信号检测与估计理论-第六章-波形估计PPT

1、估计理论与信号检测估计理论与信号检测第六章第六章 信号波形的估计信号波形的估计内容提要内容提要6.1 引言引言6.2 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波6.3 离散过程的维纳滤波离散过程的维纳滤波6.4 正交投影原理正交投影原理6.5 离散卡尔曼滤波的信号模型离散卡尔曼滤波的信号模型6.6 离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波6.7 状态为标量时的离散卡尔曼滤波状态为标量时的离散卡尔曼滤波6.1 引言引言l研究内容：研究内容：l信号的波形估计信号的波形估计( (状态估计状态估计) ) 若被估计的量是随机过程或未知的非随机过程，则称这种若被估计的量是随机过程或未知的非随机过程，则称这种估计为信号的波形

2、估计或状态估计。估计为信号的波形估计或状态估计。l理论基础：理论基础：l随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述( (2.3, P.30) )l线性系统对随机过程的响应线性系统对随机过程的响应( (2.5, P.44) )l随机噪声理论随机噪声理论( (2.6, P.46) )l正交投影原理正交投影原理( (6.4, P.400) )2、离散信号情况（只考虑加性噪声）、离散信号情况（只考虑加性噪声）信号信号状态估计理论状态估计理论又称为信号又称为信号状态滤波理论状态滤波理论(抑噪声，提信号抑噪声，提信号)。 状态滤波，状态滤波， 状态预测，状态预测， 状态平滑，状态平滑，1、连续信号情况（只考

3、虑加性噪声）、连续信号情况（只考虑加性噪声）信号信号波形估计理论波形估计理论又称为信号又称为信号波形滤波理论波形滤波理论(抑噪声，提信号抑噪声，提信号)。 波形滤波，波形滤波， 波形预测，波形预测， 波形平滑，波形平滑，6.1.1 信号波形估计的基本概念信号波形估计的基本概念( )( )( )x ts tn t( )(),0 x ts t( )x t( )H( )( )x ts t( )s t( )(),0 x ts t1()|,0k mkkk l klxxxs1,k mkkkxxxs1()|,0k mkkk l klxxxs,1,2,kkkkkxH sn6.1.1 信号波形估计的基本概念信号

4、波形估计的基本概念From Steven page 3236.1.2 信号波形估计的准则和方法信号波形估计的准则和方法信号波形（状态）估计准则：线性最小均方误差准则。信号波形（状态）估计准则：线性最小均方误差准则。维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完维纳滤波和卡尔曼滤波是实现从噪声中提取信号，完成信号波形（状态）估计的两种成信号波形（状态）估计的两种线性线性最佳估计方法。最佳估计方法。l维纳滤波维纳滤波l要求知道随机信号的统计特性，即相关函数或功率普密度，要求知道随机信号的统计特性，即相关函数或功率普密度，得到的结果是封闭解（解析式）；得到的结果是封闭解（解析式）；l由于采用频域设计

5、方法，仅适用于由于采用频域设计方法，仅适用于一维平稳随机信号一维平稳随机信号。l卡尔曼滤波（卡尔曼滤波（庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划）l采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型；l可解决可解决多输入多输出非平稳随机信号多输入多输出非平稳随机信号的估计问题；的估计问题；l采用递推算法非常适合于计算机处理，计算效率高。采用递推算法非常适合于计算机处理，计算效率高。6.1.2 信号波形估计的准则和方法信号波形估计的准则和方法例例6.1.1 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）平稳随机信号的线性最小均方误差估计（

6、预测）线性最小均方误差估计的线性最小均方误差估计的正交性原理正交性原理2()( )minimize E( ()() as tas ts ts t( )E( ()( ) ( )0(0)ssrs tas t s tar( )()( )(0)ssrs ts tr22E( ()() E( ()( )E) ()E () ()( ) ()( )(0)( )(0)( ()(0)( )( )0ssssss tas t as ts ts ts tas t s ts ts tas t s trrarrr6.1.2 信号波形估计的准则和方法信号波形估计的准则和方法例例6.1.2 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（

