导数的应用函数的单调性与极值最大值与最小值学习教案

1、会计学1导数的应用函数导数的应用函数(hnsh)的单调性与极值的单调性与极值最大值与最小值最大值与最小值第一页，共42页。第 2 页xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理(dngl)1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第1页/共41页第二

2、页，共42页。第 3 页证),(,21baxx ,21xx 且且应用(yngyng)拉氏定理,得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第2页/共41页第三页，共42页。第 4 页例1解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx. 1 xey,)0

3、 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定(pndng)，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(: D又又目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第3页/共41页第四页，共42页。第 5 页问题(wnt):如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个(mu )区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:.,)()(0)

4、(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第4页/共41页第五页，共42页。第 6 页例2解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1时，时

5、，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调(dndio)区间为，1 ,(，2 , 1 )., 2目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第5页/共41页第六页，共42页。第 7 页例3解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调(dndio)区间为，0 ,( )., 0 32xy 目录后退主页退出本节知识引

6、入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第6页/共41页第七页，共42页。第 8 页例4解：注意:区间内个别(gbi)点导数为零,不影响区间的单调性.例如(lr),3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在确定函数 193)(23 xxxxf的单调(dndio)区间函数的定义域为（-，）) 1)(3( 3963)(2 xxxxxf令0)( xf得：3, 121 xx目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第7页/共41页第八页，共42页。第 9 页列表(li bio)讨论：x（-，-1） -1 （-1，3） 3（3，+）f（x）+0-0+f（x）

7、目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第8页/共41页第九页，共42页。第 10 页单调性的判别(pnbi)是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的闭区间换成开区间、半开区间或无限区间，结论仍然(rngrn)成立.目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第9页/共41页第十页，共42页。第 11 页oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第10页/共41页第十一页，共42页。第 12 页).()(; )()()(),()(,),(,),

8、()(00000或极小值点的一个极大值点称为函数点或极小值极大值的一个是函数就称于或都大附近的函数值都小于若点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxxfxfxfxbaxbaxfy 定义(dngy)函数(hnsh)的极大值与极小值统称为极值,使函数(hnsh)取得极值的点称为极值点.极值是一个局部性的概念。目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第11页/共41页第十二页，共42页。第 13 页 设)(xf在点 0 x处可导,且在 0 x处取得极值,那末一定有0)(0 xf. 定理(dngl)2(必要条件)定义(dngy).)(0)(的驻点做函数的实根）叫使导数为零的

9、（即方程xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第12页/共41页第十三页，共42页。第 14 页(1)如果)(xf由正变负，则)(xf在 0 x处取得极大值. (2)如果)(xf由负变正，则)(xf在 0 x处取得极小值. (3)如果)(xf不变号,则)(xf在 0 x处无极值. 定理3(第一(dy)充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值(j zh)点情形)目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本

10、节复习指导第13页/共41页第十四页，共42页。第 15 页xyoxyo0 x0 x 求极值(j zh)的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值(j zh)点情形)目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第14页/共41页第十五页，共42页。第 16 页例1解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表(li b

11、io)讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第15页/共41页第十六页，共42页。第 17 页593)(23 xxxxfMm图形(txng)如下目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第16页/共41页第十七页，共42页。第 18 页设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1)当当0)(0 x

12、f时时, , 函数函数)(xf在在 0 x处取得极大值处取得极大值; ; (2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x处取得极小值处取得极小值. . 定理(第二(d r)充分条件)目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第17页/共41页第十八页，共42页。第 19 页例2解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故

13、极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第18页/共41页第十九页，共42页。第 20 页Mm注意(zh y):. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第19页/共41页第二十页，共42页。第 21 页例3解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( x

14、f.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意:函数的不可导点,也可能(knng)是函数的极值点.M目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第20页/共41页第二十一页，共42页。第 22 页极值是函数的局部性概念(ginin):极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点(zh din)和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第21页/共41页第二十二页，共42页。第 23 页oxyoxy

15、baoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第22页/共41页第二十三页，共42页。第 24 页步骤(bzhu):1.求驻点(zh din)和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可(bk)导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)目录后退主页退出本节知

16、识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第23页/共41页第二十四页，共42页。第 25 页例1解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算(j sun) )3(f;23 )2(f;34 )1(f; 7;142 )4(f目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第24页/共41页第二十五页，共42页。第 26 页，最大值最大值142)4( f比较(bjio)得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy目录后退主页

17、退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第25页/共41页第二十六页，共42页。第 27 页例2求函数xxxfln)( 在区间(q jin)1，e上的最大值和最小值解：xxfln1)( 因为(yn wi)在（1，e）内0)( xf所以(suy)函数xxxfln)( 在区间1，e上单调增加其最小值为f（1）=0最大值为f（e）=e目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第26页/共41页第二十七页，共42页。第 28 页点击图片任意处播放暂停例3敌人(drn)乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，

18、速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第27页/共41页第二十八页，共42页。第 29 页解公里公里5 . 0(1)建立敌我相距函数(hnsh)关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距(xingj)函数22)24()5 . 0()(ttts 公里公里4B A )(ts)(ts.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一(wi y)驻点. 5 . 1 t.5 . 1分钟射击

19、最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第28页/共41页第二十九页，共42页。第 30 页实际问题(wnt)求最值应注意:(1)建立(jinl)目标函数;(2)求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第29页/共41页第三十页，共42页。第 31 页例4 某房地产公司有50套公寓(gngy)要出租，当租金定为每月180元时，公寓(gngy)会全部租

20、出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓(gngy)租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月 元，x租出去的房子有 套， 1018050 x每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第30页/共41页第三十一页，共42页。第 32 页 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一(wi y)驻点）故每月每套租金(zjn)为350元时收入最高。最大收入(shur)为 1035068)20350()(x

21、R)(10890 元元 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第31页/共41页第三十二页，共42页。第 33 页点击图片任意处播放暂停例5形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第32页/共41页第三十三页，共42页。第 34 页解如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2

22、000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第33页/共41页第三十四页，共42页。第 35 页, 0)1616643(41020 xxS令令解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第34页/共41页第三十五页，共42页。第 36 页例6：把一根(y n)半径为R的圆木锯成矩形条木，问矩形的长和宽多大时，条木的截面积最大？x2R 解：设矩形(jxng)的长为x则矩形(jxng)的宽为224xR 矩形的截面积为224xRxA 其中 （0 x2R）现在求x为何值时，函数A在区间（0，2R）内取得最大值。目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 第35页/共41页第三十六页，共42页。第 37