贝叶斯决策分析培训教材

1、第十章 贝叶斯决策分析n第一节 引言n第二节 贝叶斯Bayes定理n第三节 贝叶斯分析过程第一节 引言一、问题的提出n在实际进行决策时，我们一直强调要调查研究，注意预测，以掌握机会，制订对策，明确结果，改进决策过程，提高决策水平。n但在实际工作中，既有未掌握必要信息就匆忙作出决策的现象发生，也有为一点小事就四出调研的情况存在。前者忽略了信息对决策的价值，后者又没有注意到获取信息本身也有个经济性问题。那么，怎么权衡新信息带来的价值是否能补偿为其支出的费用呢？n贝叶斯决策原理为我们提供了解决策这类问题的手段。n例：二、贝叶斯决策分析的类型n1.验前分析n在验前分析中，决策者要详细列出各种状态及其概

2、率，各种方案及其与状态组合的条件值，决策者根据这些信息对各方案进行评价和选择。n当时间、人力和财力不允许搜集更完备的信息时，决策者就常常进行验前分析。n2.后验预分析n有时由于决策的重要性而且时间许可，要求决策者在搜集和分析追加信息之前，暂缓作出决策。企业必须为这些信息付出代价，而这些信息又几乎不可能完全准确。n这种对验前概率分布要否采取一些方法、途径和手段以获取新信息来进行修正，其效果如何，是否值得等一系列分析就称为后验预分析。n3.验后分析n根据预后验分析，如果认为采集信息和进行调查研究是值得的，那么就应该决定去做这项工作。n验后分析就是根据实际发生的调查结果的信息修正验前概率的方法。n4

3、.序贯分析n含有多阶段的信息搜集和数值计算的决策情况，属于序贯分析的范围。n序贯分析包括一系列的先验分析和预后验分析，采集新的信息和作出后验分析和决策。第二节 贝叶斯(Bayes)定理一、条件概率和乘法公式n条件概率的定义：n设A与B是基本空间中的两个事件，且P(B)0，在事件B已发生条件下事件A的条件概率P(A|B)定义为：P(AB)/P(B)，即：)()()|(BPABPBAPn乘法公式：n对任意两个事件A与B，有：nP(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)n对任意三个事件A1，A2，A3，有：nP(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)n依次可以推广

4、到四个或更多的事件上去。二、全概率公式n设B1、B2、Bn是基本空间中的一个互不相容的完备事件集，则对中任一事件A，有：niiiniiBPBAPABPAP11)()|()()(三、贝叶斯定理n贝叶斯定理主要用来研究事物发生的原因，即要知道在A发生的条件下，某个“原因”Bi发生的概率。这个概率又称验后概率。n贝叶斯定理：n设B1，B2，Bn是一组互斥的完备事件集，即所有Bi互不相容，Bi=，且P(Bi)0，则对任一事件有：niiiiiiiBAPBPBAPBPAPABPABP1)|()()|()()()()|(其中：P(Bi)为试验前就已知道了的概率，称为验前概率或先验概率；P(A)为边际概率，它

5、按全概率公式求得；P(Bi|A)表示试验发生后，由于事件A发生而引起Bi发生的条件概率，它是对先验概率P(Bi)的一种修正，故称验后概率或修正概率。例：一批产品来自三个工厂，通过调查得知：其中甲厂产品合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，丙厂产品合格率为65%。这批产品中有60%来自甲厂，30%来自乙厂，余下10%来自丙厂。1.求这批产品的合格率。2.若抽查出一产品为合格品，求这个产品来自甲厂的概率。解：1.记事件A=“产品合格”，B1=“产品来自甲厂”，B2=“产品来自乙厂”，B3=“产品来自丙厂”。则据已知条件可知：P(A|B1)=0.95 P(A|B2)=0.80 P(A|B3)=0.