7、预测）平稳随机信号的线性最小均方误差估计（预测）线性最小均方误差估计的正交性原理线性最小均方误差估计的正交性原理2,()( )( )minimize E( ()() a bs tas tbs ts ts t0E( ()( )( ) ( )0E( ()( )( ) ( )0( )( ),( )( ),( )0ssssssss tas tbs t s ts tas tbs t s trrrrr ( )( ),(0)(0)ssssrrabrr22200E( ()() E( ()( )( ) ()( )( )(0)( )( )(0)(0)(0)sssssssss ts ts tas tbs t s t

8、rrrarbrrrr ( )( )()( )( )(0)(0)ssssrrs ts ts trr见习题见习题 信号波形估计的准则和方法信号波形估计的准则和方法例例6.1.2 （续）例题相关结论的证明（续）例题相关结论的证明000()( )()( )()( )( )lim,( )lim,( )limttts tts ts tts ts tts ts ts ts tttt 00()( )()( )( )E ( ) ()E lim()lim( )ssssstts tts trtrrs t s ts trtt 22d ( )d( )( ),( )ddssssrrrr( )()ssrr1

9、22112120012212100012122022()( )()()( )E ( ) ()E limlim()()()( )= limlimlim()( )limssttsssstttssts tts ts tts trs t s tttrttrtrtrttttrtrtt 2202()( )lim( )ssstrtrrt 为偶函数，其导数为偶函数，其导数 为奇函数，故有为奇函数，故有( )sr0( )(0)0ssrr00()()()( )( )E ( ) ()E lim ( )lim( )ssssstts tts trtrrs t s ts trtt 6.1.2 信号波形估计的准则和方法信号

10、波形估计的准则和方法例例6.1.3 平稳随机信号的线性最小均方误差估计（平滑）平稳随机信号的线性最小均方误差估计（平滑）线性最小均方误差估计的正交性原理线性最小均方误差估计的正交性原理2,( )(0)( )minimize E( ( )( ) a bs tasbs Ts ts t2E( ( )( ) E( ( )(0)( ) ( )0(0)( )()ssss ts ts tasbs Ts trar tbr TtE( ( )(0)( ) (0)0( )(0)( )0E( ( )(0)( ) ( )0()( )(0)0sssssss tasbs Tsr tarbr Ts tasbs Ts Tr T

11、tar Tbr2222(0) ( )( ) ()(0) ()( ) ( ),(0)( )(0)( )ssssssssssssrr tr T r Ttrr Ttr t r Tabrr Trr T从噪声中提取信号从噪声中提取信号现这种功能的有效方法之一是设计一种具现这种功能的有效方法之一是设计一种具有最佳过滤特性的滤波器，当叠加有噪声的信号通过这种滤波器有最佳过滤特性的滤波器，当叠加有噪声的信号通过这种滤波器时，它可以将信号尽可能完整地重现或对信号作出尽可能精确的时，它可以将信号尽可能完整地重现或对信号作出尽可能精确的估计，从而对所伴随的噪声进行最大限度地抑制。估计，从而对所伴随的噪声进行最大限度

12、地抑制。维纳滤波器就是具有这种特性的一种典型滤波器。维纳滤波器就是具有这种特性的一种典型滤波器。信号波形的维纳滤波分为：信号波形的维纳滤波分为：l连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波l离散过程的维纳滤波离散过程的维纳滤波6.2 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波维纳维纳(1894-1964)是控制论的创始人、信息论是控制论的创始人、信息论的创始人之一，于的创始人之一，于1948年发表年发表控制论控制论(Cybernetics)。线性时变滤波器线性时变滤波器6.2.1 最佳线性滤波最佳线性滤波线性加权和线性加权和正交性原理正交性原理0g(t)表示表示待估计波形待估计波形( ) ( ), (),

13、 (), ( )g ts t s ts ts t线性时不变滤波器线性时不变滤波器 假设假设 和和 都是零均值的都是零均值的平稳随机过程平稳随机过程，而且二者是联，而且二者是联合平稳的。合平稳的。6.2.2 维纳维纳-霍夫方程霍夫方程维纳维纳-霍夫方程霍夫方程维纳滤波器维纳滤波器( ) ( ), (), (), ( )g ts t s ts ts t( )x t( )g t,ttu维纳滤波器非因果解维纳滤波器非因果解6.2.3 维纳滤波器的非因果解维纳滤波器的非因果解线性卷积式线性卷积式( )( )E ( ) ( )0g ts ts t n t( )0( )( )( )( )( )snxssxs

