最新实数讲义

1、精品文档第一讲：平方根与立方根【知识要点】平方根立方根n次方根若x2a ,则x就叫做a3若x3a ,则x就叫如果一个数的n次方等于a ,即的平方根（也叫做一次方做a的立方根（也叫做二xn a ,那么这个数x就叫做a定义根）记为士括，其中ja次方根）记为“噩”，读的n次方根.及 表小表示正的平方根，叫做 a作“三次根号a ”。当n为偶数时，记为士 ya ；方法的算术平方根，读作“根 号a"； 一 ja表示负的平 方根。当n为奇数时，记为 qG ,读作 “n次根号a”。一个正数后两个平方根，它们互为相反数；1任意数都只有一个立正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；负数的

2、没有平方根；方根；任何实数a的奇次根有且只有 一个，且与a同正负。基本零什-个平方根，它是正数宿一个正的立方0的任何次方根都为0。性质零本身。根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零.求n求一个数a的平方根的求一个数a的立方根的求一个数a的n次方根的运算次方 根及运算，叫做开平方，如果运算叫开立方，叫开n次方，其小 数点被开方数的小数点向左如果被开方数的小数点如果被开方数的小数点向左（或移动 规律（向右）移动两位，则它向左（或向右）移动三位，向右）移动n位，则立方根的小的平方根小数点就相应地1可右（或1可左）移动一则立方根的小数点向右（或1可左）移动一位。数点1可右（或1可左）移动一位。【典例

3、解析】知识点一：平方根和算术平方根的求法 例：求下列各数的平方根与算术平方根(3)4；变式训练：x2 6x 9.知识点二：平方根性质的应用例：下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根；如果没有，说明理由。八3 22(1)2010;(2) ( )2；(3) 0; (4) X22变式训练：某数的平方根是 a 3和2a 15,求这个数。知识点三：立方根定义的识别和立方根的求法例：求下列各数的立方根(1)8;(2) 0.064;变式训练：求(3)3的立方根。4知识点四：平方根与立方根的综合应用例：已知4x 37的立方根是3,求2x 4的平方根与算术平方根变式训练:1、已知x aWm是m的立方根，而

4、 y2a昕是n的算术平方根，求 a3 22b的平方根。2、已知 3.566 1,887 , J356 5.966。(1)求展6、。0356、，3.56 106 的值。(2)若 JX 188.7 , J7 59.66,求 x , y 的值。知识点五：算术平方根的非负性质的应用例：x为何值时，下列各式有意义(1)x 22x(2)2x2 3变式训练：1、已知实数ab 满足(a 2b)2'a2_4a 20,求ab2的值2、已知x、y为实数，且Jx 5 s/5x【课堂练习】1 . 一个自然数的算术平方根为 a,则下一个自然数的平方根为 2 .如果 Ja的平方根是等于土 2,则a =3 .如果|

5、Ja 11Ja ,那么a的取值范围为 34 . V x2 =,若 v(4 x)3 x 4, x =,5 .若a24, b29,且b a,则b a的值是（）A、-2 B 、4 C 、-1 或-5D 、± 2 或 ± 47 .若2是（3）2的平方根，则Va =（）A、-3B、如3C 、± 3/3D 、± 38 .若y2 4y 4 Jx y 1 0,则xy的值等于（）A、-6 B、-2C、2 D 、69 .求下列各式中x的取值范围。(1)、.x 52x 12(2)、2x 510 . a是Ji0的整数部分，b是J5的整数部分，则a2 b2 =11 . 2a 5与

6、db 2互为相反数,求 ab的值12 .已知 Vx 4,且 /y 2z 1 (z 3)2 0,求 3/x y3 z3 的值13 .求 x 值：4x2 2528、求 x 值：(x 0.7)30.027【巩固练习】1 .计算下列各题:(2)12.已知ab 2 a b 2 =45,求a b的算术平方根。3 .解方程 27x3 216 02(1) 3x 125 04 .已知 3/13.14=2.359, 3/1.314 1.095, 3/131.4 5.084精品文档精品文档求(1) 3 1314、3 0.1314、3 13140 的值(2)若 以 0.2359, 3y 1.095 106, Vz 5

