文科经管类微积分第九章常微分方程ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：微分方程的根本概念上页下页铃结束返回首页 设所求曲线的方程为yy(x). 例例1. 一曲线经过点一曲线经过点(1, 2), 且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点M(x, y)处处的切线的斜率为的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程求这曲线的方程. 根据导数的几何意义, 可知未知函数yy(x)应满足 解解: 此外, 未知函数yy(x)还应满足以下条件: 由(1)式得，其中C是恣意常数. xdxy2xdxdy2 (1)x1时, y2. (2) 把条件“x1时, y2代入(3)式, 得 212C, C1.把C1代入(3)式, 得所求曲线方程: yx21.

2、 (3)即Cxy2 下页上页下页铃结束返回首页微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 下页凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy ,e32xyyy , yxxz , 0dd)(2 xxyxy.)(dd2xyxxy 上页下页铃结束返回首页 例2. 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列车获得加速度0.4m/s2. 问开场制动后多少时间列车才干停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解解: 设列车制动后t秒所行驶的间隔为s(t

3、)米. 根据题意未知函数ss(t)应满足: s=-0.4. (1) s|t0=0, s|t0=20. (2)由(1)式，积分一次, 得 s=-0.4tC1; (3)再积分一次, 得 s 0 . 2 t 2 C1tC2, (4)这里C1, C2都是恣意常数. 把条件s|t0=20代入(3)式得 20C1; 把条件s|t0=0代入(4)式得 0C2. 把C1, C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20, (5) s0.2t220t. (6) 在(5)式中令v0, 得t=50(s). 再把t50代入(6), 得 s0.25022050500(m). 下页上页下页铃结束返回首页提示:微分方程 常

4、微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 它们都是微分方程xdxdy2 例1中所列的关系式为s=-0.4. 例2中所列的关系式为下页凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy ,e32xyyy , yxxz 2()dd0,yxyx x.)(dd2xyxxy 上页下页铃结束返回首页微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. 提示:xdxdy2 例1中所列的关系式为s=-0.4. 例2中所列的关系式为这是一阶微分方程这是二阶微分

5、方程v几个根本概念 下页上页下页铃结束返回首页v几个根本概念 提示:微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21. 在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t. 下页上页下页铃结束返回首页求所给函数的导数: 解解:这阐明函数 满足所给方程, 因此所给函数是所给方程的解. 下页0 yy是方程是方程验证函数验证函数xxycos3sin2 例例2 2.的解的解,sin3cos2xxy ,cos3sin2xxy 由上式得: 0 yyxxycos3sin2 上页下页铃结

6、束返回首页下页假设一个函数中出现的两个常数不能经过运算合并为一个常数，那么这两个常数是独立的，12xyCC e中的12,C C是独立的， 而12xyCCe中的12,C C可以合并为一个常数，所以这里的 不独立例如12,C Cv常数相互独立 上页下页铃结束返回首页v几个根本概念 提示:微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 通解 假设微分方程的解中含有相互独立的恣意常数, 且恣意常数的个数与微分方程的阶数一样, 这样的解叫做微分方程的通解. 特解 确定了通解中的恣意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含恣意常数的解叫特解. 在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x2

7、1. 在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t. 通解通解通解特解什解什么解?下页上页下页铃结束返回首页解通解特解其它共同点：不同点：上页下页铃结束返回首页v几个根本概念 提示:初始条件 用于确定通解中恣意常数的条件, 称为初始条件. 对于一阶微分方程, 通常用于确定恣意常数的条件是 对于二阶微分方程, 通常用于确定恣意常数的条件是当0 xx时0yy或写成当0 xx时0yy0yy或写成0yy或写成00yyxx 0yy或写成00yyxx00yyxx 例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解. 例2是求微分方程s=-0.4满

8、足初始条件s|t0=0, s|t0=20的解. 下页y=2x上页下页铃结束返回首页v几个根本概念 初始条件 用于确定通解中恣意常数的条件, 称为初始条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 求一阶微分方程yf(x y)满足初始条件00yyxx的解的 问题, 记为 00),(yyyxfyxx 提示:例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解. 例2是求微分方程s=-0.4满足初始条件s|t0=0, s|t0=20的解. 下页y=2x上页下页铃结束返回首页 例解解处上任意一点的平面曲线设通过点 ),( )2 , 1 ( 0yxMLM . 2 的方程，求此曲线的切线的斜率为L