14、nPPPPPP两边进行傅里叶变换两边进行傅里叶变换s(t)与加性噪声与加性噪声n(t)相互统计独立相互统计独立维纳滤波器非因果解维纳滤波器非因果解6.2.3 维纳滤波器的非因果解维纳滤波器的非因果解（1）功率普密度）功率普密度 和和 互不重叠互不重叠（2）功率普密度）功率普密度 和和 有部分重叠有部分重叠( )sP( )nP|( )0,( )1|( )0,( )0ssPHPH|( )0 and( )0,( )1|( )0 and( )0,( )10|( )0,( )0snsnsPPHPPHPH ( )sP( )nP若若 是是 函数，即滤波器输入是一个白色过程，积分方程函数，即滤波器输入是一个白

15、色过程，积分方程就可以直接求解。就可以直接求解。6.2.4 维纳滤波器的因果解维纳滤波器的因果解()xr有理功率普密度有理功率普密度()()wr *( )( )( )( )( )xxxxxP sPs PsPs Ps白化滤波器白化滤波器求取求取6.2.4 维纳滤波器的因果解维纳滤波器的因果解( )wgPs当当 时，维纳滤波器波形估计的均方误差（自学）时，维纳滤波器波形估计的均方误差（自学）6.2.4 维纳滤波器的因果解维纳滤波器的因果解( )()g ts t20( )( ), Var (t)= (0)( )dsg ts tsrtt例例6.2.2 求解随机信号求解随机信号 的波形估计问题，即设计的

16、波形估计问题，即设计维纳滤波器使信号波形估计的均方误差最小。维纳滤波器使信号波形估计的均方误差最小。6.2 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波 例题例题( )( )( )x ts tn t1( )e,( )( )2snrr 011122202( )( )edeede ede ed11112 111ssssssP srsss( )( )ed1snP s 211( )( )( )( )( )1(1)(1)xgxssnssPsPsP sPsP ssss2221222( )( )( )11111xsnsssP sP sP sssss 例例6.2.2（续）维纳滤波器的非因果解（续）维纳滤波器的非因果解

17、6.2 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波 例题例题2222( )( )1 (1)( )( )( )( )(2) (1)11122 2(2)2 2(2)xgsxsnPsP ssH sP sP sP ssssss2121,02 2( )L ( )1,02 2tteth tH set0220Var ( )Var ( )(0)( ) ( )d11111dd2222 22 2111110.35424 2124 212ssg ts trhreeee例例6.2.2（续）维纳滤波器的因果解（续）维纳滤波器的因果解6.2 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波 例题例题2( )111 (1)( )( )( )

18、(2) (2) (1)11 (12)1 (12)1 (12)1(2)22xgxxPsssH sPsPsssssssss121( )L ( ),012th tH set0202Var ( )Var ( )(0)( ) ( )d111ee d2212110.41422(12)ssg ts trhr例例 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波 例题例题例例6.2.3（续）（续）6.2 连续过程的维纳滤波连续过程的维纳滤波 例题例题类似于连续过程的维纳滤波，设计离散过程的维纳滤类似于连续过程的维纳滤波，设计离散过程的维纳滤波器，就是寻求在波器，就是寻求在线性最小均方误差准则线性最小均方误

19、差准则下线性滤波下线性滤波器的系统函数器的系统函数 （Z域解）或单位脉冲响应域解）或单位脉冲响应 （时（时域解）。（数字滤波）域解）。（数字滤波）拉氏变换（傅立叶变换）拉氏变换（傅立叶变换） Z变换变换左半平面左半平面 单位圆内单位圆内右半平面右半平面 单位圆外单位圆外6.3 离散过程的维纳滤波离散过程的维纳滤波( )H z( )h k根据观测信号序列根据观测信号序列 对信号对信号 作出线作出线性最小均方误差估计，即求性最小均方误差估计，即求 。6.3.1 离散的维纳离散的维纳-霍夫方程霍夫方程( ),0kxx kkNkgkg离散形式的维纳离散形式的维纳-霍夫方程霍夫方程,kim kjl 6.