7、0.84 ,求 x、y、z 的值。5 .已知(ab 2)20,十111(a 2004)(b 2004)的值。求 ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2)6 .甲乙二人计算a + J'1 2a a2的值,当a 3的时候，得到下面不同的答案:甲的解答：a+. 12aa2=a + , (1 a)2 =a1 a 1乙的解答：a+ 12aa2=a+ . (a-1)2 =aa 1 = 2a1 5哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？精品文档精品文档第二讲：实数【知识要点】、实数：有理数和无理数统称为实数。1、实数有以下两种分类方法:(2)按大小分类正实数 实数0负实数(1)按定义

8、分类正有理数有理数0有限小数或无限循环小数实数负有理数TF无理数无理数-:无限不循环小数负无理数2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如 J3的相反数为 J3,倒数为 工.3J3的绝对值为J3 6 。3、实数与数轴上点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。4、实数的运算：(1)关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。(2)涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。二、二次根式：一般地，式子ja a 0叫做二次根式，其中 a叫做被开方数。1、二次根式的性质：-

9、 2(1)(v'a) a(a 0)；a (a 0)(2) Va2a 0 (a 0)；a (a 0)2、最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。2。(2)被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。4、二次根式的运算：（1） .二次根式的运算法则：aVC bVc (a b)Vc(c 0)； Na 屈 Vab(a 0,b 0)；精品文档精品文档g（a 0,b 0） ； NW aa（ （a 0）； b . b（2）

10、.分母有理化（3） .二次根式的混合运算三、非负性及应用：1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下：若a是实数，则|a 0；若a是实数，则a2n 0 （n为正整数），当n=1时，a2>0;2蛇（n为正整数）在实数范围内有意义，则 a 0,此时 6 0; 3、非负数有如下性质：有限个非负数之和是非负数；有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。【典例解析】知识点一：无理数的识别与估算方法例：实数 3.14, |, 3.3333L ,百，0.412, 0.10110111011110，兀，J256 中，哪些是有理数,哪些是无理

11、数？变式训练：1、估算VI4 3的值（）A .在5和6之间 B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间知识点二：实数的大小比较方法例：较大小：7与（填“”或“ ”）变式训练：1、已知a 3芯，b 2布，则a、b的大小关系为 2、比较大小：当实数 a 0时，1 a 1 a.（填“”或“”）知识点三：实数有数轴的关系例：右图：数轴上点 A表示的数为x,则x213的立方根是（）精品文档2 a 0 a + b 0精品文档A.w'5 13B. d5 13C.2 D.2知识点四：数的运算例：卜5 V3| |73 22 T5| i、用；变式训练：i i -1、4<3 2, -、75。,3

12、 32、卜万、同 66 12001 0J36;3、222.5V643 3 33 2V97；知识点五：实数性质的使用 例：化简: 变式训练:1、实数a, b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则 I b a | Q 12al 1 | a + b | =变式训练:八 x 2 2Xlqx-1、已知y 5 ,求y 的值。(x 2) 20052、已知7 R的整数部分为a，小数部分为b ,则a b =【课堂检测】? ?1、在 2.71,416, <2,5,0, 5,J3,中，属于有理数的是属于无理数的是 8精品文档精品文档2、(1) ,11?历 ,3(2)64122718精品文档(3)若 a b 0则

13、 a b(4)计算 22J3223、比较大小（1 ） 132122 (2) 3 V52 46 。4、下列语句中正确的是（A.无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽;B. 8的立方根是土 2;C.绝对值等于 V6的实数是<6 ;D.每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。5、与2 <3相乘，结果为1的数是（A. V3B. 23C.2.3D.2 336、下列计算正确的是（A 2m 32 5V3 B 而 <2 2 C.5 572 672 D. J7、数轴上表示实数x的点在表示 1的点的左边，则式子2.2x 22v x 1的值是()8、化简A.正数B. -1C.小于-1D.大于-

14、1甲、乙两同学的解法如下:甲：52, 52 52乙.3,5252 .52”2<2 ,对于他们的解法，正确的是（A.甲、乙的解法都正确B.甲正确、乙不正确C.甲、乙的解都错误D.正确、甲不正确29、计算或化简：(1)36 V64 ；(2)(3)(4)223333 22 ;(5)已知a,3 .5'(6)已知x,3、- 32-2-*x2 y的值。Jx Jy的值。10、已知y= xx 8%8 x +18,求代数式 11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答问题:(5)2 1 2,s1;2(<2)2 13 ,S2?;2一、3(<，3)1 4 ,S32 ；(1)请用含n的(n为正整数)的等式表示上述变化的规