6、65P(B1)=0.60 P(B2)=0.30 P(B3)=0.10则由全概率公式可知：875. 010. 065. 030. 080. 060. 095. 0)|()()|()()|()()(332211BAPBPBAPBPBAPBPAP2.由贝叶斯公式可得：6514. 0875. 060. 095. 0)()|()()|(111APBAPBPABP同理可计算得：P(B2|A)=0.2743 P(B3|A)=0.0743第三节 贝叶斯分析过程n引：如前所述，贝叶斯分析包括四种类型。但在实际的贝叶斯决策过程中，并不一定全部包括这四种类型的分析，一般情况是，进行验前分析，后验预分析和验后分析。n

7、如果调查经费可以忽略，则只需要进行验前分析和验后分析，在时间、人力和财力不允许搜集更完备的住处或者这种搜集没有必要时，则常常只进行验前分析。一、先验分析应用n例1(见课本P329）n某工厂要研究开发一种新型童车，首要的问题是要研究这种新产品的销路及竞争者的情况。经过必要的风险估计后，他们估计出：n当新产品销路好时，采用新产品可盈利8万元；不采用新产品而采用老产品时，则因其他竞争者会开发新产品而使老产品滞销，工厂可能亏损4万元。n当新产品销路不好时，采用新品就要亏损3万元，当不采用新产品时就有可能用更多的资金来发展老产品可获利10万元。n现确定销路好的概率为0.6，销路差的概率为0.4。123销

8、路好(0.6）销路差(0.4)销路好(0.6）销路差(0.4)8-3-4103.61.6采用新产品不采用新产品3.6以期望作为标准，应选择行动方案“采用新产品”。二、后验预分析n后验预分析的目的，是要确定在采取最后行动之前是否值得去搜集附加信息(调查或抽样)。n具体步骤：n1.根据决策问题过去有关的资料或某些途径得到的类似资料拟定搜集新息的新决策方案，通常在验前分析结论的基础上画出新支路。n2.根据全概率公式求有关的边际概率，并根据贝叶斯定理修正先验概率，由此得出的后验概率就是新决策支路的概率分布。n3.计算新决策支路的期望值。n4.权衡新方案最终的期望值、先验分析的结论和搜集新信息所必须支出

9、的费用，再进行选择得出结论。n例：接前例（见P330）。n根据以往市场调查经验，调查结果的准确程度见下表： Z1 （销路好） Z2 （销路差） Z3 （不确定）Q1(销路好) 0.80.100.10Q2(销路差) 0.100.750.15调查结果条件概率P（Zj|Qi)自然状态销路好销路差P(Q1)=0.6P(Q2)=0.4调查为好z1调查为差z2调查为不确定z3调查为好z1调查为差z2调查为不确定z3P(Z1|Q1)=0.8P(Z2|Q1)=0.1P(Z3|Q1)=0.1P(Z1|Q2)=0.10P(Z2|Q2)=0.75P(Z3|Q2)=0.15P(Q1)P(Z1|Q1)=P(Z1Q1)=

10、0.48P(Q1)P(Z2|Q1) =P(Z2Q1)=0.06P(Q1)P(Z3|Q1) =P(Z3Q2)=0.06P(Q2)P(Z1|Q2)= P(Z1Q2)=0.04P(Q2)P(Z1|Q2) =P(Z2Q2)=0.30P(Q2)P(Z1|Q2) =P(Z3Q2)=0.06根据上图可计算各状态的全概率为：12. 0)()()(36. 0)()()(52. 0)()()(231332212221111QZPQZPZPQZPQZPZPQZPQZPZP计算修正概率：50. 0)|(50. 0)|(833. 0)|(167. 0)|(:077. 052. 004. 0)()()|(923. 052

11、. 048. 0)()()|(323122211121211111ZQPZQPZQPZQPZPZQPZQPZPZQPZQP同理可得123销路好(0.6）销路差(0.4)8-33.6不调查采用新产品调查3.6456789101112z1Z2z3d1d2d1d2d1d2Q1(0.923)Q2(0.077)Q1(0.923)Q2(0.077)Q1(0.167)Q2(0.833)Q1(0.167)Q2(0.833)Q1(0.50)Q2(0.50)Q1(0.50)Q2(0.50)8-3-4108-3-4108-34-107.153-2.92-1.167.662.53.07.1537.663.0(0.52