20、3.2 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解非因果解非因果解当当 ，且信号序列，且信号序列 与噪声序列与噪声序列 互不相关时互不相关时 knkkgsks( )( )( )( )ssnP zH zP zP z6.3.2 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解因果解因果解（1）观测信号）观测信号 是白色序列是白色序列（2）观测信号）观测信号 是非白序列，且其功率普密度是是非白序列，且其功率普密度是有理函数有理函数kxkx1,0,mlmlml无限长因果序列的离散维纳滤波器不具有实时性而使其应用受到无限长因果序列的离散维纳滤波器不具有实时性而使其应用受到限制。通常用有限长序列限制。通常用有限

21、长序列 来逼近离散维纳滤波来逼近离散维纳滤波器的解器的解 。6.3.3 离散维纳滤波器的时域解离散维纳滤波器的时域解( ) (01)h kkN( ) (0)h kk N 阶阶FIR滤波器滤波器6.3.3 离散维纳滤波器的时域解离散维纳滤波器的时域解(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(2),(1)(1)(1)(2)(0)xgxxxxgxxxxxgxgxxxrhrrr Nrhrrr NrNh Nr Nr NrhRrN阶阶FIR滤波器滤波器(Finite Impulse Response，有限长度脉冲响应，有限长度脉冲响应) ；IIR 滤波器滤波器(Infinite Impuls

22、e Response，无限长度脉冲响应，无限长度脉冲响应)，即，即维纳滤波器。维纳滤波器。例例6.3.1 离散信号序列离散信号序列 的维纳滤波器的维纳滤波器Z域解域解（1）非因果解）非因果解（2）因果解）因果解6.3 离散过程的维纳滤波离散过程的维纳滤波 例题例题kkkxsn10.36( ),( )1,( )0(1 0.8)(1 0.8 )snnsP zP zPzzz1110.36( )( )0.225(1 0.8)(1 0.8 )( )0.36( )( )( )(1 0.5)(1 0.5 )1(1 0.8)(1 0.8 )xssxsnPzP zzzH zP zP zP zzzzz11( )1

23、( )3/8( )( )( )( )( )1 0.5xssxxxxPzP zH zPzPzPzPzz1110.36(1 0.5)(1 0.5 )( )( )( )1 1.6(1 0.8)(1 0.8 )(1 0.8)(1 0.8 )xsnzzP zP zP zzzzz 111 0.51 0.5( )1.6,( )1 0.81 0.8xxzzPzPzzz1111( )0.361 0.83/53/5( )(1 0.8)(1 0.8 )1 0.513/51 0.821 0.8sxzP zzPzzzzzz例例6.3.2 设计二阶设计二阶FIR滤波器逼近维纳滤波器（三阶、四阶滤波器逼近维纳滤波器（三阶、

24、四阶）6.3 离散过程的维纳滤波离散过程的维纳滤波 例题例题1 2,01,0Input:,Output:1 2,10,1,2,kkkkxskk111001111(0),(1)2428xkkxkkkkrx xrx x 11100111(0),(1)0242xskkxskkkkrx srx s1114(0)(1)(0)4843112(0)(1)0(1)843hhhhhh10( )( )( ) ()2/3,01/3,11/3,2Nkish kx kh i x kikkk 22222220112111E() ()100333339kkkkkskssss动态信号模型动态信号模型Steven M. Kay

25、 page 338347DC电平测量：电平测量： 实际上真实的电压值随时间缓慢变化（温度的影响、器件的老化）：实际上真实的电压值随时间缓慢变化（温度的影响、器件的老化）： 假定假定 是一个未知的确定性参数序列，则是一个未知的确定性参数序列，则 的的MVU估计量为：估计量为： 真实电压和真实电压和MVU估计量估计量图中真实电压图中真实电压 的连续样本的差别的连续样本的差别不是很大，表现了高度的不是很大，表现了高度的“相关性相关性”。可以认为可以认为 是随机过程的一个现实，是随机过程的一个现实，均值为均值为10，样本之间存在一定的相关性样本之间存在一定的相关性。 相关约束的强制要求避免相关约束的强