9、x，则有设曲线的方程为)( xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数 )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (积分，得式两边关于将 ) 1 (xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(, 1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解上页下页铃结束返回首页作业P1651. (1)(3)(5) 3. 2. 5. 高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：可分别变量的微分方程上页下页结束返回首页铃9.2 可分别变量的微分方程上页下页铃终了前往首页第二节第二节 可分别变量的一阶微分方程可分别变量的一阶微分方程xxfyygd)(d)( xxfyyg

10、d)(d)(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的某某个个原原函函数数, CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为可分别变量的方程为可分别变量的方程. . 称称那那么么 f xdydxg y上页下页铃结束返回首页下页221xyyxdxdy 例2. 求微分方程 的通解. )1)(1 (2yxdxdy 方程可化为 解解:dxxdyy)1 (112 分别变量得两边积分得 dxxdyy)1 (112)21tan(2Cxxy 于是原方程的通解为 dxxdyy)1 (112即Cxxy221arctan 求求方方程程xyxy2dd 的的通通

11、解解. . 解解分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 或解或解分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 例例2 222xCxCyeee 22,xCxCyeee 2,Cxyee ( C1为恣意常数 )上页下页铃结束返回首页例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分别变量得分别变量得2d3dyxxy两边积分xxyyd3d2得31ln yxC即13Cxey 31xCee 3xeCy 1CCe 令( C 为恣意常数 )阐明阐明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此能够增、减解.( 此式含分别变量时丧失的解 y0 )上页下页

12、铃结束返回首页作业P1721. (1)(2)(3)(4) 3. (1)2. (1)(2)(5)高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：一阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、线性方程二、伯努利方程9.3 一阶线性微分方程上页下页铃终了前往首页第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程的规范方式一阶线性微分方程的规范方式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd4xyxxy , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性

13、的非线性的. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:运用分别运用分别变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . ,lnd)(CxxPeey 2. 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .本质本质: : 未知函数的变量代换未

14、知函数的变量代换. .作变换作变换 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP xx

15、Pxuyd)(e )(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cxxxyxxxxdesined1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 1上页下页铃结束返回首页例例7 7 求方求方程程3(1)2(1)xdyxyexdx 解解 将方程改写将方程改写为为 的通解. 22(1) .1xdyyexdxx 先求齐次方程的通解. 201dyydxx 分别变量, 得 2.1dydxyx 两端积分并整理, 得齐次方程的通解 2(1) .yc x用常数变易法求非齐次

16、线性方程的通解， 2( )(1) ,yc xx 令2( )(1)( )2(1)ycxxc xx 两端求导, 得 ( ).xc xec故原方程的通解为：y = (ex + c) (x+1)2 将 y与y代入非齐次方程, 并整理, 得( ).xcxe 两端积分, 得上页下页铃结束返回首页例1求方程11dyydxx 的通解.解: 对应的齐次方程为:10.dyydxx分别变量得11.dydxyxlnln,yxC即,Cyxe或所以齐次方程的通解为:.yCx用常数变易法求非齐次线性方程的通解， ( ),yC xx令代入方程11dyydxx 得 1,CxxC xC x 即 1,Cxx 所以 1ln.C xd

17、xxCx 因此非齐次方程的通解为:ln.yx Cx上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程v伯努利方程方程nyxQyxPdxdy)()(n01)叫做伯努利方程 (1)xxydxdy42 (2)5xyydxdy (3)xyyxy (4)4)21 (3131yxydxdy 以下方程中哪些是伯努利方程？ 讨论:提示:下页方程为线性微分方程方程为线性微分方程.,1 , 0时时当当 nnnyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n解法解法: :二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程得得两两端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1

18、(dd ),()(dd11xQzxPxzn 求出通解后求出通解后, 将将 代入即得原方程的通解代入即得原方程的通解 .nyz 1代入上式得代入上式得 ),(1)(1ddxQnzxPnxz 上页下页铃结束返回首页4 求方程2)(lnyxaxydxdy的通解 例例3.以y2除方程的两端, 得 解解:xayxdxdyyln112 令zy1, 那么上述方程成为 xazxdxdzln1 这是一个线性方程, 它的通解为 )(ln22xaCxz 以y1代z , 得所求方程的通解为 1)(ln22xaCyx xayxdxdyyln112即xayxdxydln1)(11 下页上页下页铃结束返回首页例3求4dyy

19、xydxx0,0yx的通解.解: 此方程是伯努利方程:124.dyyxydxx方程两边同乘 得,12y11224.dyyyxdxx即112242.dyyxdxx令12,zy得41.22dzzxdxx上页下页铃结束返回首页 )()(ddygxfxy变量可分别方程变量可分别方程 0)(ddyxpxy一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程d( )( )dnyp x yq x yx上页下页铃结束返回首页, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB

20、; 2ln. xeC2ln.2 xeDB一阶微分方程一阶微分方程 1991年考研数学一年考研数学一, 3分分上页下页铃结束返回首页解解: )(xf)(2)(xfxf fx222 可分别变量方程可分别变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分ln( )2lnf xxC2( ).xf xCe由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分别变量分别变量, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeDB两边对关于 求导,x2lnd2)(20

21、 ttfxfx上页下页铃结束返回首页1dydxxy,dxxydy,xy dydx求方程的通解.将 与 互换,得方程xy,dyyxdx齐次方程0,dyydx分别变量得1.dydxy所以齐次方程的通解为:.xyCe用常数变易法求非齐次线性方程 的通解， ( ),xyC x e 令dyyxdx得 ,xCx ex .xxxxxC xxdexee dxxeeC 的通解为: dyyxdx.xxxyxeeC e 上页下页铃结束返回首页1dydxxy,dxxydy,xy dydx求方程的通解.将 与 互换,得方程xy的通解为: dyyxdx.xxxyxeeC e 将 与 换回,得方程xydxxydy的通解为:

22、 .yyyxyeeC e 上页下页铃结束返回首页作业P1772. (1)(3)(5)1. (2)(4)(6)3.5. 6. 7. 8.(1) 高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：二阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程的解的构造9.4 二阶线性微分方程上页下页铃终了前往首页上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的普通方式为假设方程右端f(x)0时, 方程称为齐次的, 否那么称为非齐次的. )()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 或yPxyQxyfx下页上页下页铃结束返回首页二、线性微分方程的解

23、的构造C1y1+C2y2+P(x)C1y1+C2y2+Q(x)C1y1+C2y2000.C1y1Pxy1Qxy1C2y2Pxy2Qxy2 方程y+P(x)y+Q(x)y=0的恣意两个解y1(x)与y2(x)的线性组合C1y1(x)+C2y2(x)也是它的解, 其中C1、C2是恣意常数. 简要证明: 这是由于v定理1(齐次方程的解的叠加原理)下页举例：举例： 知知cos x与与sin x都是方程都是方程y+y=0的解的解. 方程的通解为方程的通解为 y=C1cos xC2sin x. 上页下页铃结束返回首页rxey 将其代入方程将其代入方程, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有20r

24、prq2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二阶二阶设解设解得得特征方程特征方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数. 上页下页铃结束返回首页,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个两个 特解特解y (0) 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程有两个不相等的实根有两个不相等的实根20rprq特征方程特

25、征方程1r xe2C2r xe1C得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为rxey 设解设解其中其中r为待定常数为待定常数. 上页下页铃结束返回首页有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr (0) 一特解为一特解为112()r xeCC x代入到代入到，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u( ),u xx,12xrxey 2y. 0 qyypy化简得化简得.)(为待定函数为待定函数其中其中xu0 0 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程设设)(xu,1xre取取那那么么知知y 1r xe1r xxe1C2C得齐次方程的通解为

26、得齐次方程的通解为rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. 设解设解20rprq特征方程特征方程242ppqr有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 (0) )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypyyy为为方方程程为了得到实数方式的解为了得到实数方式的解,重新组合重新组合二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的两个复数方式的解的两个复数方式的解.rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. xrey11 xie)( 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 设解设解24

27、2ppqr20rprq特征方程特征方程由由欧欧拉拉公公式式知知 由由叠叠加加原原理理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/ )(212211 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 02 qprr0 qyypy小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2, 1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 )(e211xCCyxr )sincos(e21xCxCyx 0 qyypy的通解的不同方式的通解的不同方式.特征根特征根r的不同情况决议了方程的不同情况决议了方程上页下页铃结束返回首页 例解解 0

28、32 的的通通解解。求求方方程程 yyy2 230 rr特征方程，12 1 3 rr 特征根 ， 321。所求通解为所求通解为xxeCeCy特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根1212r xr xyC eC e)( 21实重根实重根112()r xyeCC x)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上页下页铃结束返回首页 例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy2 250 rr特征方程，12 12i 1 2i rr 特征根， )2sin2cos( 21。所所求求通通解解为为xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解

29、 形形 式式)( 21实根实根1212r xr xyC eC e)( 21实重根实重根112()r xyeCC x)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上页下页铃结束返回首页称为称为.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解为故所求通解为 y例例由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法特征方程法. .特征根特征根xexCC221)( )( 21实重根实重根112()r

