)若存在kN ,使得。，成等差数列. ak ak 1 ak 2求数列an的通项公式;D 证明：lnn "2an ln(n 1

6、) /an 1.220.已知函数f(x) -a (a 0), e是自然对数的底数.1 In x(1)当a 0时，求f(x)的单调增区间；(2)若对任意的x> 1, f (x) > 2eb 1 ( b R ),求b的最大值;2 a(3)若f(x)的极大值为2,求不等式f(x) ex 0的解集21. A.选彳4-2:矩阵与变换,一，a211c已知a,b, c, d R ,矩阵Ac一的逆矩阵A 1， .若曲线C在矩阵0bd1A对应的变换作用下得到曲线 y 2x 1,求曲线C的方程.B.选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A

7、,B的极坐标分别为 4,2 , 2夜，空，曲线C的方程为r( r 0)-(1)求直线AB的直角坐标方程；(2)若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求 r的值.C.选彳4-5:不等式选讲已知a R,若关于x的方程x2 4x |a 1| |a 0有实根，求a的取值范围.22.现有一款智能学习 APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影 响.已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分.经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表 2所示.表1表2文章学习视频学习12345246积

8、分积分11111111概率一概率99962632(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率;(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布数学期望.23.设 Pn呼, Qi 0 C2n2n (1)j j j 1C2n(1)求2P2 Q2的值；化简nPn Qn.参考答案1、23、4、1456、0) U (2 ,7、147_310111326215、 (1)sin B392616、略17、(1)椭圆C的方程为(2)若1i的斜率为0,则PQ峥3所以 PQN勺面积为W6,不合题意，所以直线l1的斜率不为0.设直线l1的方程为y32 X 由彳y2y 31

9、'消 y ,得(3 4k2)X2 8kX 8 0 ,kX 1设P XiXi4k 2 6 2k13 4k2，X24k 2、6 , 2k13 4k2所以PQ(X1 X2)(y1 y2)1 k X1 X24. 6 1 k2 、2k2 14k2直线l2的方程为1X所以.MN21 1k2 k2所以 PQN勺面积2PQMN1 4,6 .Ik23 4k2k 12解得18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABAF的面积为-4m23方法二：设ABFABD 中，tan2ADAB所以2 tan1 tan2解得tan1或tan 3 （舍去）.所以3AFAB tan所以 ABF的面积为1 2 2 2 m2,所

10、以四边形 ABAF的面积为4m23 33（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.设AEAFA Xo ,y0 ,则直线EF的方程为bx ay abA关于直Vo线EF对称，所以X0bX0 "2"a b'ay。解得y0ab 0,2a2ba2 b2因为四边形XAEAF的面积为33 ,所以ab向所以y°等3为 0 a<2bw 2f (a) a -33 ，a（舍去）.2.(a2 3)(a.3)(a3)令 f (a)a石,2列表如下:f (a)0+f(a)单调递减极小值单调递增当a J3时，f (a)取得极小值，即最小值 华，所以yo的最大值为3 ,此时点A在CD

11、32上，a J3, b 1. 答：点A到AB距离的最大值为3m .方法二：设AE a, AEF ，则AF atan .因为四边形AEAF的面积为褥，所以AE AF J3 ,即a2 tan套，所以tan 噂.过点A作ABa的垂线 AT,垂足为 T,则 AT AE sin2 AE sin2 asin22 _;3一a 2钟 c0s2a 2tana -3- .因为 0 AE< 2 ,sin cos tan 1_3 1341a 3aa0 AF w 3 ,所以2巨w aw 2 .(下同方法一)2319、(1)由(nan 1 2)an(2an 1)a得土皆2 n ,得工 n 2anan 1bn2bn