26、制要求避免 的估计的估计随时间起伏太大。随时间起伏太大。 线性最小均方误差准则线性最小均方误差准则第五章第五章5.7.3小节曾提到过正交性原理（小节曾提到过正交性原理（P311）本章前本章前3节也曾多次提到过正交性原理节也曾多次提到过正交性原理本章本章6.6节讨论的卡尔曼滤波也采用线性最小均方误差节讨论的卡尔曼滤波也采用线性最小均方误差准则，其递推公式的推导也是基于正交投影的概念和准则，其递推公式的推导也是基于正交投影的概念和原理进行的。原理进行的。正交投影的三个引理：正交投影的三个引理：（1）引理）引理I，唯一性，唯一性（2）引理）引理II，线性可转换性和可叠加性线性可转换性和可叠加性（3）

27、引理）引理III，可递推性可递推性6.4 正交投影原理正交投影原理设设s和和x分别是具有前二阶矩的分别是具有前二阶矩的M维和维和N维随机矢量。如果存在一维随机矢量。如果存在一个与个与s同维的随机矢量同维的随机矢量 ，并且具有如下三个性质：，并且具有如下三个性质：（1）可以用）可以用x线性表示线性表示，即存在非随机的，即存在非随机的M维矢量维矢量a和和MN矩阵矩阵B，满足，满足（2）满足）满足无偏性无偏性要求，即要求，即（3）误差）误差 与与x正交正交，即，即则称则称 是是s在在x上的上的正交投影正交投影，简称投影，并记为，简称投影，并记为6.4.1 正交投影的概念正交投影的概念*saBx*E(

28、)E( )sss s*TE() 0ssx*ss*OP |ss x*s6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的唯一性唯一性若若s和和x分别是具有前二阶矩的分别是具有前二阶矩的M维和维和N维随机矢量，则维随机矢量，则s在在x上的正上的正交投影唯一地等于基于交投影唯一地等于基于x的的s之之线性最小均方误差估计矢量线性最小均方误差估计矢量，即，即证明：证明： 线性性质线性性质 无偏性无偏性 故有故有 正交性正交性 这样有这样有*saBx*E()E( )E( )()ssxsxsaBxsaBsB x *1OP |()ssxxxss xC Cx *TTT1E()E()E()()

29、 0sxsxxsxxsxxssxsB xxsB xxCBCBC C *1()ssxxxsC Cx 6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的线性可转换性和可叠加性线性可转换性和可叠加性设设s1和和s2分别是两个具有前二阶矩的分别是两个具有前二阶矩的M维随机矢量，维随机矢量，x是具有前二是具有前二阶矩的阶矩的N维随机矢量，维随机矢量，A1和和A2均为非随机矩阵，其列数等于均为非随机矩阵，其列数等于M，行数相同，则行数相同，则证明：令证明：令 则则 式中式中 这样有这样有1 122AsA s 11 12 2OP()|OP|()xxxAsA sxxC Cx 1 12211

30、22OP()|OP|OP|AsA sxAsxAsx121 12212=E( )E()ssA sA sAA 121211221 122112121111221122OP()|()()()()OP|OP|sss xs xxxss xxxss xxxAsA sxAAACA CCxAACCxAA CCxAsxAsx 1212TT112212E()() E()()() xxssxs xs xCxA sA sxACA C6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的可递推性可递推性设设s，x(k-1)和和xk是三个具有前二阶矩的随机矢量，它们的维数不必是三个具有前二阶矩的随机矢量，

31、它们的维数不必相同，又令相同，又令则则式中式中引理引理的的证明见附录证明见附录6A。(1)( )kkkxxxOP |(1),OP|(1)kkkkksss xxxxxTT1OP |(1)OP |(1)OP |( )OP |E()E()kkkkkkkk s xs xss xx xxsxx6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的可递推性（续）正交投影的可递推性（续）虽然维纳滤波和卡尔曼滤波都是解决以虽然维纳滤波和卡尔曼滤波都是解决以线性最小均方误差线性最小均方误差为准则的为准则的最佳线性滤波问题，二者之间的差别：最佳线性滤波问题，二者之间的差别： 维纳滤波只适用于平稳随机过程（信