30、 xyeCC x12rr上页下页铃结束返回首页250.yyy求方程的通解解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解为故所求通解为 y例例二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex 1 212 .ri ，特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根1212r xr xyC eC e)( 21实重根实重根112()r xyeCC x)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上页下页铃结束返回首页例例 解初值问题解初值问题 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特

31、征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解为所以方程的通解为41 CxexCy432)4( xexCCy4322433 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程4(二重根二重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 0023412()xCC x ey 上页下页铃结束返回首页作业P1881. (2)(4)高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：二阶常系数线性非齐次微分方程二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法回想回想)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程de)(ed)(d)

32、(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解(1)(xfqyypy 上页下页铃结束返回首页提示: 我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程. 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解. v定理3(非齐次方程的通解的构造)举例: 知Y=C1cos x+C2s

33、in x是齐次方程y+y=0的通解, y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是非齐次方程y+y=x2的通解. 下页上页下页铃结束返回首页证明提示: Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x) = Y +P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y* 0f(x)f(x). 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解. v

34、定理3(非齐次方程的通解的构造)下页上页下页铃结束返回首页)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的构造定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法：根据 f (x) 的特殊方式 ,*y给出特解的待定方式, 待定系数法三角函数三角函数多项式多项式指数函数指数函数)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy1. ( )( ) xnf xeP x的情形 )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 对应的齐次方程对应的齐次方程 (1) 的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为2 0 rprq特征方程；1

35、2 .rr特征根，单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根为常数 方程方程( ) xnypyqye P x有以下方式的特解：有以下方式的特解：( ) xye Q x，上页下页铃结束返回首页假设方程假设方程( ) (2)xnypyqyeP x有以下方式的特解：有以下方式的特解：( ) xye Q x，那么那么 xxye Q xe Qx， 22 xxxye Q xe Q xe Qx，代入方程代入方程 (2) ，得，得 2(2)()( ) xxneQxp Qxpq Q xeP x，即即情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的单单根根, , 即即02 qp , , 即即 而而02 p , ,

36、 则则令令 情情形形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根, , 即即02 qp , , 即即 且且02 p , , 则则令令 情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根, , 即即 242ppq综上讨论可知综上讨论可知 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPqyypynx 设特解为设特解为，)(xQn是单特征根是单特征根 ，)(xxQn是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxn代入原方程代入原方程, ,来确定来确定Q(x).Q(x).*( ) kxnyx e Q x上页下页铃结束返回首页 例2. 求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解. 这里Pm(

37、x)x, 2. 与所给方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0, 它的特征方程为r2-5r +6=0. 特征方程有两实根r12, r23.于是齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x. 由于2是特征方程的单根, 所以特解应设为y*x(b0 xb1)e2x. 解解:把 代入所给方程, 得 2b0 x2b0b1x. 比较两端x同次幂的系数, 得-2b0=1, 2b0-b1=0. 由此求得210bb11 于是求得所给方程的一个特解为 xexxy2) 121(* 从而所给方程的通解为 xxxexxeCeCy223221)2(21 首页*( ) kxnyx e Q x2201xyb xb x e解解对应齐次

38、方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e )(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因为为3 是是二二重重特特征征根根, , xbax 26, , 解解得得 0,61 ba, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 即即原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321e61e )( . . 代入原方程代入原方程得得例例6 6*( ) kxnyx e Q x上页下页铃结束返回首页解解 2。的的通通解解求求方方程程xxyy 2( ) 0 2 ( ( )( ) ) xnf xxxnf xe P

39、x，。对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为210 r ，特征根为特征根为1,2i .r 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 sincos21。xCxCy 0 ，原原方方程程有有特特解解不不是是特特征征根根，故故取取由由于于k *2120，bxbxby将它代入原方程，得将它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb*( ) kxnyx e Q x上页下页铃结束返回首页比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解为故原方程有一特解为 2*2。xxy综上所述，原方程的通解为综上所述

40、，原方程的通解为 2sincos*221。xxxCxCyyy 2221200，xxbxbxbb解解 *2120，bxbxby 2。的的通通解解求求方方程程xxyy 上页下页铃结束返回首页解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ( ) 1 0 ( ( )( ) ) xxnf xenf xeP x ，。对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为2230 rr，特征根为特征根为123 1.rr ，对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 231。xxeCeCy 1 ，原原方方程程有有特特解解是是单单特特征征根根，故故取取由由于于k *0，bexyx将它代入原方程，得将它代入原方程，得 3