12、1因为a1=3，所以b1 11 = a1比等比数列.(2)设1 ，由( a工n2n 1 ,所以工anak(2k 1 k) ( 2k 1 k 2)2 °，所以高2(n”，1)知，bn 2bn 1 ,所以 bn2k 1 k .因为上，akak2(2kk 1),所以bn是以b1为首项，2为公2bn 1 22bn 2 L 2n 1b1 ,即-,'成等差数列，则1 ak 2所以 2k1 0,所以 0,所以A n,即an n.D 要证 ln n 2anln(n 1) 2-an 1 ,即证 2 (an an 1)ln。，即证1 - 2lnU .设nn n 1 nt则1 占，1 1t 1，且

13、t 1,从而只需证，当t 1时，t ； 21nt.f (x) x 1 2ln x ( xx1),则)154 e 1)2。，所以设)在(1,)上单调递增，所以f(x) f(1) 0,即x 1 2lnx,因为t 1,所以t 1 2lnt,所以，原不等式 xt得证.20、(1) f(x)的定义域为 0,e1 Ue1,.由,(x)2 12ax(1 In x) ax - x2ax(1 In x)(1 In x)(1 In x)令f (x) 0 ,因为a 0 ,得-1e2, 因为e?1f(x)的单调增区间是e2(2)当a 0时,f(1) a 0 2eb1,不合题意;当a 0时，令f (x) 0 ,得11因

14、为0 x e1或e x e 2 ,所以f (x)在区间0,e1和e 1 , e 2上单调递减.1112 e1 ,e2，且f(x)在区间e- 上单调递增，所以f(x)在x e，处取极小值 2a,即最小值为缗若x>l, f(x户2eb1,则署立尸，即a*不妨设b °，则%设 g(b) /(b °)，则 g(b) 当0 b 1 时，g(b)。；当b 1时，g(b) 0,所以g(b)在0,1上单调递增；在 1,上单调递减，所以g(b)wg(1),即与w 1 ,所以b的最大值为1 . e e ae1(3)由(2)知，当a 0时，f(x)无极大值， 当a 0时，f(x)在0,e1

15、和e'e?11上单调递增；在 e 2 , 上单调递减，所以 f (x)在x e处取极大值，所以1f(e2) 2a2,即 a e.设 F(x) f (x) ex,即 F(x) ex /enq， 当 x 0,e1 ,1 Inx 0,所以 F(x) 0； 当 x e1, F (x) ex ex。21n J), 由(2)知，(1 In x)ex< ex,又 1 2ln x< (1 Inx)2,所以 F (x)>0 ,且 F (x)不恒为零，所以 F(x)在上单调递增.不等式f(x) ex 0F(x) 0 F(1)所以e1即不等式的解集为 e121A、由题意得，AAa 2dbd

16、ac 2b所以即矩阵设P(xy)为曲线C上的任意一点,在矩阵A对应的变换作用下变为点P(x,y)，即 x x 2y'y y.所以曲线C的方程由已知条件可知，P(x,y)满足y 2x 1 ,整理得：2x 5y 1 0,为 2x 5y1 0 . 21B、(1)分另将A 4,-2 , B 2在，半 转化为直角坐标为A 0,4 ,B 2, 2所以直线AB的直角坐标方程为3x y 4 0.(2)曲线C的方程为 r (r 0),其直角坐标方程为 x2 y2 r2 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB的距离为412空'即的值为空21C、因为关于x的方程x2

17、 4xa 1 a 0有实根,所以16 4( a 1 a)> 0 ,即当a>1时,a 1时，1 w 4,恒成立,当aw 0时，1综上：所求a的取值范围22、(1)由题意,乂早3455视频6646因为两类学习互不影响， 所以概率获得的积分不低于 9分的情形有:1115所以每日学习积分不低于9分的概率为5.9(2)随机变量的所有可能取值为0,2, 3.由(1)每个人积分不低于9分的概P =0 =647291;P =1 =C3240729=2=C2P =3 =125729所以E()0123P_64240300125729729729729所以，随机变量的概率分布列为0 729 1黑2黑3琮：所以，随机变量的数学期望为5323