32、号）；维纳滤波只适用于平稳随机过程（信号）； 卡尔曼滤波则可用于非平稳随机过程（信号）。卡尔曼滤波则可用于非平稳随机过程（信号）。 维纳滤波根据维纳滤波根据全部过去的和当前的观测信号全部过去的和当前的观测信号 来估计信号的波形；来估计信号的波形； 卡尔曼滤波根据卡尔曼滤波根据前一次的估计值和前一次的估计值和 当前的观测值当前的观测值来估计信号波形（递推算法）。来估计信号波形（递推算法）。 维纳滤波的解以线性滤波器的系统函数或脉冲响应的形式给出；维纳滤波的解以线性滤波器的系统函数或脉冲响应的形式给出； 卡尔曼滤波的解则以估计值的形式给出。卡尔曼滤波的解则以估计值的形式给出。 维纳滤波维纳滤波的信

33、号模型是信号和噪声的的信号模型是信号和噪声的相关函数或功率普密度函数相关函数或功率普密度函数； 卡尔曼滤波卡尔曼滤波的信号模型是信号的的信号模型是信号的状态方程和观测方程状态方程和观测方程。6.5 离散卡尔曼滤波的信号模型离散卡尔曼滤波的信号模型线性系统离散状态方程线性系统离散状态方程6.5.1 离散状态方程和观测方程离散状态方程和观测方程状态转移矩阵状态转移矩阵零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应分步转移性分步转移性互逆性互逆性同时刻不变性同时刻不变性6.5.1 离散状态方程和观测方程离散状态方程和观测方程1,1kkI线性系统离散状态方程和观测方程线性系统离散状态方程和观测方程状态方程状

34、态方程观测方程观测方程系统控制矩阵系统控制矩阵扰动噪声矢量扰动噪声矢量观测噪声矢量观测噪声矢量一步状态一步状态转移矩阵转移矩阵例例6.5.1 建立系统的离散状态方程和观测方程建立系统的离散状态方程和观测方程（1）状态方程）状态方程（2）观测方程）观测方程6.5.1 离散状态方程和观测方程离散状态方程和观测方程221111211111111200100011TkkkkkkkkkkkkkkkkkrrTvarTTrvvTavTvwaawaa 2,11120,01,00011kkkk kkkrTTvTa s,1111kk kkkkssw 100kkkkxrnHkkkkxnH s6.5.2 离散信号模型

35、的统计特性离散信号模型的统计特性基本离散卡尔曼滤波问题的信号模型的统计特性基本离散卡尔曼滤波问题的信号模型的统计特性1）2）3）4）基本的离散卡尔曼滤波问题基本的离散卡尔曼滤波问题扩展的离散卡尔曼滤波问题扩展的离散卡尔曼滤波问题扰动噪声矢量扰动噪声矢量为白噪声序列为白噪声序列观测噪声矢量观测噪声矢量为白噪声序列为白噪声序列两者互不相关两者互不相关初始状态和两种初始状态和两种噪声互不相关噪声互不相关离散卡尔曼滤波解决离散时间系统状态矢量的离散卡尔曼滤波解决离散时间系统状态矢量的递推估计递推估计问题。离问题。离散的散的状态方程状态方程和和观测方程观测方程分别为分别为离散时间系统的状态估计，就是根据

36、观测矢量离散时间系统的状态估计，就是根据观测矢量 求得状态矢求得状态矢量量 的一个估计的一个估计 的问题。按照的问题。按照j和和k的关系可分为三种情况：的关系可分为三种情况：（1） 时，称为状态滤波；时，称为状态滤波；（2） 时，称为状态预测（外推）；状态一步预测时，称为状态预测（外推）；状态一步预测（3） 时，称为状态平滑（内插）。时，称为状态平滑（内插）。6.6 离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波( )kxjs长列矢量长列矢量jkjkjk|j ks(1)|kks因为离散卡尔曼滤波采用因为离散卡尔曼滤波采用线性最小均方误差准则线性最小均方误差准则，所以可以使用，所以可以使用正交投影的概念和原理来推