12、)(0.36)(0.12)6.84n从以上决策分析过程可知：n若不作进一步调查研究，则采用方案1（即采用新产品）可获期望利润3.60万元。n若进一步调查研究，则可获期望利润值6.84 万元。n当调查研究的费用小于6.84-3.60=3.24万元时，作进一步的调查研究是值得的。n3.24万元为取得信息的价值，即信息价值。信息价值。n所谓信息价值：指利用取得的信息进行决策所得到的期望值减去没有这种情报而选取出的最优方案的期望值。n完全信息：是指在进行决策时，对于所有可能出现的自然状态都可以提供完全确切的情报。n补充信息:是指通过各种手段如抽样调查、咨询等得到的 追加信息。n在进行补充信息的调查之前

13、，还需要就是否值得进一步收集补充信息的问题作出判断，并选择最佳的收集补充信息的方案。该环节称为后验预分析后验预分析例2：某厂在考虑是否大批量投入投产一种新产品税的决策，根据以往经验，预计该产品大批量投入市场后有三种销售远景，具体见下页表。因亏损的先验概率较大，故该厂还要研究是否要采用“试销法”进行市场调查。经财务部门预算，进行一次试销调查花费60万元。而试销所得到的调查信息的可靠性是有限的，这有过去产品进入市场的统计资料可供借鉴，见下页表。试问在这种情况下是否值得应用试销的方式进行市场调查。销售远景j概率P(j)条件盈利(百万元)10.251520.30130.45-6表1 大批量生产的销售估

14、计1 (盈) 2(平) 3(亏)Z10.650.250.10Z20.250.450.15Z30.100.300.75市场实际情况条件概率P(zi| j)调查结果表2 过去试销资料记录12不投产1.51.进行验前分析:大批量生产0151-6 1(0.25) 2(0.30) 3(0.45)1.352.进行后验预分析:(1)按全概率公式求边际概率，其计算公式为：4520. 0)(2650. 0)(:2825. 010. 045. 025. 030. 065. 025. 0)()()(:; 3 , 2 , 1, )()()(321111ZPZPZPPZPiZPPZPnjjjnjjiji同理可得故有(2

15、)按贝叶斯定理修正先验概率，其计算公式如下：575. 02825. 065. 025. 0)()()()(:; 3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1,)()()()(111111ZPZPPZPjiZPZPPZPijijij故有同理可得：746. 0)(255. 0)(199. 0)(509. 0)(159. 0)(055. 0)(236. 0)(266. 0)(3323322213312112ZPZPZPZPZPZPZPZP3.进行期望值计算及第二阶段决策的选择。计算过程及选择结果见下页图。13不调查调查3.64567911z1Z2z3d1d2d1d2d1d27.9392.5190(0.2

16、825)(0.2650)(0.4525)2.91000151-6151-6151-6 1（0.575) 2（0.266) 3（0.159) 1（0.236) 2（0.509) 3（0.255) 1（0.055) 2（0.199) 3（0.746)7.9392.519-3.5422大批量生产1.35-0.64.作权衡分析。由于试销调查所取得的信息的价值为：2.91-1.35=1.56(万元）取得信息期望净收益为：1.65-0.60=0.96(万元）故可得出结论：应采纳试销方案。如果调查结果为盈或平，就采用大批量生产的方案。如果调查结果为亏，则不投产。3.验后分析n验后分析是一种把调查信息和验前信

17、息结合起来以获得各个事件(状态）的修概率的方法。n一旦得到了可以利用的新信息，决策者就结合这些信息，计算备择方案的期望值，选择能取得最佳效益的行动方案。n例如：在上例中，若这个工厂通实际的试销活动估计该产品的销售远景为盈(Z1),那么该厂将在决策点4进行决策，采用大批量生产方案，此时扣除已支付的60万元调查经费后，仍可得到7.337万元的期望收益，即7.937-0.6=7.337.4.序贯分析n贝叶斯序贯分析处理的是包含有多阶段的信息搜集的决策计算的复杂问题，它涉及一系列的后验预分析或验后分析。n贝叶斯序贯分析可以为决策者考虑是否进行多阶段调查(或抽样），以获得更多的调查(或抽样)信息来改进决策过程而提供科学依据