37、导离散卡尔曼滤波的递推公式。正交投影的概念和原理来推导离散卡尔曼滤波的递推公式。引理引理I引理引理III6.6.1 离散卡尔曼滤波的递推公式离散卡尔曼滤波的递推公式1、 项的计算项的计算引理引理II6.6.1 离散卡尔曼滤波的递推公式离散卡尔曼滤波的递推公式OP|(1)kk sx状态一步预测值状态一步预测值观测长列矢量观测长列矢量 仅由仅由表示，所以表示，所以 与与 不相关。不相关。(1)k x1kw121012011,;,;,kkkn nnwwws ss(1)k x10kw2、 和和 的计算的计算6.6.1 离散卡尔曼滤波的递推公式离散卡尔曼滤波的递推公式|(1)k k s|(1)k k x

38、3、 项的计算项的计算6.6.1 离散卡尔曼滤波的递推公式离散卡尔曼滤波的递推公式T|(1)|(1)E()k kk ksx4、状态一步预测均方误差阵、状态一步预测均方误差阵 的计算的计算|(1)k kM|(1)k kM状态滤波的状态滤波的均方误差阵均方误差阵状态一步预测状态一步预测的均方误差阵的均方误差阵5、 项的计算项的计算6.6.1 离散卡尔曼滤波的递推公式离散卡尔曼滤波的递推公式T|(1)|(1)E()k kk kxx6、状态滤波值、状态滤波值 的计算的计算ks7、状态滤波均方误差阵、状态滤波均方误差阵 的计算的计算6.6.1 离散卡尔曼滤波的递推公式离散卡尔曼滤波的递推公式kM 离散卡

39、尔曼滤波是系统状态矢量的一种递推估计。为了能启离散卡尔曼滤波是系统状态矢量的一种递推估计。为了能启动递推计算，需要确定初始状态滤波值动递推计算，需要确定初始状态滤波值 和初始状态滤波的均方和初始状态滤波的均方误差阵误差阵 。6.6.2 离散卡尔曼滤波的递推算法离散卡尔曼滤波的递推算法0 s0M最小化最小化002E()0 ss离散卡尔曼滤波递推公式表离散卡尔曼滤波递推公式表6.6.2 离散卡尔曼滤波的递推算法离散卡尔曼滤波的递推算法00,1111TTE(),E()E(),E(),0,1,2,kkkkjkkkkk kkkkkkkkkjkjkkjkjkj k00000wwnnw ns ws nssw

40、xH snww wCnn nCCCC 1T|(1),11,111TT1|(1)|(1)|(1),11,11(1)|1,(I)()(II)()(III)()(IV)(V)kkk kk kkk kkkkk kkkk kkkkkk kkk kkkkkk kkkkkkkwnMMCKMHH MHCMIK HMssKxHsss 0000,sssMC 状态方程状态方程观测方程观测方程统计特性统计特性一步预测均方误差阵一步预测均方误差阵滤波增益矩阵滤波增益矩阵滤波均方误差阵滤波均方误差阵状态滤波状态滤波状态一步预测状态一步预测滤波初始状态滤波初始状态离散卡尔曼滤波递推公式可以分成两部分：第一部分是前三个公离散

41、卡尔曼滤波递推公式可以分成两部分：第一部分是前三个公式，它们是状态滤波增益矩阵的递推公式；第二部分是后两个公式，它们是状态滤波增益矩阵的递推公式；第二部分是后两个公式，它们是离散状态滤波和状态一步预测的递推公式。式，它们是离散状态滤波和状态一步预测的递推公式。6.6.2 离散卡尔曼滤波的递推算法离散卡尔曼滤波的递推算法6.6.3 离散卡尔曼滤波的特点与性质离散卡尔曼滤波的特点与性质1、离散卡尔曼滤波的主要特点、离散卡尔曼滤波的主要特点（1）离散卡尔曼滤波的参数矩阵可以是）离散卡尔曼滤波的参数矩阵可以是时变的时变的，因此离散卡尔，因此离散卡尔曼滤波适用于矢量的曼滤波适用于矢量的非平稳随机过程非平

42、稳随机过程的状态估计。的状态估计。（2）离散卡尔曼滤波的状态估计采用）离散卡尔曼滤波的状态估计采用递推估计算法递推估计算法，数据存储，数据存储量少，运算量少，特别是避免了高阶矩阵求逆问题，提高了运算量少，运算量少，特别是避免了高阶矩阵求逆问题，提高了运算效率。效率。（3）由于离散卡尔曼滤波的增益矩阵）由于离散卡尔曼滤波的增益矩阵 与观测数据无关，所以与观测数据无关，所以有可能有可能离线算出离线算出，从而减少实时在线计算量，提高实时处理能力。，从而减少实时在线计算量，提高实时处理能力。（4）离散卡尔曼滤波不仅能够同时得到状态滤波值和状态一步）离散卡尔曼滤波不仅能够同时得到状态滤波值和状态一步预测

43、值，而且同时得到状态滤波的均方误差阵和状态一步预测的预测值，而且同时得到状态滤波的均方误差阵和状态一步预测的均方误差阵，它们是状态滤波和状态一步预测的精度指标。均方误差阵，它们是状态滤波和状态一步预测的精度指标。kK6.6.3 离散卡尔曼滤波的特点与性质离散卡尔曼滤波的特点与性质2、离散卡尔曼滤波的主要性质、离散卡尔曼滤波的主要性质（1）状态滤波值是系统状态的线性最小均方误差估计量，因为）状态滤波值是系统状态的线性最小均方误差估计量，因为它是无偏估计量，所以状态滤波的均方误差阵就是所有线性估计它是无偏估计量，所以状态滤波的均方误差阵就是所有线性估计中的最小误差方差阵。中的最小误差方差阵。（2）

44、状态估计的误差矢量与状态估计量正交，即）状态估计的误差矢量与状态估计量正交，即（3）状态滤波的增益矩阵与初始状态均方误差阵、扰动噪声矢）状态滤波的增益矩阵与初始状态均方误差阵、扰动噪声矢量的协方差矩阵和观测噪声矢量的协方差矩阵有关。量的协方差矩阵和观测噪声矢量的协方差矩阵有关。（4）状态滤波的均方误差阵的上限值为状态一步预测的均方误）状态滤波的均方误差阵的上限值为状态一步预测的均方误差阵。差阵。参见参见( (5.7.32) )式和式和( (5.8.38) )式式矩阵求逆引理矩阵求逆引理P314例例6.6.1 离散卡尔曼滤波增益矩阵离散卡尔曼滤波增益矩阵 的的离线离线递推计算递推计算6.6 离散

45、卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波 例题例题101100,1,2,1000101010102( 1) ,1,2,kkkkk wsnCCHC kK例例6.6.1 离散卡尔曼滤波增益矩阵离散卡尔曼滤波增益矩阵 的离线递推计算（续）的离线递推计算（续）6.6 离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波 例题例题kK例例6.6.1 离散卡尔曼滤波增益矩阵离散卡尔曼滤波增益矩阵 的离线递推计算（续）的离线递推计算（续）6.6 离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波 例题例题kK例例6.6.2 若飞机相对于雷达作径向匀加速直线运动，现通过对飞若飞机相对于雷达作径向匀加速直线运动，现通过对飞机的距离测量来估计飞机的距离、速度和加速度。设机的距离测量来估计飞机的距离、速度和加速度。设（1）从）从 开始测量，测量时间间隔为开始测量，测量时间间隔为2s；（2）飞机相对雷达的距离、速度和加速度为）飞机相对雷达的距离、速度和加速度为 。现。现已知已知（3）忽略扰动噪声）忽略扰动噪声 对飞机的扰动；对飞机的扰动；（4）观测噪声）观测噪声 是零均值的白噪声随机序列，已知是零均值的白噪声随机序列，已知（5）观测噪声）观测噪声 与与 均互不相关。均互不相关。6.6 离散卡尔曼滤波离散